Квантовые компьютеры: концепции и возможность реализации

Состояния кубита можно представить  вектором в двумерном комплексном  векторном пространстве. В классической физике возможные состояния системы  из n частиц, в которой состояние каждой частицы задается вектором в 2-мерном пространстве, образуют 2n-мерное векторное пространство. Однако в квантовой системе общее пространство состояний гораздо больше: система из n кубитов имеет пространство состояний размерности 2ⁿ. Именно этот экспоненциальный рост пространства состояний в зависимости от числа частиц даёт экспоненциальное преимущество в скорости вычислений на квантовых компьютерах в сравнении с классическими.

В общем случае система n кубитов имеет 2n базисных векторов. Теперь мы видим экспоненциальный рост пространства квантовых состояний по мере увеличения числа частиц.

Следует отметить, что потребуются  огромные ресурсы, чтобы смоделировать  даже небольшую квантовую систему  на классических компьютерах. Эволюция квантовых систем протекает экспоненциально  быстрее, чем эволюция их классических моделей. Потенциальная мощь квантовых компьютеров кроется в возможности использовать эволюцию квантового состояния в качестве вычислительного механизма. Таким образом, вычисления - это некоторые преобразования состояния квантовой системы.

1.4. Процесс вычислений.

Идея квантовых вычислений, впервые высказанная Ю. И. Маниным  и Р. Фейнманом состоит в том, что квантовая система из L двухуровневых  квантовых элементов (кубитов) имеет 2L линейно независимых состояний, а значит, вследствие принципа квантовой суперпозиции, 2L-мерное гильбертово пространство состояний. Операция в квантовых вычислениях соответствует повороту в этом пространстве. Таким образом, квантовое вычислительное устройство размером L кубит может выполнять параллельно 2L операций.

Предположим, что имеется  один кубит. В таком случае после  измерения, в так называемой классической форме, результат будет 0 или 1. В действительности кубит квантовый объект и поэтому, вследствие принципа неопределенности, может быть и 0, и 1 с определенной вероятностью. Если кубит равен 0 (или 1) со стопроцентной вероятностью, его состояние обозначается с помощью символа |0> (или |1>) — в обозначениях Дирака. |0> и |1> — это базовые состояния. В общем случае квантовое состояние кубита находится между базовыми и записывается, в виде , где |a|2 и |b|2 — вероятности измерить 0 или 1 соответственно; . Более того, сразу после измерения кубит переходит в базовое квантовое состояние, аналогичное классическому результату.

Упрощённая схема вычисления на квантовом компьютере выглядит так: берётся система кубитов, на которой записывается начальное состояние. Затем состояние системы или её подсистем изменяется посредством базовых квантовых операций. В конце измеряется значение, и это результат работы компьютера.

Оказывается, что для построения любого вычисления достаточно двух базовых операций. Квантовая система даёт результат, только с некоторой вероятностью являющийся правильным. Но за счёт небольшого увеличения операций в алгоритме можно сколь угодно приблизить вероятность получения правильного результата к единице.

С помощью базовых  квантовых операций можно симулировать работу обычных логических элементов, из которых сделаны обычные компьютеры. Поэтому любую задачу, которая  решена сейчас, квантовый компьютер  решит и почти за такое же время. Следовательно, новая схема вычислений будет не слабее нынешней.

Чем же квантовый компьютер  лучше классического? Большая часть  современных ЭВМ работают по такой  же схеме: n бит памяти хранят состояние  и каждый такт времени изменяются процессором. В квантовом случае, система из n кубитов находится в состоянии, являющимся суперпозицией всех базовых состояний, поэтому изменение системы касается всех 2n базовых состояний одновременно. Теоретически новая схема может работать намного (в экспоненциальное число раз) быстрее классической.

1.5. Физическая реализация квантового компьютера 

- чрезвычайно интересная, но сложная задача. Ещё несколько  лет назад высказывались сомнения  в её принципиальной разрешимости.

Сегодня прототипы квантовых компьютеров уже существуют. Правда, пока экспериментально удается собирать лишь небольшие регистры, состоящие всего из нескольких квантовых битов. Так, недавно группа, возглавляемая американским физиком И. Чангом (IBM), объявила о сборке 5-битового квантового компьютера. Несомненно, это большой успех. К сожалению, существующие квантовые системы еще не способны обеспечить надежные вычисления, так как они либо недостаточно управляемы, либо очень подвержены влиянию шумов. Однако физических запретов на построение эффективного квантового компьютера нет, необходимо лишь преодолеть технологические трудности.

К таким трудностям (мы будем называть их пределами) можно  отнести следующие.

1. Предел первый: быстродействие.

Все логические операции, осуществляемые компьютером, основаны на переключении битов между условными значениями «0» и «1», которым отвечают два устойчивых физических состояния. Во всех случаях скорость переключения битов и, следовательно, быстродействие вычислительного устройства определяются тем, насколько быстро протекает соответствующий физический процесс. Например, время переключения транзистора тем меньше, чем больше подвижность электронов в полупроводнике, скорость перехода молекулы из одной формы в другую определяется вероятностью этого события и т. д. Времена процессов переключения, как правило, очень малы (от 1 до 10^-15 секунды). И все же они конечны.

С точки зрения квантовой  механики, утверждает физик из Массачусетского  технологического института (США) Сет  Ллойд, скорость вычисления ограничена полной доступной энергией. В 1998 году это положение было теоретически доказано математиками из Массачусетского технологического университета (США) Норманом Марголусом и Львом Левитиным. Им удалось показать, что минимальное время переключения бита равно одной четверти постоянной Планка, деленной на полную энергию: 1h/4E.

Таким образом, чем больше энергия компьютера, используемая им для вычислений, тем быстрее он считает. По мнению Ллойда, «предельный» компьютер — это такой компьютер, вся энергия которого будет расходоваться только на вычислительный процесс.

Исходя из приведенного соотношения, оценим, к примеру, быстродействие некоторого гипотетического компьютера массой 1 килограмм, состоящего всего  из одного бита. Как известно, полная энергия тела задается фундаментальным соотношением E = mc², где m — масса объекта, с — скорость света в вакууме. Итого имеем 10¹⁷ Дж. Если бы всю эту энергию, «погребенную» в массе нашего компьютера, можно было бы использовать в вычислительном процессе, время переключения бита достигло бы фантастически малых величин порядка 10^-51 секунды! Полученное значение существенно больше «планковского промежутка времени» (10^-44 секунды) — минимального временного интервала, который, с точки зрения квантовой гравитации, требуется для протекания любого физического события.

Однако мы рассмотрели  однобитный компьютер, в то время  как на практике любой ЭВМ требуется  не один, а множество битов. Если энергию нашего гипотетического  компьютера распределить между миллиардами  битов, время переключения каждого из них будет уже меньше планковского. Важно, что при этом общее число переключений всех битов за секунду останется прежним — 10^-51.

По сравнению с предельным компьютером Ллойда, нынешние ЭВМ  — просто черепахи: при тактовой частоте порядка 500 мегагерц типичный современный компьютер выполняет лишь 10¹² операций в секунду. Предельный компьютер работает в 10³⁹ раз быстрее! А если он будет весить не килограмм, а тонну, быстродействие возрастет еще в 1000 раз.

В чем причина медлительности современных ЭВМ? Все дело в том, считает Ллойд, что полезную работу в них совершают лишь электроны, перемещающиеся внутри транзисторов. Что касается основной массы компьютера, то она не только не используется как источник энергии, но, напротив, препятствует свободному движению носителей зарядов. Единственная ее функция — поддерживать ЭВМ в стабильном состоянии.

Как избавиться от бесполезной  массы? Надо превратить ее в кванты электромагнитного излучения —  фотоны, — которые, как известно, не имеют массы покоя (считается, что она равна 0). Тогда вся энергия, запасенная в массе, перейдет в энергию излучения, и компьютер из неподвижного серого ящика превратится в светящийся огненный шар! Как ни странно, но именно так может выглядеть предельный компьютер, считает Ллойд. Его вычислительная мощность будет огромна: менее чем за одну наносекунду он сможет решать задачи, на которые у современных ЭВМ ушло бы время, равное жизни вселенной!

Однако остается еще  проблема ввода – вывода информации. Как бы мы не совершенствовали процесс ввода – вывода, описанная модель «предельного» компьютера имеет один принципиальный недочет. Допустим, максимальный размер (например диаметр) нашего компьютера равен 10 сантиметрам. Поскольку фотоны движутся со скоростью света, то все 10³¹ битов информации, хранящейся в нашем компьютере, не могут быть «скачаны» из него быстрее, чем за время, требующееся свету для прохождения расстояния в 10 сантиметров — то есть за 3^-10 секунды. Значит, максимальная скорость обмена информацией компьютера с внешним миром равна 10⁴¹ бит в секунду. А предельная скорость обработки информации, как мы уже выяснили раньше, составляет 10^-51 бит в секунду, что в десять миллиардов раз быстрее. Таким образом, необходимость связи компьютера с внешним миром, а также отдельных его частей друг с другом может приводить к существенным потерям в скорости вычислений. «Отчасти решить эту проблему можно, заставив куски компьютера работать независимо друг от друга, в параллели», — отмечает Ллойд.

Есть ли способ повысить скорость ввода – вывода? «Да, — говорит Ллойд, — надо уменьшать размеры компьютера». Тогда обмен информацией будет происходить быстрее, а объем памяти станет меньше. При этом доля последовательных операций в компьютере может возрасти, а доля параллельных — уменьшиться.

Заметим, что до сих пор все наши рассуждения касались только быстродействия предельного компьютера, но мы забыли о такой важной его характеристике, как память. Существует ли предел запоминающей способности вычислительных систем?

2. Предел второй: память.

Память компьютера ограничена его энтропией, утверждает Сет Ллойд, то есть степенью беспорядка, случайности в системе. В теории информации понятие энтропии — аналог понятия количества информации. Чем более однородна и упорядочена система, тем меньше информации она в себе содержит

Величина энтропии S пропорциональна  натуральному логарифму числа различимых состояний системы (W): S = k*ln(W), где k —  постоянная Больцмана. Смысл этого  соотношения очевиден: чем больший  объем информации вы хотите сохранить, тем больше различимых состояний вам потребуется. Например, для записи одного бита информации необходимо два состояния: включено и выключено. Чтобы записать два бита, потребуется уже 4 различных состояния, 3 бита — 8, n битов — 2eN состояний.

Таким образом, чем больше различных состояний в системе, тем выше ее запоминающая способность.

Чему равна энтропия «предельного»  квантового компьютера?

Во-первых, она зависит от объема компьютера: чем он больше, тем большее  число возможных положений в  пространстве могут занимать его частицы. Во-вторых, необходимо знать распределение частиц по энергиям. Для этого можно воспользоваться готовым расчетом, выполненным еще сто лет назад Максом Планком при решении задачи о так называемом черном теле. Что же мы получим? Оказывается, литр квантов света может хранить около 10³¹ битов информации — это в 10²⁰ раз больше, чем можно записать на современный 10-гигабайтный жесткий диск! Откуда такая огромная разница? По мнению Ллойда, все дело в том, что способ, которым в современных компьютерах записывается и хранится информация, чрезвычайно неэкономен и избыточен. За хранение одного бита отвечает целый «магнитный домен», а ведь это миллионы атомов. Таким образом, вновь встает вопрос об уменьшении размеров ЭВМ.

c) Предел третий: точность.

Любое унитарное преобразование можно реализовать лишь с некоторой точностью. Кроме того, систему спинов или аналогичную квантовую систему нельзя полностью защитить от возмущений со стороны окружающей среды. Всё это должно приводить к погрешностям, которые будут накапливаться в процессе вычисления. Через L ~ d^-1 шагов (где d - точность каждого унитарного преобразования) вероятность ошибки станет порядка единицы. К счастью, эту трудность можно преодолеть, используя квантовые коды, исправляющие ошибки. В 1996 году П. Шор предложил схему коррекции ошибок в процессе квантового вычисления (fault-tolerant quantum computation), которая была вскоре усовершенствована. Окончательный результат состоит в следующем. Существует некоторое пороговое значение точности d₀, такое что при d < d₀ возможно сколь угодно длинное квантовое вычисление. Однако при d > d₀ ошибки накапливаются быстрее, чем их удаётся исправлять. По разным оценкам, d₀ лежит в интервале от 10^-2 до 10^-6 (точное значение зависит от характера возмущений и используемой схемы коррекции ошибок).

Итак, принципиальных препятствий для реализации квантового компьютера нет. Однако задача столь трудна, что её можно сравнить с задачей об управляемом термоядерном синтезе. В самом деле, необходимо удовлетворить нескольким почти несовместимым требованиям.

1.Элементы квантового  компьютера - квантовые биты (спины  или что-то подобное) - должны быть  изолированы друг от друга  и от окружающей среды. 

2.Необходимо иметь  возможность избирательного воздействия  на пару квантовых битов. (Возможно, потребуется несколько типов воздействия на одну и ту же пару, описываемых различными унитарными операторами.)

3.Каждый из унитарных  операторов должен быть реализован  с точностью d < d₀ (см. выше).

4.Реализуемые операторы  должны быть достаточно нетривиальны. Точнее говоря, они должны образовывать полный базис, чтобы любой другой оператор в определенном смысле выражался через них.

В настоящее время  существует несколько подходов к  проблеме реализации квантового компьютера.

1. Отдельные атомы или ионы.

Это первая и наиболее хорошо разработанная идея, она существует в нескольких вариантах. Для представления  квантового бита можно использовать как обычные электронные уровни, так и уровни тонкой и сверхтонкой  структуры. Имеется экспериментальная техника, позволяющая удерживать отдельный ион или атом в ловушке из постоянного магнитного или переменного электрического поля в течение длительного времени (порядка 1 часа).. У каждого иона кристалла берутся два уровня энергии — это один Q-бит; между собой эти ионы связаны через колебания внутри одномерного кристалла, который имеет набор резонансных частот. Ион можно «охладить» (т. е. погасить колебательное движение) при помощи лазерного луча. Подбирая длительность и частоту лазерных импульсов, можно приготовить произвольную суперпозицию основного и возбуждённого состоянийБольше всего экспериментов по квантовым вычислениям с использованием таких кристаллов предложили ученые Инсбрукского университета в Австрии, а осуществили их больше всего ученые из Лос-Аламосской лаборатории в США. И оказалось, что больших кристаллов не удается получить, на сегодняшний день получена цепочка из 30 ионов. Но дальнейший прогресс в увеличении числа ионов связывают с созданием трехмерной лазерной стоячей волны — трехмерной совокупности точек с минимумами потенциальной энергии для поляризованных атомов. Иными словами, это трехмерная решетка, которая уже хорошо изучена; изучена также и методология лазерного охлаждения, и поэтому сейчас стоит задача в каждый минимум «положить» атом, его охладить, чтобы он не «вылезал» оттуда, и начать с ним работать. Конечно, в этом направлении очень много работы, но само направление, безусловно, верное.