Моделирование физических процессов

 
 
 
 
 
 
 
 
 

Математическое  моделирование физических процессов. Нестационарные процессы. Уравнения  гиперболического типа. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

     Введение 

     Физика - наука, в которой математическое моделирование является важным методом исследования. Сегодня кроме теоретической и экспериментальной физики можно выделить третий раздел - вычислительную физику. Одним из наиболее перспективных направлений использования информационных технологий в физическом образовании является компьютерное моделирование физических процессов и явлений.

     Рост  числа компьютеров в школах дает возможность каждому учителю  использовать на своих уроках информационные технологии. Это с одной стороны, активизирует внимание учащихся и усиливает  их интерес к уроку, а с другой – облегчает работу учащихся и  учителя.

                 Компьютерные модели легко вписываются в традиционный урок, позволяя учителю продемонстрировать на экране компьютера многие физические эффекты, а также позволяют организовать новые нетрадиционные виды учебной деятельности.

     При использовании компьютерных моделей  физических явлений можно достигнуть более полного усвоения курса  физики и формирование целостной  физической картины мира. Компьютер  помогает сделать это и в неблагоприятных  условиях, таких как:

  отсутствие интереса к предмету у ученика, когда он считает, что физика в дальнейшем ему не будет нужна;

     отсутствие  способностей к изучению точных наук;

     нехватка  лабораторного оборудования в школе  для демонстрации эксперимента.

     Для эффективного вовлечения учащихся в  учебную деятельность с использованием компьютерных моделей необходимы индивидуальные раздаточные материалы с заданиями  и вопросами различного уровня сложности. Эти материалы могут содержать  следующие виды заданий:

     1. Ознакомительное задание. (Назначение  модели, управление экспериментом,  задания и вопросы по управлению  моделью).

     2.   Компьютерные эксперименты. (Провести  простые эксперименты по данной  модели по предложенному плану,  вопросы к ним и результаты  измерений).

     3. Экспериментальное задание. (Спланировать и провести ряд компьютерных экспериментов).

     4.   Тестовые задания. (Выбрать правильный ответ, используя модель)

     5.   Исследовательское задание. (Провести  эксперимент, доказывающий некоторую  предложенную закономерность, или  опровергающий её; самостоятельно  сформулировать ряд закономерностей  и подтвердить их экспериментом).

     6. Творческое задание. (Придумать задачу, решить её, поставить эксперимент  для проверки полученных ответов).

     Значительное  число компьютерных моделей, охватывающих почти весь школьный курс физики, содержится в учебных электронных изданиях: "Физика в картинках”, "Открытая физика”, "Живая физика”, «1 С  Репетитор», «1 С Физика 7-11», «Физика 7-11 практикум», «Уроки физики 7- 8 классы».

     Обобщая, можно сформулировать принципы применения компьютерных моделей на уроке:

     1.   Модель явления необходимо использовать  лишь в том случае, когда невозможно  провести эксперимент, или когда  это явление протекает очень  быстро и за ним невозможно  проследить детально.

     2. Компьютерная модель должна помогать  разбираться в деталях изучаемого  явления или служить иллюстрацией  условия решаемой задачи.

     3. В результате работы с моделью  ученики должны выявить как  качественные, так и количественные  зависимости между величинами, характеризующими  явление. 

     4.   При работе с моделью необходимо  предлагать ученикам задания  разного уровня сложности, содержащие  элементы самостоятельного творчества.

     Существуют  большие возможности моделирования  физических задач в среде MS Excel. Электронные  таблицы применяются для сложных  многошаговых технических расчетов. Применение электронных таблиц на уроках физики может сократить время  при проведении однотипных расчетов, например при выполнении лабораторных работ, где требуется рассчитывать одни и те же физические величины для  нескольких опытов. Использование электронных  таблиц Excel обусловлено следующими причинами:

     функциональные  возможности программы Excel заведомо перекрывают все потребности  по автоматизации обработки данных эксперимента, построению и исследованию моделей;

     универсальная программа Excel обладает стандартным  интерфейсом;

изучение Excel предусматривается программами  общего образования по информатике, следовательно, возможно эффективное  использование Excel в условиях осуществления  межпредметных связей с информатикой;

     программа отличается доступностью в изучении и простотой в управлении;

     результаты  деятельности на рабочем листе Excel (тексты, таблицы, графики, формулы) «открыты»  пользователю.

     Cреди  всех известных программных средств  Excel обладает богатым инструментарием  для работы с графиками. Программа  позволяет с использованием приемов  автозаполнения представлять данные  в табличной форме, оперативно  их преобразовывать с использованием  огромной библиотеки функций,  строить графики редактировать  их практически по всем элементам,  увеличивать изображение какого-либо  фрагмента графика, выбирать функциональные  масштабы по осям, экстраполировать  графики.

Электронные таблицы эффективно могут использоваться при проведении:

       Демонстрационного эксперимента;

     Лабораторных  работ;

     Физического практикума;

     Решения задач по различным темам курса  физики;

     Контроля  знаний.

     В своей работе учителя информатики  при изучении темы «Табличные вычисления на компьютере», «Математическое моделирование  и решение задач с помощью  электронных таблиц» могут использовать любые примеры. Наиболее наглядны задачи по кинематике и динамике, что способствует повторению, углублению и закреплению  материала этих тем по физике, а  также демонстрация практического  применения электронных таблиц при  изучении других предметов школьного  курса. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

1. Математическое  моделирование физических процессов

 

   При расчете физических процессов составляется математическая модель - система уравнений, описывающая зависимости между  физическими величинами при некоторых  упрощающих допущениях. Например, при  движении точки вблизи поверхности  Земли полагается ускорение свободного падения постоянным, не зависящим  от высоты расположения точки над  поверхностью. Для тел, движущихся с  небольшой скоростью или в  разряженной атмосфере, пренебрегают сопротивлением воздуха. Само точка  часто заменяют материальной точкой, т. е. размерами точки пренебрегают. Физические процессы описываются, как  правило системой дифференциальных уравнений, для решения которой  применяют различные численные  методы (модели). Широко используется метод  конечных разностей, в котором бесконечно малые приращения переменных заменяют малыми (конечными) приращениями.

      Например, изменение параметра времени  представляют в виде:  dt=t 2 -t 1 , а  изменение функции "Х": dX(t) = X(t)-X(t-dt) = X(t 2 )-X(t 1 ) = X 2 -X 1 .

      Рассмотрим  задачу определения траектории точки, движущегося в некоторой плоскости  под действием различных сил. Например, необходимо вычислить траекторию движения снаряда с учетом сопротивления  воздуха или ракеты с учетом изменения  ее массы, движущихся в поле тяготения  Земли.

      Координаты  точки X(t), Y(t) в некоторый момент времени "t" можно определить, зная координаты точки X(t - dt), Y(t - dt) в предыдущий момент времени "t - dt" и изменение (приращение) координат dX, dY:

      X(t) = X(t-dt) + dX(t),

      Y(t) = Y(t-dt) + dY(t).

      Если  временной интервал выбрать достаточно малым, то можно полагать, что скорость точки на этом интервале не изменяется и приращения координат определяются по формулам:

     dX(t) = Vx(t)dt,

      dY(t) = Vy(t)dt.

      Здесь Vx(t), Vy(t) - проекции скорости на оси координат.

      Составляющие  скорости Vx(t) и Vy(t) можно вычислить  по формулам:

      Vx(t) = Vx(t-dt) + Ax(t) * dt,

      Vy(t) = Vy(t-dt) + Ay(t) * dt.

     Здесь Ax(t), Ay(t) - проекции ускорения на оси  координат.

      Ускорение определяется силами, действующими на точка: ускорение равно равнодействующей силе, деленной на массу точки. Силы могут зависеть от координат точки, времени и скорости точки. Например, ускорение ракеты в поле тяготения  планеты обратно пропорционально  квадрату расстояния до центра планеты. При включении двигателя ракеты ускорение зависит от времени (программы  работы двигателя). При движении в  плотных слоях атмосферы на ракету действуют силы сопротивления воздуха, зависящие от скорости движения, т. е. ускорение зависит от скорости.

      Приведем  алгоритм расчета траектории движения точки:

      1. Определяем силы, действующие на  точка, и находим проекции ускорения  на оси координат. В общем  случае ускорение точки зависит  от многих факторов и в момент  времени t задается как функция  от времени, скорости и координат  точки: 

      Ax:= Fx(Vx, Vy, X, Y, t); Ay:= Fy(Vx, Vy, X, Y, t);

      Где Vx, Vy, Ax, Ay - проекции скорости и ускорения.

      2. Задаем начальное положение точки  - координаты X[1], Y[1] и начальную скорость  и ускорение в виде проекций  на оси координат: 

      X[1]:= X0; Y[1]:= Y0; Vx[1]:= V * cos( fi ); Vy[1]:= V * sin( fi );

      Ax[1]:= Fx(Vx[1], Vy[1], X[1], Y[1], t[1]);

      Ay[1]:= Fy(Vx[1], Vy[1], X[1], Y[1], t[1]);

      Где V - начальная скорость точки, fi - угол наклона вектора скорости к оси  Х.

      3. Задаем временной шаг dt и разбиваем  весь временной интервал на N участков. При равномерной разбивке приращение  времени определяется по формуле: 

      dt:= (t[N]-t[1])/(N-1); Здесь (t[N] - t[1]) - время движения  точки. 

      Выбор величины dt определяется необходимой  точностью расчета, возможностями  вычислительной техники, и может  уточняться при решении задачи.

      4. Вычисляем массивы скорости, ускорения  и координат точки: 

      For i:= 2 to N do begin

      Vx[i]:= Vx[i-1] + Ax[i-1] * dt;

      Vy[i]:= Vy[i-1] + Ay[i-1] * dt;

     X[i]:= X[i-1] + 0.5 * (Vx[i-1] + Vx[i]) * dt;

      Y[i]:= Y[i-1] + 0.5 * (Vy[i-1] + Vy[i]) * dt;

      Ax[i]:= Fx(Vx[i], Vy[i], X[i], Y[i], t[i]);

      Ay[i]:= Fy(Vx[i], Vy[i], X[i], Y[i], t[i]);

      (уточняем скорость точки в расчетной точке)

      VX[i]:= VX[i-1] + 0.5 * (Ax[i-1] + Ax[i]) * dt;

      VY[i]:= VY[i-1] + 0.5 * (Ay[i-1] + Ay[i]) * dt;

      end;

      Для уменьшения погрешностей расчетной  схемы, скорость и ускорения на участке  интерполируются средними значениями.

      5. Строим траекторию движения точки. 

      Здесь удобно использовать процедуры из библиотеки построения графиков GR_F. Следует определить расчетную область и область  рисования траектории на экране. Траектория на экране рисуется процедурой: PutPixel_G(X[i], Y[i], N);

      Для тестирования работы алгоритма рассмотрим задачу расчета траектории точки, движущегося  из точки с координатами X, Y с начальной  скоростью Vx, Vy под действием сил, вызывающих ускорение точки Ax, Ay. Следуя пунктам 1. . 5 приведенного выше алгоритма  необходимо рассчитать траекторию движения точки и сравнить с траекторией точки, описанной аналитической зависимостью X(t), Y(t).