Моделирование физических процессов

      Практическое  задание N 2

      Рассчитать  разностным моделированием и по аналитической  зависимости траектории точки. Параметр a = 10, b = 5, 0<= t <=4 * pi, N=500.

      Построить траектории точки.

     Рассмотрим  задачу расчета траектории снаряда, движущегося с начальной скоростью "V 0 " под углом "fi" к горизонту  с учетом сил сопротивления воздуха, пропорциональных скорости снаряда. Проекции ускорений определим в виде функций:

      FUNCTION Fx(Vx, kc : real): real; begin Fx:= - kc * Vx end;

      FUNCTION Fy(Vy, kc : real): real; begin Fy:= - kc * Vy - g end;

      Где kc - коэффициент сопротивления воздуха,

      g = 9. 81, м/с - ускорение свободного  падения у поверхности Земли. 

      Поскольку время подлета снаряда к цели неизвестно, то параметр "dt" выбирается приближенно, например, исходя из максимального  времени полета снаряда над горизонтальной поверхностью без учета сопротивления  воздуха: tмах= 2 * V * sin(fi)/g. Для N = 500, dt = t/500. При решении конкретных задач  процесс расчета прекращается при  достижении снарядом цели, либо при  ограничениях по статическим координатам, например:

      i:= 1;

      REPEAT i:=i+1;

      {операторы  расчета массивов скорости, ускорения  и координат точки }

      Until (cc = GetPixel_G(X[i], Y[i])) or ( Y[i] < 0 ) or ( i = N );

      Здесь cc - цвет пикселов цели, Y[i] < 0 - ограничение  по горизонтальной поверхности, i = N - ограничение  по размеру массива. В случае преждевременного завершения полета снаряда необходимо увеличить dt или параметр N.

      Практическое  задание N 3

      1. Рассчитать разностным моделированием  и по аналитической зависимости  траектории полета снаряда без  учета сопротивления воздуха.  Построить траектории полета  снаряда. Начальная скорость V 0 =1000, м/с, угол fi=450. Аналитическая зависимость  имеет вид: 

      X = V 0 * t * cos(fi); Y = V 0 * t * sin(fi) - g * t 2 /2;

      2. Рассчитать разностным моделированием  и по аналитической зависимости  траектории полета снаряда с  учетом сопротивления воздуха,  пропорциональным скорости снаряда.  Построить траектории полета  снаряда. Начальная скорость V 0 =3000, м/с, угол fi = 45 0 . Коэффициент сопротивления  воздуха kc = 0. 01,с - 1 .

      Аналитическая зависимость имеет вид:

      X=V 0 * cos(fi) * (1-e (-kc * t) )/kc; Y=(V 0 * sin(fi)+g/kc) * (1-e (-kc * t) )/kc-g * t/kc;

      3. Рассчитать разностным моделированием  траектории полета снаряда с  учетом сопротивления воздуха,  пропорциональным квадрату скорости  снаряда. Коэффициент сопротивления  воздуха kc 1 = kc 2 . Построить совместно  траектории полета снаряда для  п. 1, 2, 3. Начальная скорость V 0 = 3000, м/с,  угол fi = 45 0 .

      4. Составить программу поражения  неподвижной цели при kc 1 = kc 2 . Изменяя в цикле угол fi на небольшую  величину, определить в программе  угол при котором будет поражена  цель - небольшой прямоугольник с  координатами вершин (x1, y1) и (x2, y2). Построить все траектории полета  снаряда. 

      Рассмотрим  задачу расчета траектории космического тела , в поле тяготения планеты  без учета сил сопротивления. В начальный момент времени тело движется на высоте "Н" со скоростью "V 0 ", направленной по касательной  к окружности радиуса R 0 . Поскольку  движение спутника вокруг планеты достаточно продолжительно, то не целесообразно  запоминать в оперативной памяти все параметры (координаты, скорости и ускорения) в каждый момент времени. Обычно эти параметры, записываются в файл на диск при вычислениях  через некоторые моменты времени, а траекторию строят сразу, либо запуская отдельную программу, считывающую  данные из файла. Расчетная область  задается исходя из оценочных расчетов. Для спутника, движущегося вокруг Земли, можно принять:

      Xmin= Ymin= - Kv * R 0 , Xmax= Ymax= Kv * R 0 ,

      Здесь R 0 = (Rz+H), Rz=6. 37 * 10 6 , м. - радиус Земли.

      Kv=1. 5 при V 0 <= W 1 ; Kv=10 при W 1 < V 0 < W 2 ; Kv=20 при V >= V 2 .

      W 1 = Rz * O ( g/R 0 ) - первая космическая  скорость,

      W 2 = O 2 * W 1 - вторая космическая скорость.

      Параметр "dt" можно определить приближенно  по формуле: dt=T/N,

      где T= 6. 28 * Rz/W 1 - время оборота спутника вокруг Земли, N=300.

      Расстояние  от спутника до центра планеты определяется через координаты:

      function R(x, y: double): double; begin R:= sqrt(x * x + y * y) end;

      Проекции  ускорений определим в виде функции:

      function FA(x,r,kz: double):double; begin FA:= -kz * x/(r * r * r) end;

      Здесь kz = 4. E+14 для Земли (в системе СИ).

      Пусть в начальный момент времени известны координаты спутника:

      x 1 = R 0 ; y 1 = 0; r 1 = R(x 1 , y 1 );

      скорость: Vx 1 = 0; Vy 1 = V 0 ;

      и ускорение: Ax 1 = FA(X 1 , r 1 , kz); Ay 1 = FA(Y 1 , r 1 , kz);

      Отметим, что скорость в начальный момент времени направлена по касательной  к окружности радиуса r 1 .

      Для записи алгоритма расчета траектории необходимо знание параметров в двух соседних точках, например, в точке "1" - для предшествующего момента  времени и в точке "2" - для  расчетного момента времени. Расчет производим в цикле с одновременным  выводом траектории движения спутника на экран до тех пор пока выполняется  ограничение по радиусу траектории или не нажата любая клавиша.

      While ( r1< Xmax ) or ( r1> Rz ) or ( not keyPressed ) do begin

      Vx2:= Vx1 + Ax1 * dt; Vy2:= Vy1 + Ay1 * dt;

      X2:= X1 + 0.5 * (Vx1 + Vx2) * dt;

      Y2:= Y1 + 0.5 * (Vy1 + Vy2) * dt; r2:= R(x2, y2);

      Ax2:=FA(X2, r2, kz);

      Ay2:=FA(Y2, r2, kz);

      Vx2:= Vx1 + 0.5 * (Ax1 + Ax2) * dt; { уточняем скорость }

      Vy2:= Vy1 + 0.5 * (Ay1 + Ay2) * dt;

      { Переопределяем значения параметров  в точке }

      x1:= x2; y1:= y2; r1:= r2;

      Vx1:= Vx2; Vy1:= Vy2; Ax1:= Ax2; Ay1:= Ay2

      PutPixel_G(x1,y1,c); (Строим траекторию движения точки, c - цвет точки)

      end;

      Практическое  задание N 4

      1. Рассчитать разностным моделированием  и по аналитической зависимости  траектории полета спутника Земли.  Аналитическая зависимость имеет  вид: 

      r = P/(1 + e * cos(fi));

      где e = P/R 0 - 1; P = (V 0 * R 0 /Rz) 2 /g ; 0 <= fi = 2 * Pi.

      В начальный момент времени известны координаты спутника: x 1 = R 0 ; y 1 = 0;

      и скорость: Vx 1 = 0; Vy 1 = V 0 ; Рассмотреть  случаи:

      1_1. Начальная скорость V 0 <= W 1 , высота H = 300000, м .

      1_2. Начальная скорость W 1 <= V 0 < W 2 , высота H = 400000, м .

      1_2. Начальная скорость V 0 >= W 2 , высота H = 500000, м .

      Примечание: Построить траектории полета спутника. Через равные промежутки времени  выводить на экран время полета спутника, скорость и высоту.

      2. Рассчитать разностным моделированием  и построить траектории полета  спутника вокруг двух планет (типа  “Земля”), при V 0 < W 2 , в случаях:

     3. Рассчитать разностным моделированием  и построить траектории полета  двух планет типа “Земля”  и их центра масс, при V 0 < W 2 , в случаях: 

     Рассмотрим  задачу расчета траектории точки  переменной массы , движущегося под  действием реактивной тяги. Движение точки в этом случае описывается  уравнением Мещерского:

      A = (U/M) * (dM/dt) + F/M

      Где A - ускорение точки, M - масса точки.

      U - скорость реактивной струи относительно  точки, 

      F - результирующая внешних сил,  действующих на точку, 

      Учитывая, что F = kz * M/r 2 - сила притяжения направлена к центру Земли, а P = U * (dM/dt) - реактивная сила двигателя (тяга) направлена по касательной  к траектории движения, определяем проекции ускорения на оси координат:

      Ax = P * Vx/(M * V) - kz * x/(r 3 ); Ay = P * Vy/(M * V) - kz * y/(r 3 );

      Где V = O (Vx 2 + Vy 2 ) - скорость точки,

      r = O ( x 2 + y 2 ) - расстояние до центра  Земли, 

      Vx , Vy - проекции скорости точки на  оси координат, x, y - координаты точки. 

      Полагая расход топлива  z = dM/dt постоянным, массу  точки можно определить по формуле: M = M 0 - z * t; при t < Tk ,

      где M 0 - начальная масса точки, Tk - время  работы двигателя.

      Практическое  задание N 5

      1. Построить десять траекторий  полета баллистической ракеты, рассчитанных  разностным моделированием. Начальная  скорость V 0 =1,м/с, тяга двигателя  P=2. 5Е6,н, стартовая масса M 0 = 1. 5Е5, кг, расход топлива z= 700, кг/с,  время работы двигателя Tk = 200, с. 

      2. Построить траектории полета  двухступенчатой баллистической  ракеты, рассчитанные разностным  моделированием. Начальная скорость V 0 = 1,м/с, стартовая масса M 0 = 3Е5, кг, для первой ступени: тяга P 1 =5Е6, н, расход топлива z 1 = 1700, кг/с, время работы двигателя  Tk 1 = 130, с. Для второй ступени:  тяга P 2 = 1. 1Е6, н, расход топлива  z 2 = 300, кг/с, время работы двигателя  Tk 2 = 230, с. 

      3. Построить траекторию полета  спутника Земли при включении  двигателя, рассчитанную разностным  моделированием. Начальные условия  на высоте H=400000 м принять следующие:  скорость V 0 =W 1 и направлена по  касательной к окружности, M 0 =11000, кг, тяга двигателя P=4Е5, н, расход  топлива z=100, кг/с, время работы  двигателя Tk = 70, с. Рассчитать  скорость спутника при работе  двигателя по формуле Циолковского: V = V 0 + U * ln(M 0 /M) , где U = P/z .

      Через каждые 10 секунд выводить на экран время  полета спутника и скорость.

      Рассмотрим  задачу расчета траектории точки, прикрепленной  к упругой нити , и движущейся с начальной скоростью "V 1 " под углом "fi" к оси "x" из точки с координатами (x 1 , y 1 ), без  учета сил сопротивления воздуха. Эта задача моделирует известную  игрушку - мяч, привязанный на резинке.

      Пусть точка имеет массу "M", длина  нити "L". Полагаем, что нить невесома и абсолютно упруга. Коэффициент  упругости "Kn".

     Оси координат проведем через точку  закрепления нити вверх и влево. Расчетную область ограничим: X_min = Y_min = - Lm, X_max = Y_max = Lm,

      где Lm = abs(V 1 * O (M/Kn)) + O (x12 + y12) + L + 2 * M * g/Kn.

      Период  свободных колебаний груза,

      подвешенного  на упругой нити:

      T = 6, 28 * O (M/Kn). Примем dt = T/300.

      Проекции  ускорения определяются как дискретная функция расстояния " r " от начала координат до точки закрепления  нити: если r <= L, то ускорение от сил  упругости равно нулю, в остальных  случаях:

      Ax = -x * Ky * dr/(r * M);

      Ay = -y * Ky * dr/(r * M) - 9.81; где dr = (r-L) > 0.

      Проекцию  ускорения на ось “Х” от сил  упругости, запишем в виде функции:

      FUNCTION FA(x, r, L, Kn, M: double): double;

      begin if (r-L)>0 then FA:= -x * Kn * (r-L)/(r * M) else FA:= 0 end;

      Аналогичная функция составляется для проекции ускорения на ось “У”. Методика расчета соответствует приведенной  для движения спутника в поле тяготения  планеты.

      Практическое  задание N 6

      1. Построить траекторию движения  мяча, подвешенного на упругой  нити в вязкой среде, рассчитанную  разностным моделированием. Сопротивление  среды пропорционально скорости  движения мяча: kc=0. 01, с - 1 . Нить  закреплена в центре квадрата  со стороной 2 * Lm, длина нити L=1, м,  коэффициент упругости Kn=5, н/м.  Масса мяча M=0. 2, кг . Мяч начинает  движение из точки с координатами x 1 = - 0. 5 * L, y 1 =0, со скоростью V 1 =10, м/с, под углом 45 0 .