Моделирование физических процессов

      •  Построить траекторию движения мяча, подвешенного на упругой нити в квадратной коробке, рассчитанную разностным моделированием, с учетом уменьшения нормальной составляющей скорости на 20% при отражении мяча от стенки. Сопротивление среды пропорционально  скорости движения мяча: kc=0. 05, с - 1 . Нить длиной L=1, м, закреплена в центре квадрата со стороной a=1. 5 * L. Коэффициент упругости Kn=5, н/м, масса мяча M=0. 1, кг . Мяч начинает движение из точки с координатами x 1 = - L, y 1 =0, со скоростью V 1 x=1, м/с, V 1 y=5, м/с. 
 

2. Математическое  моделирование нестационарного  электрического поля анодной защиты

     Рассматривается заполненная проводящей средой область D, граница которой S состоит из анодных Sa, катодных Sk и изолированных Si участков: S=SaU ScU Si, =DU S,

     Зависимость приложенного напряжения от времени U(t) предполагается линейной, в этом случае скорость пуска V=dU/dt постоянна и  играет роль числового параметра. Потенциал  электрического поля определяется решением уравнения Лапласа [7]:

        p D, (1)

     где p (x, y, z) в трехмерном случае и p (x, y) – в двумерном.

     В электролите выполняется закон  Ома, который на границе области  записывается в виде p Se, 

     e=a, k, i, 

     (2) 

     где j - нормальная составляющая плотности  тока; s - электропроводность среды; n - внутренняя нормаль к границе S; индекс e равен a для анодов, k - катодов и i - изоляторов.

     Соотношения для поляризации электродов представляются в виде [8]: 

     Характеризующий коррозионные потери суммарный электрический  заряд Q, проходящий через защищаемые поверхности Sa за время tp, определяется интегралом:

         q Sa. (8)

     Если  ставить задачу минимизации коррозионных потерь при пуске анодной защиты, то оптимальными в этом смысле следует  считать такое количество и расположение катодов, при которых для выбранной  скорости V электрический заряд Q, определяемый интегралом (8), минимален. 

3. Уравнения гиперболического типа.

     Многие  задачи математической физике приводят к дифференциальным уравнениям с  частными производными. В настоящей  курсовой работе рассмотрены одни из основных уравнений гиперболического типа: 4-го и наиболее часто встречающегося 2-го порядка.

     Рассмотрено простейшее уравнение гиперболического типа – волновое уравнение. К исследованию этого уравнения приводят рассмотрение процессов поперечных колебаний  струны, продольных колебаний стержня, электрических колебаний в проводе, крутильных колебаний вала, колебаний  газа и т. д. Приведена формула  Даламбера для решения краевых  задач, а также её физическая интерпретация.

     Большое число задач о колебаниях стержней, пластин и т.д. приводит к уравнениям более высокого порядка. В качестве примера на уравнения 4-го порядка  рассмотрена задача о собственных  колебаниях камертона.

     Вывод уравнения колебаний струны.

     В математической физике под струной  понимают гибкую, упругую нить. Напряжения, возникающие в струне в любой  момент времени направлены по касательной  к ее профилю. Пусть струна длины l в начальный момент направлена по отрезку оси 0x от 0 до l. Предположим, что концы струны закреплены в  точках x=0 и x=l. Если струну отклонить  от ее первоначального положения, а  потом предоставить самой себе или, не отклоняя струны, придать в начальный  момент ее точкам некоторую скорость, или отклонить струну и придать  ее точкам некоторую скорость, то точки  струны будут совершать движения – говорят, струна начнет колебаться. Задача заключается в определении  формы струны в любой момент времени  и определении закона движения каждой точки струны в зависимости от времени.

     Будем рассматривать малые отклонения точек струны от начального положения. В силу этого можно предполагать, что движение точек струны происходит перпендикулярно оси 0x и в одной  плоскости. При этом предположении процесс колебания струны описывается одной функцией u(x,t) которая дает величину перемещения точки струны с абсциссой x в момент t.

     Так как мы рассматриваем малые отклонения точек струны в плоскости (x,u), то будем предполагать, что длина  элемента струны M1M2 равняется ее проекции на ось 0x, т.е. M1M2=x2-x1. Также будем предполагать, что натяжение во всех точках струны одинаковое; обозначим его через T. 

     Рассмотрим  элемент струны MM’. 

     На  концах этого элемента, по касательным  к струне, действуют силы T. Пусть  касательные образуют осью 0x углы и Тогда проекция на ось 0u сил, действующих на элемент MM’, будет равна Так как угол мал, то можно положить и мы будем иметь: (здесь мы применили теорему Лагранжа к выражению, стоящему в квадратных скобках). 

     Чтобы получить уравнение движения, нужно  внешние силы, приложенные к элементу, приравнять силе инерции. Пусть масса  элемента струны будет  Ускорение элемента равно Следовательно, по принципу Даламбера будем иметь: Сокращая на и обозначая получаем уравнение движения

     Это и есть волновое уравнение – уравнение  колебания струны. Для полного  определения движения струны одного уравнения (1) недостаточно. Искомая  функция u(x,t) должна удовлетворять еще  граничным условия, указывающим, что  делается на концах струны (x=0 и x=l), и  начальным условиям, описывающим  состояние струны в начальный  момент (t=0). Совокупность граничных  и начальных условий называется краевыми условиями:

     Вывод 

     Дифференциальные  уравнения с частными производными широко применяются в математической физике. В качестве примера в данной работе рассмотрены два уравнения.

     Волновое  уравнение с краевыми условиями  можно свести к решению формулы  Даламбера, задающуюся начальными условиями. И с помощью фазовой плоскости  можно отследить характер его  решения.

     В процессе решения «уравнения поперечных колебаний стержня» получаем задачу о собственных значениях и  задачу о нахождение частот собственных  колебаний. Причем частоты собственных  колебаний относятся как квадраты собственных значений. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

     Список  литературы 

1. Демидович Б.П., Марон И.А., Шувалова Э.З., Численные  методы анализа: Физматгиз, 1963.
2. Немюгин С.А. turbo Pascal. Практикум – СПБ.: Питер, 2005.
3. Немюгин С.А. turbo Pascal. Программирование на языке высокого уровня: Учебник для вузов. – СПБ.: Питер, 2009.
4. Боженова М.М., Москвина Л.А. Практическое программирование. Приемы создания программ на языке Паскаль.
5. Основные процедуры и функции модуля graph: http://rsc-team.ru/cgi-bin/index.pl?rzd=2&group=lection&ind=21.
6. А. Н. Тихонов, А. А. Самарский «Уравнения математической физики», Москва, 1966 г.