Понятие алгоритмов

Содержание

1. Формализация  понятий о алгоритмах       3

2. Описание машины Тьюринга       10

3. Автоматизация  деятельности человека на основе  алгоритмизации 14

Список использованной литературы      20

 

1. Формализация  понятий о алгоритмах

     Слово «Алгоритм» происходит от algorithmi - латинского написания имени аль-Хорезми, под которым в средневековой Европе знали величайшего математика из Хорезма (город в современном Узбекистане) Мухаммеда бен Мусу, жившего в 783-850 гг. В своей книге «Об индийском счете» он сформулировал правила записи натуральных чисел с помощью арабских цифр и правила действий над ними столбиком. В дальнейшем алгоритмом стали называть точное предписание, определяющее последовательность действий, обеспечивающую получение требуемого результата из исходных данных. Алгоритм может быть предназначен для выполнения его человеком или автоматическим устройством. Создание алгоритма, пусть даже самого простого, - процесс творческий. Он доступен исключительно живым существам, а долгое время считалось, что только человеку. Другое дело - реализация уже имеющегося алгоритма. Ее можно поручить субъекту или объекту, который не обязан вникать в существо дела, а возможно, и не способен его понять. Такой субъект или объект принято называть формальным исполнителем. Примером формального исполнителя может служить стиральная машина-автомат, которая неукоснительно исполняет предписанные ей действия, даже если вы забыли положить в нее порошок. Человек тоже может выступать в роли формального исполнителя, но в первую очередь формальными исполнителями являются различные автоматические устройства, и компьютер в том числе. Каждый алгоритм создается в расчете на вполне конкретного исполнителя. Те действия, которые может совершать исполнитель, называются его его допустимыми действиями. Совокупность допустимых действий образует систему команд исполнителя. Алгоритм должен содержать только те действия, которые допустимы для данного исполнителя. 
 

     Свойства  алгоритмов

     Данное  выше определение алгоритма нельзя считать строгим - не вполне ясно, что такое «точное предписание» или «последовательность действий, обеспечивающая получение требуемого результата». Поэтому обычно формулируют несколько общих свойств алгоритмов, позволяющих отличать алгоритмы от других инструкций.

     Такими  свойствами являются:

     Дискретность (прерывность, раздельность) - алгоритм должен представлять процесс решения  задачи как последовательное выполнение простых (или ранее определенных) шагов. Каждое действие, предусмотренное  алгоритмом, исполняется только после  того, как закончилось исполнение предыдущего.

     Определенность - каждое правило алгоритма должно быть четким, однозначным и не оставлять  места для произвола. Благодаря  этому свойству выполнение алгоритма  носит механический характер и не требует никаких дополнительных указаний или сведений о решаемой задаче.

     Результативность (конечность) - алгоритм должен приводить  к решению задачи за конечное число  шагов.

     Массовость - алгоритм решения задачи разрабатывается  в общем виде, то есть, он должен быть применим для некоторого класса задач, различающихся только исходными данными. При этом исходные данные могут выбираться из некоторой области, которая называется областью применимости алгоритма.

     Правила выполнения арифметических операций или  геометрических построений представляют собой алгоритмы. При этом остается без ответа вопрос, чем же отличается понятие алгоритма от таких понятий, как «метод», «способ», «правило». Можно даже встретить утверждение, что слова «алгоритм», «способ», «правило» выражают одно и то же ( т.е. являются синонимами ), хотя такое утверждение, очевидно, противоречит “свойствам алгоритма”.

     Само  выражение «свойства алгоритма» не совсем корректно. Свойствами обладают объективно существующие реальности. Можно говорить, например, о свойствах  какого-либо вещества. Алгоритм – искусственная конструкция, которую мы сооружаем для достижения своих целей. Чтобы алгоритм выполнил свое предназначение, его необходимо строить по определенным правилам. Поэтому нужно говорить все же не о свойствах алгоритма, а о правилах построения алгоритма, или о требованиях, предъявляемых к алгоритму.

     Первое  правило – при построении алгоритма  прежде всего необходимо задать мно-жество объектов, с которыми будет работать алгоритм. Формализованное ( закодирован-ное ) представление этих объектов носит название данных. Алгоритм приступает к работе с некоторым набором данных, которые называются входными, и в результате своей рабо-ты выдает данные, которые называются выходными. Таким образом, алгоритм пре-образует входные данные в выходные.

     Это правило позволяет сразу отделить алгоритмы от “методов” и “способов”. Пока мы не имеем формализованных  входных данных, мы не можем построить  алгоритм.

     Второе  правило – для работы алгоритма  требуется память. В памяти размещаются  входные данные, с которыми алгоритм начинает работать, промежуточные данные и выходные данные, которые являются результатом работы алгоритма. Память является дискретной, т.е. состоящей из отдельных ячеек. Поименованная ячейка памяти носит на-звание переменной. В теории алгоритмов размеры памяти не ограничиваются, т. е. счита-ется, что мы можем предоставить алгоритму любой необходимый для работы объем памяти.

     В школьной «теории алгоритмов» эти  два правила не рассматриваются. В то же время практическая работа с алгоритмами ( программирование ) начинается именно с реализации этих правил. В языках программирования распределение памяти осуществляется декларативными операторами ( операторами описания переменных ). В языке Бейсик не все переменные описываются, обычно описываются только массивы. Но все равно при запуске программы транслятор языка анализирует все идентификаторы в тексте программы и отводит память под соответствующие переменные.

     Третье  правило – дискретность. Алгоритм строится из отдельных шагов (действий, операций, команд). Множество шагов, из которых составлен алгоритм, конечно.

     Четвертое правило – детерменированность. После каждого шага необходимо указывать, какой шаг выполняется следующим, либо давать команду остановки.

     Пятое правило – сходимость ( результативность ). Алгоритм должен завершать работу после конечного числа шагов. При этом необходимо указать, что считать результатом работы алгоритма.

     Итак, алгоритм – неопределяемое понятие  теории алгоритмов. Алгоритм каждому  определенному набору входных данных ставит в соответствие некоторый набор выходных данных, т. е. вычисляет ( реализует ) функцию. При рассмотрении конкретных вопросов в теории алгоритмов всегда имеется в виду какая-то конкретная модель алгоритма.

     Виды  алгоритмов и их реализация

     Алгоритм  применительно к вычислительной машине – точное предписание, т.е. набор операций и правил их чередования, при помощи которого, начиная с некоторых исходных данных, можно решить любую задачу фиксированного типа.

     Виды  алгоритмов как логико-математических средств отражают указанные  компоненты человеческой деятельности и тенденции, а сами алгоритмы в зависимости от цели, начальных условий задачи, путей ее решения, определения действий исполнителя подразделяются следующим образом:

     Механические  алгоритмы, или иначе детерминированные, жесткие (например алгоритм работы машины, двигателя и т.п.);

Гибкие  алгоритмы, например стохастические, т.е. вероятностные и эвристические.

     Механический  алгоритм задает определенные действия, обозначая их в единственной и  достоверной последовательности, обеспечивая тем самым однозначный требуемый или искомый результат, если выполняются те условия процесса, задачи, для которых разработан алгоритм.

Вероятностный (стохастический) алгоритм дает программу  решения задачи несколькими путями или способами, приводящими к вероятному достижению результата.

     Эвристический алгоритм  (от греческого слова “эврика”) – это такой алгоритм, в котором  достижение конечного результата программы  действий однозначно не предопределено, так же как не обозначена вся последовательность действий, не выявлены все действия исполнителя. К эвристическим алгоритмам относят, например, инструкции и предписания. В этих алгоритмах используются универсальные логические процедуры и способы принятия решений, основанные на аналогиях, ассоцияциях и прошлом опыте решения схожих задач.

     Линейный  алгоритм – набор команд (указаний), выполняемых последовательно во времени друг за другом.

Разветвляющийся алгоритм – алгоритм, содержащий хотя бы одно условие, в результате проверки которого ЭВМ обеспечивает переход на один из двух возможных шагов.

     Циклический алгоритм – алгоритм, предусматривающий  многократное повторение одного и того же действия (одних и тех же операций) над новыми исходными данными. К  циклическим алгоритмам сводится большинство  методов вычислений, перебора вариантов.

     Цикл  программы – последовательность команд (серия, тело цикла), которая  может выполняться многократно (для  новых исходных данных) до удовлетворения некоторого условия.

     Вспомогательный (подчиненный) алгоритм (процедура) –  алгоритм, ранее разработанный и целиком используемый при алгоритмизации конкретной задачи. В некоторых случаях при наличии одинаковых последовательностей указаний (команд) для различных данных с целью сокращения записи также выделяют вспомогательный алгоритм.

     Методы изображение алгоритмов

     На  практике наиболее распространены следующие  формы представления алгоритмов:

     словесная (записи на естественном языке);

     графическая (изображения из графических символов);

псевдокоды (полуформализованные описания алгоритмов на условном алгоритмическом языке, включающие в себя как элементы языка программирования, так и фразы естественного языка, общепринятые математические обозначения и др.);

     программная (тексты на языках программирования).

Словесное описание алгоритма

     Данный  способ получил значительно меньшее распространение из-за его многословности и отсутствия наглядности.

     Рассмотрим  пример на алгоритме нахождение максимального  из двух значений:

     Определим форматы переменных X, Y, M, где X и Y –  значения для сравнения, M – переменная для хранения максимального значения;

получим два значения чисел X и Y для сравнения;

сравним X и Y.

если X меньше Y, значит большее число Y.

Поместим  в переменную M значение Y.

Если X не меньше (больше) Y, значит большее  число X.

Поместим  в переменную M значение X.

Словесный способ не имеет широкого распространения  по следующим причинам:

такие описания строго не формализуемы;

страдают  многословностью записей;

допускают неоднозначность толкования отдельных  предписаний.

 

 

2. Описание машины Тьюринга

     Алан  Тьюринг (Turing) в 1936 году опубликовал  в трудах Лондонского математического  общества статью "О вычислимых числах в приложении к проблеме разрешения", которая наравне с работами Поста  и Черча лежит в основе современной  теории алгоритмов.

     Предыстория создания этой работы связана с формулировкой Давидом Гильбертом на Международном математическом конгрессе в Париже в 1900 году неразрешенных математических проблем. Одной из них была задача доказательства непротиворечивости системы аксиом обычной арифметики, которую Гильберт в дальнейшем уточнил как "проблему разрешимости" - нахождение общего метода, для определения выполнимости данного высказывания на языке формальной логики.