СМО с ограниченным временем ожидания. Замкнутые СМО

   .

  С вероятностью в очереди стоит одна заявка, с вероятностью — две заявки, вообще с вероятностью в очереди стоят k-1 заявок, и т.д., откуда:

    (11).

  Поскольку  , сумму в (11) можно трактовать как производную по   от суммы геометрической прогрессии:

   .

  Подставляя  данное выражение в (11) и используя   из (8), окончательно получаем:

   (12).

  Среднее число  заявок, находящихся в системе. Получим  далее формулу для среднего числа  -заявок, связанных с системой (как стоящих в очереди, так и находящихся на обслуживании). Поскольку  , где   — среднее число заявок, находящихся под обслуживанием, а k известно, то остается определить  . Поскольку канал один, число обслуживаемых заявок может равняться 0 (с вероятностью  ) или 1 (с вероятностью 1 -  ), откуда:

   .

  и среднее  число заявок, связанных с СМО, равно:

   (13).

  Среднее время  ожидания заявки в очереди. Обозначим  его  ; если заявка приходит в систему в какой-то момент времени, то с вероятностью   канал обслуживания не будет занят, и ей не придется стоять в очереди (время ожидания равно нулю). С вероятностью   она придет в систему во время обслуживания какой-то заявки, но перед ней не будет очереди, и заявка будет ждать начала своего обслуживания в течение времени   (среднее время обслуживания одной заявки). С вероятностью   в очереди перед рассматриваемой заявкой будет стоять еще одна, и время ожидания в среднем будет равно  , и т.д.

  Если же k=m+1, т.е. когда вновь приходящая заявка застает канал обслуживания занятым и m-заявок в очереди (вероятность этого  ), то в этом случае заявка не становится в очередь (и не обслуживается), поэтому время ожидания равно нулю. Среднее время ожидания будет равно:

   ,

  если подставить сюда выражения для вероятностей (8), получим:

   (14).

  Здесь использованы соотношения (11), (12) (производная геометрической прогрессии), а также   из (8). Сравнивая это выражение с (12), замечаем, что иначе говоря, среднее время ожидания равно среднему числу заявок в очереди, деленному на интенсивность потока заявок.

    (15).

  Среднее время  пребывания заявки в системе. Обозначим   - матожидание случайной величины — время пребывания заявки в СМО, которое складывается из среднего времени ожидания в очереди   и среднего времени обслуживания  . Если загрузка системы составляет 100%, очевидно,  , в противном же случае:

   .

  Отсюда:

   .

  Пример 1. Автозаправочная  станция (АЗС) представляет собой СМО  с одним каналом обслуживания (одной колонкой).

  Площадка  при станции допускает пребывание в очереди на заправку не более  трех машин одновременно (m = 3). Если в очереди уже находятся три  машины, очередная машина, прибывшая  к станции, в очередь не становится. Поток машин, прибывающих для заправки, имеет интенсивность  =1 (машина в минуту). Процесс заправки продолжается в среднем 1,25 мин.

  Определить:

  вероятность отказа;

  относительную и абсолютную пропускную способности АЗС;

  среднее число  машин, ожидающих заправки;

  среднее число  машин, находящихся на АЗС (включая  обслуживаемую);

  среднее время  ожидания машины в очереди;

  среднее время  пребывания машины на АЗС (включая обслуживание).

  Иначе говоря, среднее время ожидания равно среднему числу заявок в очереди, деленному на интенсивность потока заявок.

  Находим вначале  приведенную интенсивность потока заявок:  =1/1,25=0,8;  =1/0,8=1,25.

  По формулам (8):

  

  Вероятность отказа  0,297.

  Относительная пропускная способность СМО: q=1- =0,703.

  Абсолютная  пропускная способность СМО: A= =0,703 машины в мин.

  Среднее число  машин в очереди находим по формуле (12):

   ,

  т.е. среднее  число машин, ожидающих в очереди  на заправку, равно 1,56.

  Прибавляя к этой величине среднее число  машин, находящихся под обслуживанием:

  

  получаем  среднее число машин, связанных  с АЗС.

  Среднее время  ожидания машины в очереди по формуле (15):

  

  Прибавляя к этой величине  , получим среднее время, которое машина проводит на АЗС:

  

  Системы с  неограниченным ожиданием. В таких  системах значение т не ограничено и, следовательно, основные характеристики могут быть получены путем предельного  перехода   в ранее полученных выражениях (5), (6) и т.п.

  Заметим, что  при этом знаменатель в последней  формуле (6) представляет собой сумму  бесконечного числа членов геометрической прогрессии. Эта сумма сходится, когда прогрессия бесконечно убывающая, т.е. при  <1.

  Может быть доказано, что  <1 есть условие, при котором в СМО с ожиданием существует предельный установившийся режим, иначе такого режима не существует, и очередь при   будет неограниченно возрастать. Поэтому в дальнейшем здесь предполагается, что  <1.

  Если , то соотношения (8) принимают вид:

    (16).

  При отсутствии ограничений по длине очереди  каждая заявка, пришедшая в систему, будет обслужена, поэтому q=1,  .

  Среднее число  заявок в очереди получим из (12) при  :

   .

  Среднее число  заявок в системе по формуле (13) при  :

   .

  Среднее время  ожидания получим из формулы (14) при :

   .

  Наконец, среднее  время пребывания заявки в СМО есть:

   .

  2.2 Многоканальная СМО  с ожиданием  

  Система с  ограниченной длиной очереди. Рассмотрим  канальную СМО с ожиданием, на которую поступает поток заявок с интенсивностью  ; интенсивность обслуживания (для одного канала)  ; число мест в очереди  .

  Состояния системы нумеруются по числу заявок, связанных системой:

  нет очереди:

    — все каналы свободны;

    — занят один канал, остальные свободны;

    — заняты  -каналов, остальные нет;

   — заняты все  -каналов, свободных нет;

  есть очередь:

    — заняты все n-каналов; одна заявка стоит  в очереди;

    — заняты все n-каналов, r-заявок в очереди;

    — заняты все n-каналов, r-заявок в очереди.

  ГСП приведен на рис. 17. У каждой стрелки проставлены соответствующие интенсивности потоков событий. По стрелкам слева направо систему переводит всегда один и тот же поток заявок с интенсивностью  , по стрелкам справа налево систему переводит поток обслуживании, интенсивность которого равна  , умноженному на число занятых каналов.

  

  Рис. 17. Многоканальная СМО с ожиданием

  

  Граф типичен  для процессов размножения и гибели, для которой решение ранее получено. Напишем выражения для предельных вероятностей состояний, используя обозначение  : (здесь используется выражение для суммы геометрической прогрессии со знаменателем  ).

  Таким образом, все вероятности состояний найдены.

  Определим характеристики эффективности системы.

  Вероятность отказа. Поступившая заявка получает отказ, если заняты все n-каналов и  все m-мест в очереди:

    (18)

  Относительная пропускная способность дополняет вероятность отказа до единицы:

  

  Абсолютная  пропускная способность СМО:

    (19)

  Среднее число  занятых каналов. Для СМО с  отказами оно совпадало со средним  числом заявок, находящихся в системе. Для СМО с очередью среднее  число занятых каналов не совпадает  со средним числом заявок, находящихся  в системе: последняя величина отличается от первой на среднее число заявок, находящихся в очереди.

  Обозначим среднее число занятых каналов  . Каждый занятый канал обслуживает в среднем  -заявок в единицу времени, а СМО в целом обслуживает в среднем А-заявок в единицу времени. Разделив одно на другое, получим:

   .

  Среднее число  заявок в очереди можно вычислить  непосредственно как математическое ожидание дискретной случайной величины:

    (20)

  где  .

  Здесь опять (выражение в скобках) встречается  производная суммы геометрической прогрессии (см. выше (11), (12) — (14)), используя соотношение для нее, получаем:

  

  Среднее число  заявок в системе:

  

  Среднее время  ожидания заявки в очереди. Рассмотрим ряд ситуаций, различающихся тем, в каком состоянии застанет систему  вновь пришедшая заявка и сколько  времени ей придется ждать обслуживания.

  Если заявка застанет не все каналы занятыми, ей вообще не придется ждать (соответствующие члены в математическом ожидании равны нулю). Если заявка придет в момент, когда заняты все n-каналов, а очереди нет, ей придется ждать в среднем время, равное   (потому что «поток освобождений»  -каналов имеет интенсивность  ). Если заявка застанет все каналы занятыми и одну заявку перед собой в очереди, ей придется в среднем ждать в течение времени   (по   на каждую впереди стоящую заявку) и т. д. Если заявка застанет в очереди  -заявок, ей придется ждать в среднем в течение времени  . Если вновь пришедшая заявка застанет в очереди уже m-заявок, то она вообще не будет ждать (но и не будет обслужена). Среднее время ожидания найдем, умножая каждое из этих значений на соответствующие вероятности:

    (21)

  Так же, как  и в случае одноканальной СМО  с ожиданием, отметим, что это  выражение отличается от выражения  для средней длины очереди (20) только множителем  , т. е.

   .

  Среднее время  пребывания заявки в системе, так  же, как и для одноканальной  СМО, отличается от среднего времени  ожидания на среднее время обслуживания, умноженное на относительную пропускную способность:

   .

  Системы с  неограниченной длиной очереди. Мы рассмотрели  канальную СМО с ожиданием, когда в очереди одновременно могут находиться не более m-заявок.

  Так же, как  и ранее, при анализе систем без  ограничений необходимо рассмотреть  полученные соотношения при  .

  Вероятности состояний получим из формул предельным переходом (при  ). Заметим, что сумма соответствующей геометрической прогрессии сходится при   и расходится при  >1. Допустив, что  <1 и устремив в формулах величину m к бесконечности, получим выражения для предельных вероятностей состояний:

    (22)

  Вероятность отказа, относительная и абсолютная пропускная способность. Так как  каждая заявка рано или поздно будет обслужена, то характеристики пропускной способности СМО составят:

  

  Среднее число  заявок в очереди получим при   из (20):

   ,

  а среднее  время ожидания — из (21):

   .

  Среднее число  занятых каналов  , как и ранее, определяется через абсолютную пропускную способность:

   .

  Среднее число  заявок, связанных с СМО, определяется как среднее число заявок в  очереди плюс среднее число заявок, находящихся под обслуживанием (среднее  число занятых каналов):

   .

  Пример 2. Автозаправочная  станция с двумя колонками (n = 2) обслуживает поток машин с  интенсивностью  =0,8 (машин в минуту). Среднее время обслуживания одной машины:

  

  В данном районе нет другой АЗС, так что очередь машин перед АЗС может расти практически неограниченно. Найти характеристики СМО.

  Имеем:

  

  Поскольку <1, очередь не растет безгранично и имеет смысл говорить о предельном стационарном режиме работы СМО. По формулам (22) находим вероятности состояний: