СМО с ограниченным временем ожидания. Замкнутые СМО

  

    и т. д.

  Среднее число  занятых каналов найдем, разделив абсолютную пропускную способность  СМО А= =0,8 на интенсивность обслуживания  =0,5:

  

  Вероятность отсутствия очереди у АЗС будет:

  

  Среднее число  машин в очереди:

  

  Среднее число  машин на АЗС:

  

  Среднее время  ожидания в очереди:

  

  Среднее время  пребывания машины на АЗС:

  

  СМО с ограниченным временем ожидания. Ранее рассматривались системы с ожиданием, ограниченным только длиной очереди (числом m-заявок, одновременно находящихся в очереди). В такой СМО заявка, разраставшая в очередь, не покидает ее, пока не дождется обслуживания. На практике встречаются СМО другого типа, в которых заявка, подождав некоторое время, может уйти из очереди (так называемые «нетерпеливые» заявки).

  Рассмотрим  СМО подобного типа, предполагая, что ограничение времени ожидания является случайной величиной.

  Предположим, что имеется n-канальная СМО с ожиданием, в которой число мест в очереди не ограничено, но время пребывания заявки в очереди является некоторой случайной величиной со средним значением , таким образом, на каждую заявку, стоящую в очереди, действует своего рода пуассоновский «поток уходов» с интенсивностью:

  

  Если этот поток пуассоновский, то процесс, протекающий в СМО, будет марковским. Найдем для него вероятности состояний. Нумерация состояний системы связывается с числом заявок в системе — как обслуживаемых, так и стоящих в очереди:

  нет очереди:

    — все каналы свободны;

    — занят один канал;

    — заняты два канала;

    — заняты все n-каналов;

  есть очередь:

    — заняты все n-каналов, одна заявка стоит  в очереди;

    — заняты все n-каналов, r-заявок стоят в очереди и т. д.

  Граф состояний  и переходов системы показан  на рис. 23.

  

  Рис. 23. СМО  с ограниченным временем ожидания

  Разметим  этот граф, как и раньше; у всех стрелок, ведущих слева направо, будет стоять интенсивность потока заявок  . Для состояний без очереди у стрелок, ведущих из них справа налево, будет, как и раньше, стоять суммарная интенсивность потока обслуживании всех занятых каналов. Что касается состояний с очередью, то у стрелок, ведущих из них справа налево, будет стоять суммарная интенсивность потока обслуживания всех n-каналов  плюс соответствующая интенсивность потока уходов из очереди. Если в очереди стоят r-заявок, то суммарная интенсивность потока уходов будет равна  .

  Как видно  из графа, имеет место схема размножения  и гибели; применяя общие выражения  для предельных вероятностей состояний  в этой схеме (используя сокращенные  обозначения  , запишем:

    (24)

  Отметим некоторые  особенности СМО с ограниченным ожиданием сравнительно с ранее  рассмотренными СМО с «терпеливыми»  заявками.

  Если длина очереди не ограничена и заявки «терпеливы» (не уходят из очереди), то стационарный предельный режим существует только в случае   (при   соответствующая бесконечная геометрическая прогрессия расходится, что физически соответствует неограниченному росту очереди при  ).

  Напротив, в  СМО с «нетерпеливыми» заявками, уходящими рано или поздно из очереди, установившийся режим обслуживания при   достигается всегда, независимо от приведенной интенсивности потока заявок  . Это следует из того, что ряд для   в знаменателе формулы (24) сходится при любых положительных значениях   и  .

  Для СМО  с «нетерпеливыми» заявками понятие  «вероятность отказа» не имеет смысла — каждая заявка становится в очередь, но может и не дождаться обслуживания, уйдя раньше времени.

  Относительная пропускная способность, среднее число  заявок в очереди. Относительную  пропускную способность q такой СМО  можно подсчитать следующим образом. Очевидно, обслужены будут все  заявки, кроме тех, которые уйдут  из очереди досрочно. Подсчитаем, какое в среднем число заявок покидает очередь досрочно. Для этого вычислим среднее число заявок в очереди:

    (25)

  На каждую из этих заявок действует «поток уходов» с интенсивностью  . Значит, из среднего числа  -заявок в очереди в среднем будет уходить, не дождавшись обслуживания,  -заявок в единицу времени и всего в единицу времени в среднем будет обслуживаться  -заявок. Относительная пропускная способность СМО будет составлять:

  

  Среднее число  занятых каналов   по-прежнему получаем, деля абсолютную пропускную способность А на  :

    (26)

  Среднее число  заявок в очереди. Соотношение (26) позволяет  вычислить среднее число заявок в очереди  , не суммируя бесконечного ряда (25). Из (26) получаем:

   ,

  а входящее в эту формулу среднее число занятых каналов можно найти как математическое ожидание случайной величины Z, принимающей значения 0, 1, 2,..., n с вероятностями  , :

   .

  В заключение заметим, что если в формулах (24) перейти к пределу при   (или, что то же, при  ), то при   получатся формулы (22), т. е. «нетерпеливые» заявки станут «терпеливыми».  
 

  3. Замкнутые СМО  

  До сих  пор мы рассматривали системы, в  которых входящий поток никак не связан с выходящим. Такие системы называются разомкнутыми. В некоторых же случаях обслуженные требования после задержки опять поступают на вход. Такие СМО называются замкнутыми. Поликлиника, обслуживающая данную территорию, бригада рабочих, закрепленная за группой станков, являются примерами замкнутых систем.

  В замкнутой  СМО циркулирует одно и то же конечное число потенциальных требований. Пока потенциальное требование не реализовалось  в качестве требования на обслуживание, считается, что оно находится в блоке задержки. В момент реализации оно поступает в саму систему. Например, рабочие обслуживают группу станков. Каждый станок является потенциальным требованием, превращаясь в реальное в момент своей поломки. Пока станок работает, он находится в блоке задержки, а с момента поломки до момента окончания ремонта - в самой системе. Каждый рабочий является каналом обслуживания.

  Пусть n - число каналов обслуживания, s - число потенциальных заявок, n<s,   - интенсивность потока заявок каждого потенциального требования, μ - интенсивность обслуживания:

  ρ= .

  Вероятность простоя системы определяется формулой

  Р₀= .

  Финальные вероятности состояний системы:

  P_k=  при k<n, P_k=  при  .

  Через эти  вероятности выражается среднее число занятых каналов

   =P₁+2P₂+…+n(P_n+P_n+1+…+P_s) или

   =P₁+2P₂+…+(n-1)P_n-1+n(1-P₀-P₁-…-P_n-1).

  Через   находим абсолютную пропускную способность системы:

  A= ,

  а также  среднее число заявок в системе

  М=s- =s- .  

  Пример 1. На вход трехканальной СМО с отказами поступает поток заявок с интенсивностью   =4 заявки в минуту, время обслуживания заявки одним каналом t_обсл=1/μ =0,5 мин. Выгодно ли с точки зрения пропускной способности СМО заставить все три канала обслуживать заявки сразу, причем среднее время обслуживания уменьшается втрое? Как это скажется на среднем времени пребывания заявки в СМО?

  Решение. Находим вероятность простоя трехканальной СМО по формуле

  

  ρ = /μ =4/2=2, n=3,

  Р₀= = = 0,158.

  Вероятность отказа определяем по формуле:

  Р_отк=Р_n= = 

  P_отк= 0,21.

  Относительная пропускная способность системы:

  Р_обсл=1-Р_отк 1-0,21=0,79.

  Абсолютная  пропускная способность системы:

  А= Р_обсл 3,16.

  Среднее число  занятых каналов определяем по формуле:

     

         1,58, доля каналов, занятых обслуживанием,

       

  q= 0,53.

  Cреднее  время пребывания заявки в  СМО находим как вероятность  того, что заявка принимается  к обслуживанию, умноженную на  среднее время обслуживания: t_СМО 0,395 мин.

  Объединяя все три канала в один, получаем одноканальную систему с параметрами μ=6, ρ=2/3. Для одноканальной системы вероятность простоя:

  Р₀= = =0,6,

  вероятность отказа:

  Р_отк=ρ Р₀= =0,4,

  относительная пропускная способность:

  Р_обсл=1-Р_отк=0,6,

  абсолютная  пропускная способность:

  А= Р_обсл=2,4.

  Среднее время  пребывания заявки в СМО:

  t_СМО=Р_обсл = =0,1 мин.

  В результате объединения каналов в один пропускная способность системы снизилась, так как увеличилась вероятность отказа. Среднее время пребывания заявки в системе уменьшилось.

  Пример 2. На вход трехканальной СМО с неограниченной очередью поступает поток заявок с интенсивностью  =4 заявки в час, среднее время обслуживания одной заявки t=1/μ=0,5 ч. Найти показатели эффективности работы системы.

  Для рассматриваемой  системы n=3,  =4, μ=1/0,5=2, ρ= /μ=2, ρ/n=2/3<1. Определяем вероятность простоя по формуле:

  Р = .

  P₀=  =1/9.

  Среднее число  заявок в очереди находим по формуле:

  L= .

  L= = .

  Среднее время  ожидания заявки в очереди считаем  по формуле:

  t= .

  t= = 0,22 ч.

  Среднее время  пребывания заявки в системе:

  Т=t+ 0,22+0,5=0,72.  

  Пример 3. В парикмахерской работают 3 мастера, а в зале ожидания расположены 3 стула. Поток клиентов имеет интенсивность  =12 клиентов в час. Среднее время обслуживания t_обсл=20 мин. Определить относительную и абсолютную пропускную способность системы, среднее число занятых кресел, среднюю длину очереди, среднее время, которое клиент проводит в парикмахерской.

  Для данной задачи n=3, m=3,  =12, μ=3, ρ=4, ρ/n=4/3. Вероятность простоя определяем по формуле:

  Р₀= .

  P₀= 0,012.

  Вероятность отказа в обслуживании определяем по формуле

  Р_отк=Р_n+m=  .

  P_отк=P_n+m 0,307.

  Относительная пропускная способность системы, т.е. вероятность обслуживания:

  P_обсл=1-P_отк 1-0,307=0,693.

  Абсолютная  пропускная способность:

  А= Р_обсл 12 .

  Среднее число  занятых каналов:

   .

  Средняя длина  очереди определяется по формуле:

  L=

  L= 1,56.

  Среднее время ожидания обслуживания в очереди:

  t= ч.

  Среднее число  заявок в СМО:  

  M=L+ .

  Среднее время  пребывания заявки в СМО:

  Т=М/ 0,36 ч.  

  Пример 4. Рабочий обслуживает 4 станка. Каждый станок отказывает с интенсивностью  =0,5 отказа в час, среднее время ремонта t_рем=1/μ=0,8 ч. Определить пропускную способность системы.

  Эта задача рассматривает замкнутую СМО, μ=1,25, ρ=0,5/1,25=0,4. Вероятность простоя рабочего определяем по формуле: