СМО с ограниченным временем ожидания. Замкнутые СМО

  Р₀= .

  P₀= .

  Вероятность занятости рабочего Р_зан=1-Р₀ . Если рабочий занят, он налаживает μ-станков в единицу времени, пропускная способность системы: А=(1-P₀)μ=0,85μ   станков в час.  
 

  Решение задачи  

  Задача:

  Два рабочих  обслуживают группу из четырех станков. Остановки работающего станка происходят в среднем через 30 мин. Среднее время наладки составляет 15 мин. Время работы и время наладки распределено по экспоненциальному закону.

  Найдите среднюю  долю свободного времени для каждого рабочего и среднее время работы станка.

  Найдите те же характеристики для системы, в  которой:

  а) за каждым рабочим закреплены два станка;

  б) два рабочих  всегда обслуживают станок вместе, причем с двойной интенсивностью;

  в) единственный неисправный станок обслуживают оба рабочих сразу (с двойной интенсивностью), а при появлении еще хотя бы одного неисправного станка они начинают работать порознь, причем каждый обслуживает один станок (вначале опишите систему в терминах процессов гибели и рождения).

  Решение:

  Возможны  следующие состояния системы S:

  S₀ – все станки исправны;

  S₁ – 1 станок ремонтируется, остальные исправны;

  S₂ – 2 станок ремонтируется, остальные исправны;

  S₃ – 3 станок ремонтируется, остальные исправны;

  S₄ – 4 станок ремонтируется, остальные исправны;

  S₅ – (1, 2) станки ремонтируются, остальные исправны;

  S₆ – (1, 3) станки ремонтируются, остальные исправны;

  S₇ – (1, 4) станки ремонтируются, остальные исправны;

  S₈ – (2, 3) станки ремонтируются, остальные исправны;

  S₉ – (2, 4) станки ремонтируются, остальные исправны;

  S₁₀ – (3, 4) станки ремонтируются, остальные исправны;

  S₁₁ – (1, 2, 3) станки ремонтируются, 4 станок исправен;

  S₁₂ – (1, 2, 4) станки ремонтируются, 3 станок исправен;

  S₁₃ – (1, 3, 4) станки ремонтируются, 2 станок исправен;

  S₁₄ – (2, 3, 4) станки ремонтируются, 1 станок исправен;

  S₁₅ – все станки ремонтируются.

  Граф состояний  системы…

  

  Данная система S является примером замкнутой системы, так как каждый станок является потенциальным требованием, превращаясь в реальное в момент своей поломки. Пока станок работает, он находится в блоке задержки, а с момента поломки до момента окончания ремонта – в самой системе. Каждый рабочий является каналом обслуживания.

  

  

  

  

  

  

  Вероятность простоя рабочего определяется по формуле:

  

  

   .

  Вероятность занятости рабочего:

   .

  Если рабочий  занят, он налаживает μ-станков в  единицу времени, пропускная способность  системы:

   .  

  Ответ:

  Средняя доля свободного времени для каждого  рабочего ≈ 0,09.

  Среднее время  работы станка ≈ 3,64.

  а) За каждым рабочим закреплены два станка.

  

  

  

  

  

  

  Вероятность простоя рабочего определяется по формуле:

  

  

   .

  Вероятность занятости рабочего:

   .

  Если рабочий  занят, он налаживает μ-станков в  единицу времени, пропускная способность системы:

   .  

  Ответ:

  Средняя доля свободного времени для каждого  рабочего ≈ 0,62.

  Среднее время  работы станка ≈ 1,52.

  б) Два рабочих  всегда обслуживают станок вместе, причем с двойной интенсивностью.

  в) Единственный неисправный станок обслуживают  оба рабочих сразу (с двойной  интенсивностью), а при появлении  еще хотя бы одного неисправного станка они начинают работать порознь, причем каждый обслуживает один станок (вначале опишите систему в терминах процессов гибели и рождения).

  Сравнение 5 ответов:

  Наиболее  эффективным способом организации  рабочих за станками будет являться начальный вариант задачи.  
 

  Заключение   

  Выше были рассмотрены примеры простейших систем массового обслуживания (СМО). Понятие «простейшие» не означает «элементарные». Математические модели этих систем применимы и успешно используются в практических расчетах.

  Возможность применения теории принятия решений  в системах массового обслуживания определяется следующими факторами:

  1. Количество  заявок в системе (которая рассматривается  как СМО) должно быть достаточно  велико (массово).

  2. Все заявки, поступающие на вход СМО, должны  быть однотипными.

  3. Для расчетов  по формулам необходимо знать  законы, определяющие поступление заявок и интенсивность их обработки. Более того, потоки заявок должны быть Пуассоновскими.

  4. Структура  СМО, т.е. набор поступающих  требований и последовательность  обработки заявки, должна быть  жестко зафиксирована.

  5. Необходимо исключить из системы субъектов или описывать их как требования с постоянной интенсивностью обработки.

  К перечисленным  выше ограничениям можно добавить еще  одно, оказывающее сильное влияние  на размерность и сложность математической модели.

  6. Количество  используемых приоритетов должно быть минимальным. Приоритеты заявок должны быть постоянными, т.е. они не могут меняться в процессе обработки внутри СМО.

  В ходе выполнения работы была достигнута основная цель – изучен основной материал «СМО с  ограниченным временем ожидания» и «Замкнутые СМО», которая была поставлена преподавателем учебной дисциплины. Также мы ознакомились применением полученных знаний на практике, т.е. закрепили пройденный материал. 

  Список  литературы  

  1) http://www.5ballov.ru.

  2) http://www.studentport.ru.

  3) http://vse5ki.ru.

  4) http://revolution..

  5) Фомин  Г.П. Математические методы и  модели в коммерческой деятельности. М: Финансы и статистика, 2001.

  6) Гмурман  В.Е. Теория вероятностей и  математическая статистика. М: Высшая  школа, 2001.

  7) Советов Б.А., Яковлев С.А. Моделирование систем. М: Высшая школа, 1985.

  8) Лифшиц  А.Л. Статистическое моделирование  СМО. М., 1978.

  9) Вентцель  Е.С. Исследование операций. М:  Наука, 1980.

  10) Вентцель  Е.С., Овчаров Л.А. Теория вероятностей  и её инженерные приложения. М: Наука, 1988.