Алгебраичный метод

 

ЗМІСТ:

Вступ _________________________________________________________1                                                                                                                   

ТЕОРЕТИЧНА  ЧАСТИНА:

Розділ 1. Основні теоретичні відомості, що стосуються методу у геометричних побудовах

1. Поняття про алгебраічний метод у геометрії побудов циркулем і лінійкою._________________________________________________________2
2. Побудова основних формул.

1.2.1) Побудова коренів квадратного рівняння

  a) За формулами.________________________________________________4

  b) За теоремою Вієта.____________________________________________5

1.2.2) Поняття про однорідні функції_____________________________7

1.2.3) Побудова деяких однорідних виразів циркулем і лінійкою_____8

1.2.4) Характеристична властивість функції, що визначає довжину того самого відрізка при будь-якому виборі одиниці виміру__________________11

1.2.5. Побудова  виразів, що не є однорідними  функціями 1-го виміру від довжин  даних відрізків____________________________________________13

1.2.6) Ознака можливості побудови відрізка, що є заданою функцією даних відрізків___________________________________________________14

Розділ 2. Застосування алгебраїчного методу у розв’язку геометричних задач  на побудову.

2.1. Схема  розв’язування задач на побудову  алгебраїчним методом_____22

2.2. Розв’язування задач на побудову_______________________________23

Висновки______________________________________________________32

Список  використаної літератури

 

 

 

 

 

Вступ

Алгебраїчним  методом розв’язування геометричних задач на побудову називають сукупність прийомів по використанню чисел алгебраїчних дій, формул, рівнянь і формул для  розв’язання даної задачі.

Актуальність полягає в тому, що за алгебраїчним методом розв’язування геометричних задач на побудову  легше визначити умову можливості існування розв’язків даної задачі ,виявити їх кількість, а також особливості кожного розв’язку.

Знайдені  в результаті розв’язування рівняння формули дають змогу дослідити  можливість виконання побудови циркулем і лінійкою. Одержана формула часто вказує на шлях побудови шуканої величини.

Алгебраїчний  метод дає можливість звести різні  задачі геометричного змісту до розв’язування  і дослідження алгебраїчних рівнянь, а це в свою чергу, дає змогу  з’ясувати властивості креслярських інструментів і можливості виконання  ними інших побудов 

Цей метод  з’явився з відкриттям французьким математиком і філософом Р. Декартом (1596-1650) методу координат. Основною ідеєю методу координат є встановлення зв’язку між геометричними об’єктами (точкою, відрізком, прямою, колом тощо) і числами, що їх характеризують, між геометричними твердженнями і алгебраїчними формулами, рівняннями, функціями.

Мета  алгебраїчного методу розв’язання  задач на побудову полягає в тому, щоб залежність між даними і шуканими елементами фігури, що розглядається в умові задачі, виразити за допомогою формул і рівнянь на основі відомих з курсу геометричної прогресії.

Суть  алгебраїчного методу полягає в  тому, що в припущенні, що задача розв’язана, виділяють на малюнку такі невідомі елементи (відрізки), до побудови яких зводиться розв’язання задачі. Потім  на основі даних умови задачі і  відомих теорем з геометрії взаємозв’язки  між даними і шуканими елементами (відрізками) виражаємо  алгебраїчно  у вигляді рівняння дають алгебраїчні  вирази, за якими виконується побудова шуканих відрізків.

Розділ 1. Основні теоретичні відомості, що стосуються методу у геометричних побудовах

 

1.1 Поняття про алгебраічний метод у геометрії побудов циркулем і лінійкою.

У задачах на побудову серед даних елементів можуть бути деякі відрізки, кути, співвідношення відрізків. Виявляється, що усі дані елементи можна виразити тільки відрізками. Наприклад, кут можна задати трьома відрізками — сторонами трикутника, один з кутів якого дорівнює даному.

Дані відрізки і їх довжини будемо позначати  першими літерами англійського алфавіту a, b, c, d, e, m, n, а невідомі ― x, y, z, u, v. За допомогою деяких співвідношень невідомі відрізки можна виразити через дані як певні функції даних: .

Користуючись  цими формулами, можна побудувати шукані відрізки певними інструментами, а, отже, розв’язати задачу на побудову.

Побудова  відрізків, виражених формулами  через дані відрізки, циркулем і  лінійкою зводиться до таких простіших  основних формул, відомих з шкільного  курсу математики: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5)

Питання про  можливість зведення формули, що виражає  шуканий відрізок через дані, зв’язане з поняттям однорідності формули, однорідності многочлена. Нагадаємо, що виміром або степенем цілого раціонального одночлена називається сума показників букв, які до нього входять. Якщо всі члени многочлена мають один і той же вимір, то такий многочлен називається однорідним, а показник степеня — виміром або степенем однорідності многочлена.

Можна довести, що циркулем і лінійкою можна побудувати тільки відрізки, виражені через дані відрізки однорідними виразами першого виміру. Такими є названі десять основних формул. Однорідні вирази не першого виміру циркулем і лінійкою безпосередньо побудувати не можна, але їх можна звести до першого виміру за допомогою одиничного відрізка, взятого у відповідному степені.

Так, відрізки , , безпосередньо побудувати не можна, але вибравши якийсь відрізок е за одиничний, можна вирази в правій частині звести до першого виміру, взявши відповідно

 

1.2. Побудова основних формул

1.2.1) Побудова коренів квадратного рівняння

a) За формулами.

Припустимо, що умови задачі на побудову можуть бути виражені квадратним рівнянням. Рівняння запишемо в однорідній формі:

(1)

Одержимо:

=,

 

=.

З цих формул ясно, що рівняння зводиться до побудови радикала . Але це знайома побудова катета прямокутного трикутника по гіпотенузі та іншому катеті n.

Дійсно  значення для одержимо за умови ≥n.

Помітимо, що коефіцієнти m і n у рівнянні (1), що виражає довжини відрізків, передбачаються додатніми.

Якби  дане квадратне рівняння мало вигляд:

(2)

Тоді ми будували б побудовою гіпотенузи прямокутного трикутника по двох його катетах і n.

У такому випадку  корені рівняння (2) завжди дійсні і зміна знака b коефіцієнта m не змінює побудови.

 

 

 

 

                                                 рис.2

 

b) За теоремою Вієта.

Припустимо, що розглянуте рівняння має вигляд:

Якщо  позначимо його корені буквами , то будемо мати (по теоремі Віета):

                               .           (3)

Друга з  цих формул показує, що корені мають  однакові знаки; тому перша формула  може бути написана так:

                 

Таким чином, досить побудувати два відрізки, сума яких дорівнює даному відрізкові m, а добуток .

З цією метою  на відрізку АВ= m (рис 2), як на діаметрі, будуємо окружність АВМ. Потім будуємо пряму MN паралельну прямій АВ і віддалену від неї на відстані n. Тоді перпендикуляр МР визначить на прямій АВ точку Р. Відрізки АР, РВ і представляють корені , взяті за абсолютним значенням.

 Дійсно , будемо мати:

АР+РВ=АВ= m,              АР*РВ= = .

Як уже  було раніше сказано, рівняння (1) має дійсні корені за умови n. На рисунку (2) цей факт виступає особливо наочно. Справді, при пряма паралельна АВ і віддалена від неї на відстані n, не перетинала б окружності (АВМ)

Якщо  рівняння має вигляд

 

 

Тоді  його корені мають різні знаки, як це видно за добутком (-

Отже, їх алгебраїчну суму можна порахувати віднімаючи відповідні відрізки.

Побудова  коренів у цьому випадку може бути зроблене в такий спосіб (рис.3). З довільної точки О радіусом ОМ описуємо окружність. У довільній точці М цієї окружності проводимо дотичну до неї і відкладаємо на ній відрізок MN=n. Через точки N і O проводимо пряму, що перетинає окружність у точках А и В. Тоді відрізки AN і N  зображують абсолютні величини коренів квадратного рівняння. Справді,

AN-BN=AB=m.

AN*BN==

  Очевидно, що корені рівняння (2) завжди дійсні і побудова рис.3 завжди можлива.

Продемонструємо побудову коренів квадратного рівняння на задачі про розподіл відрізка в  середнім і крайнім відношеннях.

Як відомо, у цій задачі  потрібно даний відрізок розділити на два таких, щоб більший з них був середнім пропорційним між усім відрізком і меншим.

Якщо  позначимо довжину даного відрізка через а, а довжину шуканого більшого відрізка через х, то умови задачі можна виразити в такий спосіб:

а:х=х(а-х),

що дає  квадратне рівняння

 

 Таким  чином, рішення задачі зводиться  до побудови коренів квадратного  рівняння, що може бути зроблене  як по формулі дискримінанту, так і по теоремі Віета.

Так, наприклад  якщо на рис.3 покласти , то відрізок дає рішення задачі. Другий корінь AN(AN>a),мабуть, не задовольняє умовам задачі і повинний бути відкинутий.

 

1.2.2) Поняття про однорідні функції.

Перш  ніж зупиниться на загальних прийомах побудови алгебраїчних виразів і на виділенні широких класів виразів, які можна побудувати циркулем і лінійкою, нам потрібно розглянути поняття однорідної функції.

Розглянемо  три функції:

1) y=;       2) y=      3) y=.

Підставимо  в ці формули замість букв a, b, с з відповідно , де до - довільне додатне число. Тоді одержимо:

У 1-вом випадку: : +2kb= k(k+2b),

 В  2-ом випадку: = =,

У 3-ем випадку: =

Помітимо  що в другому й у третьому випадках зроблена підстановка рівносильна  множенню функції на деякий степенів числа k, а саме: у другому на k, у третьому на . Функція (1) цією властивістю не володіє. Функції (2) і (3) будемо відносити до класу однорідних, а функцію (1)- до класу неоднорідних.

 Визначення. Функцію Y= f (a, b, c, …, l) будемо називати однорідного виміру, якщо при будь-якому додатному значення числа k заміна всіх аргументів a, b, c, …, l відповідно на ka, kb, kc,…,kl рівносильна множенню усієї функції на . Іншими словами однорідна функція повинна задовольняти рівності: при всіх додатних значеннях k.

У приведених прикладах функція (2) ― однорідна 1-го виміру, функція (3)― однорідна 2-го виміру, функція (1) не є однорідною.

Функція , представляє приклад однорідної функції нульового виміру, а функція, однорідна виміру (-1).

 

 

1.2.3) Побудова деяких однорідних виразів циркулем і лінійкою.

Користуючись  поняттям однорідної функції, неважко  виділити деякі класи алгебраїчних виражень, що можуть бути побудовані циркулем і лінійкою. Побудова цих виражень виробляється за допомогою основних побудов,

За допомогою  циркуля і лінійки можна будувати однорідні алгебраїчні вираження 1-го виміру, що утворені з довжин даних  відрізків винятково за допомогою дій множення і ділення.

 Загальний  вид такого вираження: де де а_1, а₂, ..., _{; b1}, b₂, ...,b(_п-1)— довжини даних відрізків.

Задача  зводиться до послідовного виконання  побудов за формулами:

, , … ,,

т. е. до побудов четвертих пропорційних відрізків.

Це побудова зручна здійснити в такий спосіб (рис3): з довільної точки О проводимо n променів; на кожнім промені будуємо двох точок А і _{так, щоб} (k= 1, 2, 3,…,n-1).

На останньому промені відкладаємо 0А_п = а_п. Будуємо потім відрізки В₁А₂, В₂А₃, ..., _. Нарешті, проводимо: ламану А₁ Х₂ Х₃... Х_n ,так що точка лежить на промені 0А_к і відрізок X_k-1X_k рівнобіжний . Тоді .

Зокрема, завжди можна побудувати циркулем і  лінійкою відрізки, задані формулами  виду

 

 

 

 

 

 

Нехай — дані відрізки (а, b, с,… , l) і Рn(а, b,…, l)— однорідні

многочлени (з раціональними коефіцієнтами) від a, b,…,l виміру відповідно n+1 і n. Циркулем і лінійкою можна побудувати відрізок, заданий формулою , , … ,,

Многочлен є сумою однорідних виразів виду A;

=

Де q+w+…+e=n+1, А― раціональне число. Аналогічно = де q1+w1+…+e1=n, A1—раціональне число.

Нехай — довільний побудований відрізок, наприклад а або b. Розділимо чисельник Р_n+1 на d^n,, а знаменник Р_n на d^n-1

Тоді 

 

 — представляє суму виразів виду A

Кожний такий вираз можна побудувати, після чого легко будується і сума таких виразів. Позначимо отриманий відрізок через так що . Аналогічно побудуємо відрізок , такий що. Шуканий відрізок побудуємо за формулою

Таким чином, за допомогою циркуля і лінійки  можна побудувати відрізок, довжина  якого задана у виді будь-якої раціональної однорідної функції 1-го виміру (з раціональними  коефіцієнтами) від довжин даних  відрізків.

Циркулем  і лінійкою завжди можна побудувати вираження виду де підкореневий вираз — однорідна раціональна функція 2-го виміру з раціональними коефіцієнтами.

Нехай d—  довільний відрізок. Тоді

 

Будуємо послідовно відрізки і по формулах: (що можливо, тому що права частина — раціональна функція 1-го виміру відносно a, b, с, ... ,l і х = .