Алгебраичный метод

 

1.2.4) Характеристична властивість функції, що визначає довжину того самого відрізка при будь-якому виборі одиниці виміру

Усі вирази розглянуті в пунктах 1.2.1, 1.2.2 і 1.2.3, є однорідними функціями 1-го виміру від вхідних у них довжин відрізків. При побудові цих виразів ми не цікавилися питанням, якою одиницею довжини вимірювались дані відрізки. Так як можна показати, що у кожнім з розглянутих випадків при будь-якому виборі одиниці виміру ми одержали б той самий відрізок.

Однак не усяка функція у= f (а, b,...,l) визначає довжину того самого відрізка при будь-якому виборі одиниці виміру.

Роз'яснимо це на прикладах:

Нехай — даний відрізок. Розглянемо дві функції:

1)Y = 2a (1)

2) у= а² (2)

Для визначеності припустимо, що відрізок, містить 4 дм. Перша з розглянутих функцій — однорідна 1-го виміру, а друга — однорідна 2-го виміру.

Розглянемо  спочатку 1-ю функцію. Приймемо за одиницю 1 дм. Тоді, а=4, Y=8. Отже, Y — відрізок, що містить 8 дм.  Чи одержимо ми більший або менший відрізок, якщо приймемо як одиничний відрізок не 1 дм, а інший відрізок? Нехай одиничний відрізок дорівнює 1 см. Тоді, а=40, Y=80, тобто — відрізок, що містить 80 см або 8 дм. Отже, в другому випадку ми одержали такий же відрізок Y, як і в першому. Можна показати, що такий же відрізок Y ми одержали б і при всякому іншому виборі одиничного відрізка.

Перейдемо тепер до розгляду 2-ої функції: у=а²  (яка не є однорідної 1-го виміру). Якщо приймемо за одиничний відрізок 1 дм, то а=4 і y=16, тобто відрізок повинний містити 16 дм. Якщо прийняти за одиничний відрізок 1см, то а=40, у=1600, тобто відрізок повинний містити 1600 см, або 160 дм. Таким чином, відрізок, що ми одержуємо в другому випадку, у 10 разів більше відрізка, отриманого в першому випадку, так що функція (2) визначає не рівні між собою відрізки при різному виборі одиничного відрізка.

Число у=а² можна розглядати як ординату точки, що має абсцису а, що належить параболі у=х². Аналогічно можна показати Y(Y=2a) як ординату точки, що лежить на прямій Y=2х.

Ми бачили, що відрізок , де у=а²,, залежить від вибору одиниці виміру, у той час як відрізок для якого, Y=2a не залежить від цього. Це розходження виявляється в тому, що графік функції Y=2х. (рис.4, рис.5) не зміниться, якщо змінити одиницю масштабу, а графік функції Y=х² у результаті цього зміниться.

Виникає питання: якими властивостями повинна  володіти додатна функція у= f (a, b, с,  ..., l)(a, b, c.....l — довжини даних відрізків) для того, щоб вона при будь-якому виборі одиниці виміру визначала довжину того самого відрізка?

 

 

 

 

 

 

Виявляється, що це буде мати місце тоді і тільки тоді, коли f (a, b, с,  ..., l) — однорідна функція 1-го виміру від своїх аргументів.

Саме  в силу властивості при побудові однорідних виразів 1-го виміру немає потреби вказувати, крім даних відрізках, ще й одиничний відрізок: при будь-якому виборі одиничного відрізка в результаті побудови буде отриманий той самий відрізок.

 

1.2.5. Побудова виразів, що не є однорідними функціями 1-го виміру від довжин даних відрізків

Побудова  довільного вираження від n аргументів можна завжди звести до побудови деякого однорідного вираження 1-го виміру від n+1 аргументів. Справді, нехай потрібно побудувати відрізок у по формулі: у = f (а, b,c, ... , l), де l(а, b,..., l) не є однорідною функцією 1-го виміру від довжин даних відрізків , , ,…, . Нехай нам заданий деякий відрізок у якості одиничного. Таким чином, е=1. Звідси f (а, b,c, ... , l)= e*f() Тому задача зводиться до побудови відрізка за формулою:

у = e*f()

Права частина  цієї рівності — однорідна функція 1-го виміру від довжин n+1 відрізків, , ,…, . та Якщо ми зуміємо побудувати відрізок по цій формулі, то він і буде шуканим (при обраній одиниці масштабу). Зауважимо, що ми одержимо різні (тобто нерівні між собою) відрізки в залежності від вибору відрізка .

 

1.2.6) Ознака можливості побудови відрізка, що є заданою функцією даних відрізків

Користуючись  циркулем і лінійкою, ми будували ряд  виразів, як однорідних, так і неоднорідних. Однак не всяке алгебраїчний вираз можна побудувати цими інструментами. З того, що довжина якогось (шуканого) відрізка є відомою функцією даних відрізків, ще не випливає, що його можна побудувати циркулем і лінійкою. Так, наприклад, цими інструментами не можуть бути побудовані відрізки, задані формулами, , і багато інших.

Встановимо критерій, що дозволив би з'ясувати в кожнім окремому випадку, чи можна відрізок, заданий формулою, побудувати циркулем і лінійкою або не можна. Для стислості операції додавання, вирахування, множення, ділення, квадратного кореня (арифметичного з від'ємного числа) назвемо основними діями.

Надалі  ми припускаємо, що дано (або обраний) одиничний відрізок. У тому випадку, коли будується однорідне вираження 1-го виміру, ми можемо виконати побудову, не користуючись цим відрізком. В  всіх інших випадках він істотно  необхідний для побудови.

Теорема. Для того, щоб циркулем і лінійкою можна було побудувати відрізок, довжина якого є заданою додатною функцією довжин даних відрізків, необхідно і досить, щоб довжину шуканого відрізка можна було виразити через довжини даних відрізків за допомогою кінцевого числа основних дій.

Доказ. 1. Достатність. Нехай потрібно побудувати деякий відрізок, довжина якого виражається через довжини даних відрізків за допомогою кінцевого числа основних дій. Покажемо, що такий відрізок можна побудувати за допомогою циркуля і лінійки. Циркулем і лінійкою можна побудувати  відрізок, довжина якого дорівнює одному з наступних виражень:1) сумі довжин побудованих відрізків, 2) різниці довжин побудованих відрізків (де зменшуване більше вичитаємого) 3) добуткові, 4) частці довжин двох побудованих відрізків, і 5) квадратному кореневі з довжини побудованого відрізка. Крім перерахованих виражень, додатна функція, складена тільки за допомогою основних операцій, може містити одну або декілька від'ємних різниць. Але кожний раз, коли зустрінеться така різниця, від неї можна  перейти до  додатньої різниці, користуючись тотожним співвідношенням a― b =- (b ― а). Після кінцевого числа таких тотожних перетворень дана функція буде містити вже тільки різниці, у яких зменшуване більше від'ємника. Звідси випливає, що дійсно можна виконати послідовно всі побудови, що відповідають основним операціям, у тім порядку, у якому ці операції зазначені в заданій формулі, так що після кінцевого числа кроків ми  дійсно побудуємо відрізок, довжина якого виражається через довжини даних відрізків заданою формулою.

Необхідність. Нехай відомо, що відрізок , довжина якого и, є заданою функцією від довжин даних відрізків (тобто u= f()може бути побудований циркулем і лінійкою. Доведемо, що в такому випадку довжина відрізка може бути виражена через довжини даних відрізків за допомогою кінцевого числа основних дій.

 

 

 

мал.7

Побудуємо на площині прямокутну систему ординат (мал.7). Завжди можна розташувати  відрізки на додатному промені осі абсцис так, щоб одним з кінців кожного відрізка служив початок координат О. У такий спосіб на осі абсцис утворяться крапки .

Як відомо, усяка побудова точок, здійсненна циркулем і лінійкою, зводиться до виконання конечною числа наступних основних побудов:

1) побудова прямої, що проходить через дві побудовані точки;

2) побудова окружності з центром у побудованій точці і радіусом, рівним відстані між двома побудованими точкам;

3) побудова загальних точок:

двох побудованих прямих;

побудованій прямій і побудованій  окружності;

двох побудованих окружностей;

4)побудова точки, що свідомо не належить побудованій фігурі або ж свідомо їй приналежної;

За умовою можна побудувати відрізок і, довжина якого є заданою функцією від чисел. .

Ясно, що побудова відрізка и рівносильна побудові його кінців А и В. Тому що відрізок и можна побудувати, то повинна існувати цепь з кінцевого числа основних побудов, у результаті виконання яких на якомусь кроці буде побудований один з кінців відрізка (наприклад, точка А), а на деякому m-м кроці (s>rn ) — інший його кінець, точка В. Довжина відрізка і визначається через координати () і (',') точок А и В по формулі:

 

Тепер потрібно показати, що числа ',', виражаються через числа а_1, а₂,..., лише за допомогою кінцевого числа основних дій.

Для доказу застосовуємо метод повної індукції.

Умовимося називати координати центра окружності і її радіус параметрами окружності, коефіцієнти рівняння прямої (записаного у вигляді у=kх+ b або х=с) — параметрами прямої, координати точки — параметрами цієї точки. Методом індукції доводиться наступна пропозиція: s основних побудов, у результаті яких виходять кінці відрізка , можна завжди виконати так, щоб у результаті кожного з них будувалася лінія або точка, параметри якої виражаються через довжини даних відрізків а_1, а₂,... , лише за допомогою кінцевого числа основних дій.

Розглянемо  спочатку 1-й крок. На 1-м кроці  виконується одна з наступних побудов:

1) побудова  окружності з центром у даній  крапці  і радіусом, рівним відстані між якими-небудь двома даними точками; рівняння її буде, де числа , означають довжини даних відрізків або нуль;

2) побудова  прямої, що проходить через дві  дані точки, у результаті чого отримаємо вісь абсцис;

3) вибір  довільної точки, що є однієї з даних точок або ж свідомо ту що не є однієї з них.

У перших двох випадках, мабуть, параметри побудованих  ліній виражаються через довжини  даних відрізків раціонально. У  третьому випадку завжди можна вибрати  як довільну точки точку, координати якої раціонально виражаються через довжину одного з даних відрізків

Таким чином, для 1-го кроку побудови справедливість доказуваної речення встановлена. Нехай тепер у результаті перших n-1 кроків нами побудовані лінії і точки, параметри яких виражаються за допомогою лише основних дій числа а_1, а₂,... , . Покажемо, що це буде мати місце і після n-го кроку. Розглянемо кожний з можливих випадків.

1-й випадок. На n-м кроці будується пряма, що проходить через дві невідомі точки (х₁; у₁) і (х₂; у₂). У силу індуктивного припущення  можна вважати, що їх координати виражаються через числа а_1, а₂,... , за допомогою кінцевого числа основних дій. Рівняння прямої, що ми будуємо, має вигляд:

                                              ,

Тобто                             

Або                                       y= kx+ b

Де k і b раціонально виражаються через числа , , а отже, параметри k і b виражаються через числа а_1, а₂,... , за допомогою лише кінцевого числа основних дій

Наше  міркування невірне, якщо х₁=х₂. Але в цьому випадку рівняння прямої має вигляд х=х₁ і, отже, параметр її також виражається через числа а_1, а₂,... , за допомогою кінцевого числа основних дій.

2-й випадок. На n-м кроці будується окружність з центром у побудованій точці (с;d) і радіусом, рівним відстані між двома побудованими точками (х₁; у₁) і (х₂; у₂). Рівняння окружності має вигляд (х — c)²+(y — d)² = m², де

.

У силу індуктивного допущення допускаємо, що параметри побудованої окружності виражаються через числа а_1, а₂,... , за допомогою кінцевого числа основних дій.

3-й випадок. На n-м кроці будується точка перетинання двох побудованих прямих. Нехай рівняння цих прямих:

y= kx+b (1)

y= (2)

координати точки перетинання ,така існує, якщо kk можуть бути знайдені шляхом рішення системи рівнянь (1) і (2). Знайдемо при цьому:

 

Але параметри  прямих (1) і (2) виражаються, у силу індуктивне допущення, через числа а_1, а₂,... , за допомогою лише кінцевою числа основних дії. Виходить, і координати крапки перетинання даних прямих визначаються через числа а_1, а₂,... , за допомогою кінцевого числа основних дій. Ще простіше установити справедливість пропозиції для випадку, коли рівняння однієї з прямих має вигляд х=

4-й випадок. На n-м кроці будуються загальні точки прямій і окружності. Нехай рівняння окружності

(1)

Нехай рівняння прямої

y= kx+b (2)

Параметри прямій і окружності виражаються, у  силу допущення, через числа а_1, а₂,..., за допомогою кінцевого числа основних дій. Координати загальних точок прямої і окружності знайдемо, рішаючи спільно два рівняння (1) і (2). Ісключивши із цих рівнянь у, одержимо квадратне рівняння відносно х, рішивши його, знайдемо х, а потім і y, що виражаються через числа , , r, k, b за допомогою кінцевого числа основних дій. Обчислення показують, що в знаходимо потім по формулі (2)

 

 

 Під  радикалом не може виникнути  від’ємне число, тому що це означало б, що числа х мнимі, тобто що окружність не перетинається з прямою, а це суперечить умові. Міркуючи, як і раніше, знайдемо, що координати загальних точок прямої і окружності виражаються через числа а_1, а₂,..., лише за допомогою кінцевого числа основних дій. Результат залишається в силі і для випадку, коли розглянута пряма паралельна осі ординат.

5-й випадок. На n-м кроці будуються загальні точки двох окружностей. Координати загальних точок повинні задовольняти двом рівнянням:

(1)

(2)

причому параметри цих окружностей виражаються, у силу допущення, через числа а_1, а₂,..., за допомогою кінцевого числа основних дій. Система рівнянь (1) і (2) легко приводиться до системи, що складає з одного лінійного рівняння й одного рівняння 2-й ступеня: