Аналитическая геометрия

Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное  учреждение

высшего профессионального  образования

ПЕРМСКИЙ  ГОСУДАРСТВЕННЫЙ  ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Аналитическая геометрия

Индивидуальные  задания

 
 
 
 

Пособие разработано ст. преп. Смышляевой Т. В. Одобрено  методической комиссией кафедры  «Высшая математика» © 2007, каф. «Высшая математика» ПГТУ

 

Пермь 2007

 

Образец решения  варианта 

1. Даны вершины  треугольника: А (1,-3), В (2,5) и С (8,1). Найти  точку пересечения медианы, проведенной из вершины А и высоты – из вершины В, а также длину медианы, проведенной из вершины А.

Решение:

Рис. 1

Составим  уравнение медианы АD. Координаты точки D определяем по формулам координат середины отрезка . D (5; 3). Используем уравнение прямой, проходящей через две точки . Получаем .

Уравнение медианы AD: .

Составим  уравнение высоты, проведенной из вершины В. Так как ВЕ ^ АС, следовательно . Угловой коэффициент прямой АС определяем по формуле . Следовательно, . Используем уравнение прямой, проходящей через данную точку М₀ (x₀,y₀) в данном направлении .

Уравнение высоты из вершины В: , .

Для нахождения координат точки пересечения  медианы, проведенной из вершины  А и высоты, проведенной из вершины  В нужно решить совместно из уравнения  . Точка О (4; ).

Длина медианы определяется по формуле  расстояния d между точками А (x₁,y₁)и D (x₂,y₂) на плоскости .

А (1,-3), D (5,3) .

2. Составить уравнения прямых, проходящих через начало координат и образующих с прямой .

Решение:

Рис. 2

Уравнения искомых прямых имеют вид  , так как прямые проходят через начало координат. Задача имеет два решения (Рис. 2). Для решения используем формулу , причем, поскольку нас интересует острый угол, правую часть формулы возьмём по абсолютной величине. Пусть угловой коэффициент одной из искомых прямых равен k. Угловой коэффициент заданной прямой равен 3. Так как угол между этими прямыми равен , то .  

Тогда , отсюда и .

Решая каждое из получившихся уравнений, находим, что угловой коэффициент одной  из прямой , а другой . Уравнения искомых прямых .

3. Даны вершины А (-3,-2), В (4,-1), С (1,3) трапеции ABCD (AD || BC). Составить уравнение средней линии трапеции. Полученное уравнение привести к уравнению в «отрезках» и к нормальному.

Решение: Составим уравнение прямой ВС (уравнение  прямой, проходящей через две точки).

От общего уравнения прямой  ( ) перейдем к уравнению с угловым коэффициентом ( ).

Средняя линия трапеции параллельна ВС и  проходит через середину отрезка  АВ. Е – середина АВ, следовательно  Е ( ).

Так как  прямые параллельны, то . Используем уравнение прямой

Уравнение средней линии трапеции: .

Уравнение прямой в отрезках:

Рис. 3

, а – величина отрезка отсекаемого прямой на оси ОХ, b - величина отрезка отсекаемого прямой на оси ОY.

Перенося  свободный член данного уравнения  в правую часть равенства, получим  . Деля обе части равенства на -5, будем иметь . Следовательно, (Рис. 4).

Рис. 4

Нормальное  уравнение прямой (Рис. 5) , р – длина перпендикуляра, опущенного из начала координат на прямую, a - угол, который образует этот перпендикуляр с положительным направлением оси ОХ.

Рис. 5

Для приведения общего уравнения прямой к нормальному  виду обе его части надо умножить на нормирующий множитель , причем перед дробью следует выбрать знак, противоположный знаку свободного члена С в общем уравнении прямой.

Находим нормирующий множитель  (знак минус берется потому, что С = 5 > 0). Таким образом, нормальное уравнение полученной прямой имеет вид .

Направляющие  косинусы . Длина перпендикуляра из начала координат к прямой . 

4.  Найти  расстояние между параллельными прямыми .

Решение: Искомое расстояние найдем как расстояние от произвольной точки первой прямой до второй прямой. Возьмем на первой прямой произвольную точку, например, точку с абсциссой  . Её ордината . Итак, на первой прямой выбрана точка А (1;3). Найдем теперь расстояние этой точки до второй прямой по формуле .

.

5. Даны точки М₁ (-3; 7; -5) и М₂ (-8; 3; -4). Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М₁ и перпендикулярной вектору .

Решение: Найдем координаты нормального вектора  . Имеем .

Уравнение плоскости, проходящей через данную точку М ( ). Перпендикулярно данному вектору : .

Искомое уравнение плоскости: .

6. Через точку пересечения плоскостей провести плоскость, параллельную плоскости . Найти расстояние точки М₁ (1; -1; -1) до построенной плоскости.

Решение:

Плоскости пересекаются, следовательно  . Решив систему уравнений , получим точку М (3; 5; 7).

Так как  искомая плоскость параллельна плоскости , то в качестве ее нормального вектора можно взять нормальный вектор данной плоскости ( - условие параллельности двух плоскостей).

Используя теперь уравнение плоскости, проходящей через точку М перпендикулярно данному вектору , получаем . Это и есть искомое уравнение.

Расстояние  от точки  до плоскости определяется по формуле . В данном случае .

7. Плоскость a проходит через точки: . Плоскость b проходит через ось ОХ и точку . Найти угол между плоскостями a и b.

Решение: Уравнение плоскости, проходящей через три данные точки имеет вид . В данном случае .

Раскрывая этот определитель, получим  - уравнение плоскости a. Если плоскость проходит через ось ОХ, А = 0, D = 0(общее уравнение плоскости ) т. е. . Плоскость b проходит через ось ОХ и точку М₄ (9,-3, 8). Подставляем в это уравнение координаты точки М₄ получим или , таким образом, имеем , т. е. - уравнение плоскости b.

Угол  между плоскостями определяется по формулам , где . Нормальный вектор плоскости a: . Для плоскости b: . Определяем острый угол между плоскостями a и b:

.

8. Общее уравнение прямой преобразовать к каноническому виду.

Решение:

Первый способ. Наметим такой план решения задачи: из системы исключим сначала y и выразим z через x, потом исключим х и выразим z теперь уже через y.

Для того чтобы из системы исключить у, сложим первое уравнение системы  почленно со вторым. Получим, что  , откуда .

Умножая первое уравнение на (2), а второе на ,(-3) и складывая их почленно, получим  , откуда или .

Сравнивая найденные значения z, получаем уравнение прямой в каноническом виде .

Умножая теперь все знаменатели на 15, окончательно получим  . Прямая проходит через точку и имеет направляющий вектор .

Второй  способ. Найдем направляющий вектор прямой. Так как он должен быть перпендикулярен нормальным векторам заданных плоскостей и , то в качестве его можно взять векторное произведение векторов : .

Таким образом, l = -3, m = 8, n = -15. За точку , через которую проходит искомая прямая, можно принять точку её пересечения с любой из координатных плоскостей, например с плоскостью ХOY. Поскольку при этом , координаты определяются из системы уравнений заданных плоскостей, если положить в них

, отсюда получаем  . Так как каноническое уравнение имеет вид , то в данном случае . 

9. Написать  уравнение прямой l, проходящей через точки А (-1; 2; 3) и В (5; -2; 1). Лежат ли на этой прямой точки: К (-7; 6; 5), L (2; 0; 1), М (-4; 4; 4)? При каком значении m прямая l перпендикулярна прямой .

Решение: Уравнение прямой, проходящей через  две данные точки М (х_1; y₁; z₁) и N(x₂; y₂; z₂):

Прямая  l: . Подставляем в эти уравнения координаты точек K, L, M, соответственно находим: ; ; . Следовательно, KÎl, MÎl, LÏl. Условие перпендикулярности двух прямых - . В данном случае для прямой .

Тогда

     При  прямые перпендикулярны.

10. При каких значениях n и А прямая и плоскость будут перпендикулярны? При n = -1 и А = 3 найти точку пересечения прямой с плоскостью и угол между ними.

Решение: - условие перпендикулярности прямой и плоскости (Рис. 6).

Рис. 6

В данном случае

При А = -4; n = прямая и плоскость перпендикулярны.

Если n = -1, то прямая имеет вид  .

Если  А = 3, то плоскость имеет вид  .

Запишем уравнение прямой в параметрическом виде: . Подставляя значения x, y, z в уравнение плоскости, имеем , откуда . Подставляя теперь это значение t в параметрические уравнения прямой, находим координаты точки пересечения: , М (5; 5; -2).

Острый  угол между прямой и плоскостью определяется по формуле . Учитывая, что получаем

11. Дана прямая и вне её точка М (1; 1; 1). Найти точку N, симметричную М относительно данной прямой.

Решение: Проведем через М плоскость a, перпендикулярную к данной прямой.                        a: или .

Найдем  точку Q, где эта плоскость пересекает данную прямую. Запишем уравнение  прямой в параметрическом виде: . Подставляя x, y, z в уравнение плоскости, получим , отсюда

Точка Q имеет координаты . Тогда координаты симметричной точки можно найти из формулы координат середины отрезка, т. е. или . Откуда . Следовательно, .