Аналитическая геометрия

Вариант 21 

1. Дан четырехугольник  с вершинами: А(-2; -3), B(-1; 4), С(3; 3) и D(6; -1). Найти точку пересечения его диагоналей.
2. При каком значении параметра а прямые окажутся перпендикулярными?
3. Через начало координат и точку М (1; 3) проходят две параллельные прямые. Найти их уравнения, если известно, что расстояние между этими прямыми равно .
4. Прямая АВ отсекает на положительных полуосях OX и OY отрезки, соответственно равные 8 и 12 ед. Прямая CD проходит через точку С (-2; 0) и отсекает на оси ОУ отрезок b = 3. Найти угол между прямыми.
5. Найти абсциссу точки А(х; 1; 8) при условии, что расстояние от неё до плоскости, проходящей через точки В(7; 2; 4), С(7; -1; -2) и D(-5; -2; -1), равно 3 ед.
6. Найти угол между плоскостями a и b, где a проходит через точки А( ) и            B( ) параллельно оси OY, а b задана уравнением .
7. Нормаль к плоскости составляет с координатными осями ОХ и OZ углы a = g = 60°, а с осью ОУ - острый угол. Составить уравнение плоскости при условии, что она проходит через точку М (1; 1; -1). Проверить, будет ли искомая плоскость параллельна плоскости .
8. Написать канонические уравнения прямой: .
9. Найти отношение, в котором координатная плоскость ХОY делит отрезок между точками А(-1; -4; 4) и B(1; 2; -5). Определить точку пересечения прямой АВ с плоскостью ХОY и угол между ними.
10. Проверить, что четырехугольник, вершины которого находятся в точках А(5; 2; 6),     В(6; 4; 4), С(4; 3; 2) и D(3; 1; 4) есть квадрат.
11. Составить уравнение плоскости, проходящей через прямую параллельно прямой .

Вариант 22 

1. Даны вершины  треугольника: А(2; 1), В(-2; 3), С(0; 3).Найти уравнения медиан треугольника и их длины.
2. Найти уравнение прямой, проходящей через точку А(2; -3)параллельно прямой .
3. По какой линии должна двигаться точка, начальное положение которой определено координатами (3; 8), чтобы кратчайшим путем дойти до прямой ? В какой точке она достигнет этой прямой и как велик будет пройденный путь?
4. В параллелограмме АВСD известны уравнения сторон и точка С(7; 1). Найти углы, образованные диагональю АС со сторонами АВ и АD.
5. Составить уравнение плоскости, отсекающей на оси ОУ отрезок b = -3 и перпендикулярной к вектору . Найти расстояние от точки А(-2; -4; 3) до построенной плоскости.
6. Через точку А(-2; 4; 8) проведены две плоскости: одна из них содержит ось OX , другая - OZ. Вычислить угол между этими плоскостями.
7. Плоскость a проходит через точки А(х; 1; 2), В(-2; 1; 1), С(2; -1; -2); плоскость b задана уравнением . Определить абсциссу точки А так, чтобы плоскости были перпендикулярными.
8. Написать канонические уравнения прямой: .
9. Вершины треугольника находятся в точках А(1; -2; 8), В(0; 0; 4) и С(6; 2; 0). Составить уравнение прямой, проходящей через вершину В параллельно стороне АС, и определить внутренние углы треугольника.
10. Найти расстояние от точки М(1; 3; 5) до прямой, по которой пересекаются плоскости .
11. Даны точки А(-3; -2; -3), В(-2; -5; -1), С(-4; a; b). При каких значениях a и b точка С лежит на прямой АВ? Найти направляющие косинусы прямой AВ.

Вариант 23 

1. Даны две  вершины: А(-6; -5) и В(2; 4) параллелограмма АВСD и точка М(3; 1) пересечения его диагоналей. Найти координаты вершин С и D и уравнения сторон параллелограмма.
2. Через точку пересечения прямых провести прямую, параллельную прямой .
3. Проверить, что прямые касаются одного и того же круга с центром в начале координат, и вычислить радиус этого круга.
4. Даны координаты вершин треугольника: А (-4; 0), В (5; -6), С (0; 6). Определить вид треугольника и найти внутренние углы треугольника.
5. На оси OZ найти точку, равноудаленную от точки А (2; 3; 4) и от плоскости, проходящей через точку B (1; 5; 0) параллельно плоскости .
6. Найти угол между плоскостью, проходящей через точки О (0; 0; 0), М (0; 2; -2) и N (2; 2; 2) и плоскостью УOZ .
7. Нормаль к плоскости a составляет с координатными осями равные острые углы. Составить уравнение плоскости при условии, что расстояние от начала координат до неё равно 4 ед. Определить, при каком значении m плоскость a будет перпендикулярна плоскости b: .
8. Написать канонические уравнения прямой: .
9. На осях координат отложены от начала координат отрезки, соответственно равные 1, 2 и 3 ед.; концы этих отрезков соединены прямыми. Найти точку пересечения и угол между плоскостью полученного треугольника и прямой, проходящей через точки А(0; 4; -2),    В (3; -1; 2).
10. Составить уравнения прямой, проходящей через точку М(-4; 3; -8) перпендикулярно двум прямым: .
11. При каком значении n прямая параллельна плоскости ?

Вариант 24 

1. Даны вершины четырехугольника А(-4; -2), В(-3; 1), С(4; 3), D(5; -3). Показать, что середины сторон этого четырехугольника являются вершинами параллелограмма.
2. Найти уравнения перпендикуляров к прямой , восстановленных в точках пересечения её о осями координат.
3. Даны уравнения оснований трапеции: . Найти её высоту.
4. Прямая задана уравнением . Показать, что данное уравнение является нормальным и найти острый угол между указанной прямой и осью OX.
5. Найти расстояние от точки К (3; -2; 1) до плоскости, проходящей через точки М (5; -4; 3) и N (-2; 1; 8) и перпендикулярной плоскости YOZ.
6. Плоскость a проходит через точки А (0; 0; z), B (3; -2; 0), С (3; 0; 1). Плоскость b задана уравнением . Определить аппликату точки А при условии, что угол между плоскостями a и b равен .
7. Проверить, имеют ли общую тoчку следующие четыре плоскости: .
8. Написать канонические уравнения прямой: .
9. Написать уравнение прямой, проходящей через начало координат и составляющей равные углы с плоскостями . Найти эти углы.
10. Доказать, что треугольник АВС, где А(2; 3; -1), В(3; -1; 2), С(-1; 2; 3), равносторонний. Составить уравнения сторон треугольника и найти длину его высоты.
11. Доказать, что прямые параллельны и написать уравнения прямой, проходящей посередине между ними.

Вариант 25 

1. Даны вершины  А(-3; -2), В(4; -1), С(1; 3) трапеции ABCD (AD // ВС ). Известно, что диагонали трапеции взаимно перпендикулярны. Найти координаты вершин D этой трапеции.
2. При каких значениях с площадь фигуры, ограниченной координатными осями и прямой , равна 135 кв.единицам?
3. Даны стороны треугольника: . Составить уравнение прямой, проходящей через вершину В и через точку на стороне АС, делящую её (считая от вершины А ) в отношении 1:3. Найти угол между построенной прямой и стороной АС, а также длину высоты, опущенной из вершины В.
4. Найти уравнение прямой, проходящей через точку А(0; 2) и образующей с осью ОХ угол, вдвое больше угла, который составляет с той же осью прямая .
5. Найти аппликату точки M(2; 3; Z ) при условии, что расстояние от неё до плоскости, проходящей через точку А (-3; 3; ) перпендикулярно вектору равно 4 ед.
6. Определить, при каких значениях m и n плоскости будут параллельны. При найти угол между указанными плоскостями.
7. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки А(10; -5; 2), B(16; 3; 11),        С(-11; -33; 0), и указать особенность в её расположении. Найти углы, образованные перпендикуляром, проведенным из начала координат к плоскости, с координатными осями.
8. Написать канонические уравнения прямой: .
9. Найти угол между прямыми, одна из которых задана уравнением другая проходит через точки М(1; 0; 3) и N(5; -2; 7).
10. Провести через точку пересечения плоскости с прямой прямую, лежащую в этой плоскости и перпендикулярно к данной прямой.
11. Найти периметр треугольника, вершины которого находятся в точках А(8; 0; 6),          В(8; -4; 6), С(6; -2; 5). Составить уравнения средней линии треугольника, параллельной стороне АС.

Вариант 26 

1. Даны вершины  треугольника A(-12; -2); B(4; 10); C(-6; -10). Показать, что этот треугольник прямоугольный и составить уравнение высоты, проведенной из вершины прямого угла.
2. Написать уравнение прямой, параллельной прямой и отсекающей от первого координатного угла площадь, равную 5.
3. Основание равнобедренного треугольника имеет уравнение . Одна из боковых сторон имеет уравнение . Найти уравнение другой боковой стороны, если известно, что она проходит через точку M(8; 9).
4. Сторона AB и DC параллелограмма заданы уравнениями и , диагонали его пересекаются в точке M(1; 4). Найти длину высоты параллелограмма из вершины B.
5. Найти расстояние от точки пересечения плоскостей , , до плоскости, проходящей через точки M₁(1; 4; 2), M₂(2; 3; 1),        M₃(1; 1; 2).
6. Плоскость α проходит через точку M₁(1; 3; 1) параллельно плоскости . Плоскость β проходит через точку M₂(5; -1; 2) и содержит ось . Найти угол между плоскостями α и β.
7. Плоскость α проходит через точку P(3; -1; 2) и отсекает на оси отрезок вдвое больше, чем на оси и втрое больше, чем на оси . Плоскость β задана уравнением . При каком m плоскости будут перпендикулярны?
8. Написать каноническое уравнения прямой .
9. Найти расстояние от точки P(1; 3; 5) до прямой .
10. Найти периметр треугольника с вершинами M₁(2; 4; 5), M₂(3; 8; 13), M₃(-1; 0; 5). Найти уравнение треугольника и угол между сторонами M₁M₂ и M₁M₃.
11. Через точку M₁(2; 3; 6) провести плоскость перпендикулярную прямой .

Вариант 27 

1. Вычислить координаты точки пересечения перпендикуляров, восстановленных из середин сторон треугольника, вершинами которого являются точки A(2; 3), B(0; -3), C(5; -2).
2. Написать уравнение прямой, отсекающей на оси отрезок, величина которого равна 3, и наклоненной к оси под углом 135º.
3. Вычислить тангенс острого угла между прямыми , .
4. На прямой найти такую точку, у которой абсцисса в десять раз больше ординаты. Найти расстояние от найденной точки до прямой .
5. Дан тетраэдр с вершинами A(2; 0; 1), B(0; 0; 3), C(1; 2; 1), D(4; 3; 2). Найти угол между гранями ABC и ACD. Составить уравнение плоскости, проходящей через вершину D параллельно грани ABC.
6. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку M₁(3; 5; 1) и M₂(4; 2; 3) и параллельной вектору . Найти расстояние от точки P(5; -2; 4) до построенной плоскости.
7. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки M₁(1; 1; 1), M₂(2; 3; 4) и перпендикулярной плоскости . Полученное уравнение привести к уравнению в отрезках и построить.
8. Написать каноническое уравнения прямой .
9. Составить уравнение прямой, проходящей через точку B(3; 4; -4) параллельно прямой . При каком m построенная прямая будет перпендикулярна прямой .
10. Найти проекцию точки M(-1; -1; 0) на плоскость .
11. При каких значениях A и B прямая лежит на плоскости . При А=1, В=-2. Найти угол между прямой и плоскостью.

Вариант 28 

1. Даны вершины  треугольника A(2; 1), В(0; 7), С(-4; -1). Найти уравнение его медиан и точку их пересечения.
2. Составить уравнение прямой, которая проходит через точку M₁(2; -5) и отсекает отрезок втрое больше, чем на оси ординат (считая каждый отрезок, направленным от начала координат).
3. Даны уравнения сторон треугольника (АВ), (ВС), (АС). Найти угол между высотой, проведенной из вершины В и прямой, проведенной через точку С параллельно АВ.
4. Дана прямая . Найти уравнение прямой, параллельной данной и отстоящей от нее на расстоянии четырех единиц.
5. Плоскость α проходит через точку Р(2; 1; 1) и отсекает на осях ох и oy отрезки, соответственно равные 4 и -6. Плоскость β задана уравнением . При каких m и n плоскости будут параллельны?
6. Плоскость α проходит через точку M₁(5; 3; 2) и параллельна двум векторам и . Плоскость β проходит через точку Р₁(1; 1; 1), Р₂(2; 3; 2) и Р₃(3; 4; 2). Найти угол между плоскостями α и β.
7. Вычислить расстояние между плоскостями и .
8. Написать каноническое уравнения прямой .
9. Найти точку симметричную точке С(-1; 2; 0) относительно прямой , , .
10. При каком n плоскость будет параллельна прямой ? При найти точку пересечения и угол между прямой и плоскостью.
11. Прямая α проходит через точку M₁(3; 4; 7) и M₂(-1; 3; 3). Прямая β проходит через точку Р(3; 2; -1) параллельно прямой . Найти угол между прямыми α и β.

Вариант 29 

1. Вершиной  треугольника служит точка M₁(5; -3), а основанием – отрезок, соединяющий точки M₂(0; -1) и M₃(3; 3). Составить уравнение сторон треугольника и найти длину высоты треугольника.
2. Найти угол наклона к оси ох и начальную ординату прямой .
3. Стороны треугольника заданы уравнениями (АВ), (ВС), (АС). Найти углы, которые медиана ВМ образует со сторонами АВ и ВС.
4. Написать уравнение прямой, параллельной прямым и и проходящей посередине между ними.
5. Через точку пересечения плоскостей , , провести плоскость, параллельную плоскости . Полученное уравнение привести к уравнению в отрезках и построить.
6. Через точку Q(-1; 3; -8) проведены две плоскости, одна из них содержит ось Oy, другая Oz. Вычислить угол между этими плоскостями.
7. Плоскость проходит через точки M₁(0; 1; 2), M₂(2; 8; 3), M₃(3; -2; -1). Найти расстояние точки Р(5; -8; 6).
8. Написать каноническое уравнения прямой .
9. Доказать, что прямые и параллельны и найти расстояние между ними.
10. Прямая α проходит через точку А(1; -3; 6) параллельно оси Oy. Прямая β проходит через точку В(2; 1; -1) параллельно прямой . Найти угол между прямыми.
11. Прямая проходит через точки M₁(-1; 3; 0), M₂(1; 7; 3). Плоскость задана уравнением . При каких B и D прямая лежит в плоскости?

Вариант 30 

1. Даны вершины  четырехугольника ABCD: A(2; 1), B(5; 2), C(3; 6), D(0; 3). Найти точку пересечения его диагонали. Через вершину С провести прямую, параллельную диагоналям BD.
2. Дано уравнение прямой . Написать уравнение в отрезках и нормальное уравнение.
3. Найти внутренние углы треугольника, если даны уравнения его сторон: (АВ), (АС) и основание D(-1; 3) высоты AD.
4. Найти точку M симметричную точки N(7; -4) относительно прямой, проходящей через точки А(3; -2) и В(1; 4).
5. Плоскость α проходит через точку M₁(1; 1; -4), M2(0; -1; -1), M₃(-1; 2; 12). Плоскость β задана уравнением . Показать, что плоскости параллельны, и выяснить, какая их них расположена ближе к точке Р(0; -7; 3).
6. Плоскость α проходит через точку M₁(2; -4; 3) и отсекает на оси Oy отрезок вдвое меньше чем на оси ox и втрое больше чем на оси oz. Плоскость β задана уравнением . При каких m и n плоскости параллельны? При m=-1, n=2 найти угол между ними.
7. Найти такое число а, чтобы четыре плоскости , , , проходили через одну точку.
8. Написать каноническое уравнения прямой .
9. При каких l и n прямая и плоскость будут перпендикулярны? При l=5, n=4 найти угол между ними.
10. Прямая α проходит через точку M₁(-1; 2; 4), перпендикулярно плоскости . Прямая β проходит через точки M₁(2; 3; -5) и M₂(-4; 0; 3). Найти угол между прямыми α и β.
11. Найти точку M симметричную точке Р(-1; 2; 4) относительно плоскости .