Аналитическая геометрия

Автор работы: Пользователь скрыл имя, 14 Апреля 2012 в 17:41, контрольная работа

Описание

Образец решения варианта
Даны вершины треугольника: А (1,-3), В (2,5) и С (8,1). Найти точку пересечения медианы, проведенной из вершины А и высоты – из вершины В, а также длину медианы, проведенной из вершины А.

Решение:



Рис. 1

Составим уравнение медианы АD. Координаты точки D определяем по формулам координат середины отрезка . D (5; 3). Используем уравнение прямой, проходящей через две точки . Получаем .

Уравнение медианы AD: .

Составим уравнение высоты, проведенной из вершины В. Так как ВЕ ^ АС, следовательно . Угловой коэффициент прямой АС определяем по формуле . Следовательно, . Используем уравнение прямой, проходящей через данную точку М0 (x0,y0) в данном направлении .

Уравнение высоты из вершины В: , .

Скачать (796.97 Кб) Сколько стоит заказать работу?
Работа состоит из  1 файл

AnGeom.doc

— 2.29 Мб (Скачать документ)

 

    Вариант 11 

  1. Показать, что точки M(4; 3), N (5; 0), Р (-5; -6) и Q (-1; 0) являются вершинами трапеции. Найти уравнение высоты трапеции, её длину.
  2. Найти угол наклона к оси ОХ .и начальную ординату прямой .
  3. Определить, какие из уравнений прямой являются нормальными:

                              

                              

  1. Найти вершины  прямоугольного равнобедренного треугольника, если даны вершина прямого угла С(3; -1) и уравнение гипотенузы .
  2. Найти такое число a, чтобы плоскость была параллельна плоскости , и определить расстояние между ними.
  3. Построить линии пересечения координатных плоскостей с плоскостью a, проходящей через точки А(1; 1; -1), В(3; -1; 1) и С(2; 3; 2), Найти угол между плоскостью a и плоскостью XOZ.
  4. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку М(1; 1; 1) параллельно векторам ={0; 1; 2} и = {-1; 0; l}.Указать особенность в расположении плоскости.
  5. Написать канонические уравнения прямой: .
  6. Дан треугольник с вершинами А(3; -2; 5), В(-1.2; 3) и С(5; 4; -3). Найти угол между медианами, проведенными из вершин А, С, и их длины.
  7. Найти проекцию точки М (1; 2; -3) на плоскость .
  8. Параллельны ли прямые ?

 

    Вариант 12 

  1. Даны две  вершины треугольника: А (-4; 3), B (4; -1) и точка пересечения высот М (3; 3). Найти третью вершину С.
  2. Написать уравнение прямой, если длина нормали р = 2, а угол наклона её к оси ОХ равен 225°.
  3. Показать, что прямые параллельны. Найти расстояние между ними. Построить указанные прямые.
  4. Прямые АВ и СD пересекаются в точке М(4; 2; 5) под углом 45°. Написать уравнение прямой СD, если координаты точки А(0; 5).
  5. Составить уравнение плоскости, проходящей через ось ОУ и равноудаленной от точек А (2; 7; 3) и 3 (-1; 1; 0).
  6. Плоскость a проходит через проекции точки М (2; 1; 2) на оси координат, а плоскость b через точки А (1; 2; 3), B (-2; 0; -1) и С (0; 1; 2). Найти угол между плоскостями a и b.
  7. Написать уравнение плоскости, проходящей через точки М(1; 2; 0) и N(2; 1; 1) параллельно вектору ={3; 0; 1} . Полученное уравнение привести к нормальному виду.
  8. Написать канонические уравнения прямой: .
  9. Даны две вершины треугольника: А (-4; -1; 2) и В (3; 5; -16). Найти третью вершину С и угол при вершине А, зная, что середина стороны АС лежит на оси ОY, а середина стороны ВС -на плоскости XOZ .
  10. Из начала координат опустить перпендикуляр на прямую .
  11. При каких значениях В и D прямая лежит в плоскости ?

 

    Вариант 13 

  1. Даны координаты середин сторон треугольника: А(1; 2), B(7; 4), С(3; -4). Составить уравнения сторон треугольника.
  2. Дано уравнение прямой . Написать уравнение в отрезках и нормальное уравнение.
  3. Найти расстояние от точки пересечения прямых, заданных уравнениями до прямой .
  4. В равнобедренном прямоугольном треугольнике АВС известны вершина острого угла А(2; 6) и уравнение противолежащего катета . Составить уравнения двух других сторон.
  5. Найти расстояние от точки М (0; -1; 1) до плоскости, проходящей через точки        А(1; 4; -5) и В(4; 2; -3) и перпендикулярной плоскости .
  1. Вычислить косинусы внутренних двугранных углов тетраэдра, образованного плоскостями координат и плоскостью, проходящей через точки А(2; 1; 8), В(-1; 3; 4) и    С(3; 0; 12).
  1. Дана плоскость . Найти углы её нормали с осями координат. Проверить, проходит ли плоскость через одну из следующих точек: А(1; -2; 1), В(3; 2; 4), С , D .
  2. Написать канонические уравнения прямой: .
  3. Найти точку пересечения прямой с плоскостью и угол между ними.
  4. При каком значении m прямые будут взаимно перпендикулярны?
  1. Три вершины трапеции находятся в точках А(3; -1; 2), В(1; 2; -1) и С(-1; 1; -3). Найти уравнение средней линии трапеции, параллельной АВ.

 

    Вариант 14 

  1. Вершинами треугольника служат точки A(-8; 1), B(1; -2) и C(6; 3). Найти центр описанной около него окружности.
  2. Через точку М (3; 2) провести прямую так, чтобы её отрезок, заключенный между осями координат, делился в данной точке пополам.
  3. Составить уравнение прямой, имеющей угловой коэффициент и отстоящей от начала координат на расстояние .
  4. Две прямые, проходящие через начало координат, образуют собой угол . Отношение угловых коэффициентов этих прямых равно . Составить уравнения этих прямых.
  5. Написать уравнения плоскостей, параллельных плоскости, проходящей через точки M(3; 3; -4), N(5; 0; -2), Р(4; 0; 0) и удаленных от неё на расстояние d = 4.
  1. Написать уравнение плоскости, проходящей через ось ОX и составляющей угол 60° с плоскостью Y = X.
  1. Определить объем тетраэдра, ограниченного координатными плоскостями и плоскостью, проходящей через точку М(-3; -6; 4) перпендикулярно вектору ={2; -1; 6}.
  2. Написать канонические уравнения прямой: .
  3. Найти острый угол между прямыми:
  4. Показать, что треугольник с вершинами в точках А(1; -2; 1), В(3; -3; -1) и С(4; 0; 3) прямоугольный. Найти его периметр.
  1. Прямая проходит через точки А(3; -1; 0) и В(х; -7; 3) и параллельна плоскости . Определить абсциссу точки В и направляющие косинусы построенной прямой.

 

    Вариант 15 

  1. Даны последовательные вершины параллелограмма: А(0; 0), В(1; 3), С(7; 1). Найти угол между его диагоналями и показать, что данный параллелограмм является прямоугольником.
  2. При каком значении параметра а уравнения изображают параллельные прямые?
  3. Через точку P(-2; 1) проведена прямая так, что её расстояние от точки С(3; 1) равно 4. Найти угловой коэффициент этой прямой.
  4. Построить треугольник, стороны которого заданы уравнениями: . Найти площадь треугольника.
  5. Найти расстояние от точки М(2; 1; 1) до плоскости, проходящей через точку N(-1; -1; 2) и перпендикулярной плоскостям .
  6. Через точку N(3; 9; -4) проведены две плоскости: одна из них содержит ось ОY, другая – OZ. Вычислить угол между этими плоскостями.
  7. Плоскость проходит через точки А(3; 1; 1), В(-7; ; 0) и С(-1; 1; ). Вычислить направляющие косинусы прямой, перпендикулярной к этой плоскости.
  8. Написать канонические уравнения прямой: .
  9. Треугольник АВС образован пересечением плоскости с координатными осями. Найти уравнения средней линии треугольника, параллельной плоскости ХОY, и угол, который образует она с прямой .
  10. Найти расстояние от точки М(2; -1; 3) до прямой .
  11. При каких значениях m и n прямые будут параллельны?

 

    Вариант 16 

  1. Даны вершины  треугольника: А(-1; 6), В(-5; -2) и С(1; 0). Показать, что этот треугольник прямоугольный. Найти центр описанной около него окружности и её радиус.
  2. Найти длину перпендикуляра, опущенного из начала координат на прямую , а также координаты основания этого перпендикуляра.
  3. Диагонали ромба длиной в 30 и 16 ед. приняты за оси координат. Вычислить расстояние между параллельными сторонами этого ромба.
  4. Найти уравнение прямой, проходящей через точку пересечения прямых под углом в 45° к прямой .
  5. На оси ОУ найти точку, равноудаленную от точки A (2; 0; 1) и от плоскости, проходящей через точку В (1; 1; 1) перпендикулярно вектору .
  6. Найти угол между плоскостями a и b, где a проходит через точку А ( ) перпендикулярно оси OZ , a b - через точки В(2; -1; -1), С(-1; 0; 2) и D(0; -2; 0).
  7. При каких значениях a, b, c плоскости будут взаимно перпендикулярными?
  8. Написать канонические уравнения прямой: .
  9. Проверить, лежат ли на одной прямой следующие три точки: А(3; 0; 1), В(0; 2; 4) и     С(1; ; 3).
  10. При каком значении n прямые будут взаимно перпендикулярны? При n = -3 найти угол между ними.
  11. Составить уравнения прямой, проходящей через точку М(3; -1; -4), пересекающей ось ОY и параллельной плоскости .

 

    Вариант 17 

  1. Даны вершены  четырехугольника: А(2; 4), B(-3; 7), С(-6; 6), D(-1; 3). Доказать, что данный четырехугольник - параллелограмм.
  2. Какому условию должны удовлетворять коэффициенты a и b , чтобы прямые проходили через одну и ту же точку?
  3. На оси абсцисс найти точку, которая отстоит от прямой на расстоянии 3 единиц.
  4. Составить уравнения катетов прямоугольного равнобедренного треугольника, зная уравнение гипотенузы и вершину прямого угла (4; -1).
  5. Дан тетраэдр с вершинами: K(1; 1; 2), L(-1; 1; 3), М(2; -2; 4), N(-1; 0; -2). Найти длину высоты, проведенной из вершины N, и угол между гранями КLM и LМN.
  6. Из точки Р(-1; 1; 4) опущен на плоскость перпендикуляр, основанием которого является точка Q(2; 1; 3). Составить уравнение плоскости в нормальном виде и указать особенности в её расположении.
  7. Составить уравнение плоскости, проходящей через ось OZ перпендикулярно плоскости, проходящей через точку А(6; -1; 2) и отсекающей на оси абсцисс отрезок а = -3, а на оси аппликат - отрезок с = 4.
  8. Написать канонические уравнения прямой: .
  9. Дан треугольник с вершинами А(1; 2; -4), В(4; 0; -10) и С(-2; 6; 8). Найти угол между медианой, проведенной из вершины А, и стороной ВС.
  10. Найти расстояние между двумя параллельными прямыми .
  11. При каком значении р прямые будут параллельны?

 

    Вариант 18 

  1. Три вершины  параллелограмма имеют следующие координаты: А(-6; -4), B(-4; 8),        С(-1; 5), причем А и С - противоположные вершины. Определить координаты четвертой вершины параллелограмма и уравнения его диагоналей.
  2. Даны две точки: А(-3; 1) и B(3; -7). На оси ординат найти такую точку M, чтобы прямые AM и ВМ были перпендикулярны друг другу.
  3. На оси ординат найти точку, одинаково удаленную от начала координат и от прямой .
  4. Найти острый угол между прямой и прямой, проходящей через точки А(-3; 8), В(1; ). Построить указанные прямые.
  5. Определить, при каких значениях m и n плоскости будут параллельны, и найти расстояние между ними.
  6. Написать уравнение плоскости, параллельной оси ОУ и отсекающей на осях ОX и OZ отрезки, равные 2 и 3 ед. Найти угол между построенной плоскостью и плоскостью .
  7. Проверить, можно ли провести плоскость через следующие четыре точки: А(1; -1; 1),     В(0; 2; 4), С(1; 3; 3) и D(4; 0; -3).
  8. Написать канонические уравнения прямой: .
  9. Найти угол между прямыми, одна из которых задана уравнением , другая проходит через точку А(1; 2; 3) и точку пересечения указанной прямой с плоскостью .
  10. Найти направление прямой, одновременно перпендикулярной к оси OZ и к прямой, проходящей через две точки: А(1; -1; 4) и В(-3; 2; 4).
  11. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М(-3; 1; 0) и через прямую .

 

    Вариант 19 

  1. Противоположные вершины ромба находятся в  точках B(-2; 2) и D(0; -3). Составить уравнения диагоналей этого ромба.
  2. При каком значении m прямые проходят через одну точку? Найти эту точку.
  3. Через точку Р (5; 0) провести касательную к окружности .
  4. Через точку А (-3; -5) проходят прямые: АС, параллельная оси ОУ , и А В, образующая угол с осью ОХ. Найти угол между указанными прямыми.
  5. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки А(4; 6; -3), B(-2; -1; 7) и отсекающей равные отрезки на осях ОУ и OZ. Найти расстояние от точки С(5; -7; 8) до построенной плоскости.
  6. Найти угол между плоскостями a и b, где a проходит через точку А(5; -1; 3) параллельно плоскости YOZ, a b - через точки В(0; 1; 1), С(1; 0; -2), D(4; -2; -3).
  7. Написать уравнение плоскости, проходящей через точки М(1; 2; 0) и N(2; 1; 1) перпендикулярно плоскости . Указать особенность в расположении плоскости.
  8. Написать канонические уравнения прямой: .
  9. Найти угол между прямой, лежащей в плоскости XOY и образующей с осью ОX угол 30°, и прямой, лежащей в плоскости XOZ и образующей с осью ОХ угол 60°.
  10. Провести через точку пересечения плоскости с прямой прямую, лежащую в этой плоскости и перпендикулярную к данной прямой.
  11. Прямая проходит через точки А(х; 5; 9), В(2; у; 21) и параллельна прямой . Определить абсциссу точки А, ординату точки В и направляющие косинусы прямой АВ.

 

    Вариант 20 

  1. Даны вершин треугольника: А(4; -1), В( ) и С( ). Показать, что этот треугольник прямоугольный и равнобедренный.
  2. Составить уравнение прямой, параллельной прямой и отсекающей на положительной полуоси абсцисс отрезок, равный 4 единицам.
  3. На оси абсцисс найти точку, равноудаленную от прямых .
  4. Стороны треугольника выражаются уравнениями: . Найти внутренние углы треугольника и его вершины.
  5. Найти расстояние от точки пересечения плоскостей до плоскости, проходящей через точку параллельно плоскости .
  6. Найти угол между плоскостями a и b, где a. проходит через точку М(3; -1; -2) параллельно плоскости XOZ , a b отсекает на осях координат отрезки a = 2, b = -4, .
  7. Принадлежат ли одной плоскости четыре точки: А(3; 1; 0), В (0; 7; 2), С(-1; 0; -5) и     D(4; 1; 5)?
  8. Написать канонические уравнения прямой: .
  9. Треугольник образован пересечением плоскости с координатными плоскостями. Найти угол наклона медианы треугольника, проведенной из вершины, лежащей на оси ОZ, к плоскости ХОY.
  10. Даны вершины треугольника: А(4; 1; -2), В(2; 0; 0) и С(-2; 3; -5). Составить уравнение его высоты, опущенной из вершины В на противолежащую сторону.
  11. Написать уравнение прямой, проходящей через точку М(3; 5; 1) параллельно прямой .

Информация о работе Аналитическая геометрия