Число. Натуральный ряд чисел. История развития представлений о натуральном ряде чисел как математической модели исчисления предметов

Федеральное государственное  бюджетное образовательное учреждения высшего профессионального образования  «Шадринский  государственный  педагогический институт».

 

 

 

 

 

 

Контрольная работа

По предмету:

«Теория и методика развития математических представлений у детей дошкольного возраста».

Тема: «Число. Натуральный ряд чисел. История развития представлений о натуральном ряде чисел как математической модели исчисления предметов».

 

 

 

 

 

 

                                Выполнила:  студентка 4 курса з /о (5,5)                      

                     Дружинина Людмила Николаевна.

                                           Проверила:

 

                                        

 

Шадринск 2012год.

 

 

Содержание

Введение  . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ….. . . 3

История развития представлений о  натуральном ряде чисел как математической модели исчисления предметов . . . . . . . . . . . . . . . …... . . . . . 4

Число. Натуральный ряд чисел. . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ….. . . 7

Свойства натуральных чисел . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . .10

Заключение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

Список литературы . . . . . . . . . . . . . .  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Введение.

                                                           

Число — это неотъемлемое орудие современной цивилизации, используемое для упорядочения сферы ее деятельности. Число, одно из основных понятий математики, зародилось в глубокой древности и постепенно расширялось и обобщалось. В связи со счетом отдельных предметов возникло понятие о целых положительных (натуральных) числах, а затем идея о безграничности натурального ряда чисел: 1, 2, 3, 4.... Задачи измерения длин, площадей и т. п., а также выделение долей именованных величин привели к понятию рационального (дробного) числа.

Натуральные числа, кроме основной функции – характеристики количества предметов, несут ещё другую функцию – характеристику порядка предметов, расположенных в ряд. Возникающее в связи с этой функцией понятие порядкового числа (первый, второй и т.д.). В частности, расположения в ряд считаемых предметов и последующий их пересчёт с применением порядковых чисел является наиболее употребляемым с незапамятных времён способом счёта предметов (так, если последний из пересчитываемых предметов окажется седьмым, то это и означает, что имеется семь предметов.).

Вопрос об обосновании понятия  натурального числа долгое время  в науке не ставился. Понятие натурального числа столь привычное, что не возникло потребности в его определении в терминах каких-либо более простых понятий. Лишь в середине 19 в. под влиянием развития аксиоматического метода в математике, с одной стороны, и критического пересмотра основ математического анализа – с другой, назрела необходимость обоснования понятия количественного натурального числа.

 

 

 

 

История развития представлений о натуральном  ряде чисел как математической модели исчисления предметов.

Отчётливое определение  понятия натурального числа на основе понятия множества (совокупности предметов) было дано в 70-х гг.19в. в работах Г. Кантора. Сначала он определяет понятие равномощности совокупностей. Именно две совокупности называются равномощности, если составляющие их предметы могут быть сопоставлены по одному. Затем число предметов, составляющих данную совокупность, определяется что-то общее, что имеет данная совокупность и всякая другая, равномощная ей совокупность предметов, независимо от всяких качественных особенностей этих предметов. Такое определение  отражает сущность натурального числа как результата счёта предметов, составляющих данную совокупность.

Действительно, на всех исторических уровнях счёт заключается в сопоставлении по одному из считаемых предметов и предметов, составляющих данную совокупность. Действительно, на эталонную совокупность  на ранних ступенях – пальцы рук и зарубки на палочке и т.д. на современном этапе – слова и знаки, обозначающие число. Определение данное Кантором, было отправным пунктом для обобщения понятия количественного числа в направлении количественной характеристики бесконечных множеств.

Понятие натурального числа, вызванное потребностью счёта предметов, возникло ещё в доисторические времена. Процесс формирования понятия натурального числа протекал следующим образом. На низшей ступени первобытного общества понятие отвлеченного числа отсутствовало. Это не значит, что первобытный человек не мог отдавать себе отчёта о количестве предметов конкретно данной совокупности, например о количестве людей, участвующих в охоте, о количестве озёр, в которых можно ловить рыбу. Но в сознании первобытного человека ещё не сформировалось то общее, что есть в объектах такого рода, как например, «три человека».

Анализ языков первобытных народностей показывает, что для счёта предметов различного рода употреблялись словесные обороты. Слово «три» в контекстах «три человека», «три лодки» передавались различно. Конечно, такие именованные числовые ряды были очень короткими и завершались индивидуализированным понятием («много») о большом количестве тех или других предметов, которое тоже являлось именованным, то есть выражалось разными словами для предметов разного рода, такими , как «толпа», «стадо», «куча».

Источником возникновения  понятия возникновения отвлечённого числа является примитивный счёт предметов, заключающийся в сопоставлении предметов данной конкретной совокупности с предметами некоторой определённой совокупности, играющей как бы роль эталона.

У большинства народов  первым таким эталоном являются пальцы («счёт на пальцах»), что с несомненностью подтверждается языковедческим анализом названий первых чисел. На этой ступени число становится отличенным, не зависящим от качества считаемых предметов, но вместе с тем выступающим во вполне конкретном осуществлении, связанном с природой эталонной совокупности.

Расширяющиеся потребности  счёта заставили людей  употреблять  другие счётные эталоны, такие, как, например, зарубки на палочке. Для фиксации сравнительно больших чисел стала использоваться новая идея – обозначения некоторого определенного числа (у большинства народов - десять) новым знаком, например зарубкой на другой палочке.

С развитием письменности возможности воспроизведения числа  значительно расширились. Сначала числа стали обозначаться чёрточками на материале, служащем для записи (папирус, глиняные таблички и т.д.). Затем были введены другие знаки для больших чисел. Вавилонские клинописные обозначения числа, так же, как и сохранившиеся до наших дней «римские цифры», ясно свидетельствуют именно об этом пути формирования обозначения для числа.

Шагом вперёд была индийская позиционная система счисления, позволяющая записать любое натуральное число при помощи десяти знаков – цифр. Таким образом, параллельно с развитием письменности понятие натурального числа закрепляется в форме слов в устной речи и в форме обозначения специальными знаками в письменной.

Важным шагом в развитии понятия натурального числа является осознание бесконечности натурального ряда чисел, т.е. потенциальной возможности его безграничного продолжения.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Число. Натуральный  ряд чисел.

Натуральными числами  называются числа, которые появились в результате счета. Числа один, два, три, четыре и так дальше, являются натуральными. Отрицательные и дробные числа не принадлежат к натуральным числам. Ноль, чаще всего, не принято считать натуральным числом.

Натуральные числа - это  числа, которые используются для счета предметов или для указания порядкового номера того или иного предмета среди однородных предметов.

Понятие об отрицательных  числах возникло у индийцев в 6-11 вв. Потребность в точном выражении  отношений величин (напр., отношение  диагонали квадрата к его стороне) привела к введению иррациональных чисел, которые выражаются через рациональные числа лишь приближенно; рациональные и иррациональные числа составляют совокупность действительных чисел. Окончательное развитие теория действительных чисел получила лишь во 2-й пол. 19 в. в связи с потребностями математического анализа. В связи с решением квадратных и кубических уравнений в 16 в. были введены комплексные числа.

Целые положительные  числа. Основой наших представлений  о числах являются интуитивные понятия множества, соответствия между множествами и бесконечной последовательности различимых знаков или звуков. Знакомая всем нам последовательность символов 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, ... есть не что иное, как бесконечная последовательность различимых знаков и бесконечная последовательность различимых звуков (или слов) «один», «два», «три», «четыре», «пять», «шесть», «семь», «восемь», «девять», «десять», «одиннадцать», «двенадцать», ..., соответствующих определенным символам. Любое множество, все элементы которого можно поставить во взаимно однозначное соответствие с элементами некоторого начального сегмента нашей бесконечной последовательности символов, называется конечным множеством. При этом на число элементов множества указывает последний символ сегмента.

Например, множество предметов, которые можно поставить во взаимно  однозначное соответствие с начальным  сегментом 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, является конечным множеством, содержащим 8 («восемь») элементов. Символ 8 указывает на «число» предметов в исходном множестве. Это число есть символ, или ярлык, приписываемый данному множеству. Этот же ярлык приписывается всем тем и только тем множествам, которые могут быть поставлены во взаимно однозначное соответствие с данным множеством. Однозначное определение ярлыка для любого заданного конечного множества называется «пересчитыванием» элементов данного множества, а сами ярлыки получили название натуральных или целых положительных чисел.

В первом веке нашей эры  древнегреческий математик Никомаха в своем математическом труде "Введение в математику" говорит о "естественном ряде" чисел. В шестом веке римский автор Боэций перевел эту арифметику на латинский язык и впервые употребил при этом термин "натуральное число". Позже д'Аламбер начал употреблять понятие "натуральное число" в современном виде.

Для счета предметов  применяют натуральные числа. Любое  натуральное число можно записать с помощью десяти цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Эти цифры иногда по ошибке называют «арабскими». Дело в том, что индийскую систему нумерации усвоили арабы, а труды индийских ученых в Европе стали известны значительно позже, чем труды арабских ученых. Поэтому эти цифры правильнее называть индийскими. Для счета предметов применяют натуральные числа.

Любое натуральное число можно записать с помощью десяти цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Эти цифры иногда по ошибке называют «арабскими». Для счета предметов применяют натуральные числа. Любое натуральное число можно записать с помощью десяти цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Эти цифры иногда по ошибке называют «арабскими». а в Индии около 2000 лет назад. В Европе она распространилась благодаря труду по арифметике среднеазиатского ученого Мухаммеда Хорезми (ал-Хорезми) (780-850 гг.).

Одним из древнейших трудов по арифметике, дошедших до нас, является учебник «Вопросы и решения» армянского философа и математика Анания Ширакаци, жившего в VII в. В его книге применяется алфавитная нумерация. Десятичная алфавитная нумерация была распространена и в Киевской Руси. В древности на Руси писали числа при помощи букв славянского алфавита, над которым ставили особый значок - титло (~).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Свойства натуральных  чисел.

Античная теория пар натуральных чисел.  Греки исходили из того, что единица E неделима, поэтому они говорили не о долях единицы, а об отношениях целых чисел , т. е. в сущности, имели в виду пары целых чисел. На этом и было основано применение теории отношений к теории музыки: всякому музыкальному интервалу, т. е. паре звуков, ставили в соответствие отношение высот этих звуков, т. е. пару (A, B) целых чисел, измеряющих эти высоты звуков.

 Согласно VII книге  "Начал" две пары чисел  (A, B) и (C, D) пропорциональны или  имеют одинаковое отношение, если  у A и B существует такой общий  делитель F, а у C и D — делитель G, что:

A = mF,    C = mG,

B = nF,    D = nG.

 В частности, одно из чисел, m или n, могло равняться единице.

 Разумеется, уже пифагорейцы  знали, что отношение пропорциональности  транзитивно, т. е. из пропорциональности  пар (A, B) и (C, D) и пропорциональности пар (C, D) и (E, F) вытекает пропорциональность пар (A, B) и (E, F), и, следовательно, отношение пропорциональности является отношением типа равенства. Итак, все пары целых чисел разбивались на непересекающиеся классы пар, имеющих одно и то же отношение:

A1 : B1  =  A2 : B2  =  A3 : B3  =  ...

 С нашей точки  зрения, каждому такому классу  можно поставить в соответствие  новый объект — рациональное  число. Древние выражали это  иначе: они не вводили понятие  класса, а выбирали из множества  пар, имеющих одинаковое отношение, наименьшую пару A0 : B0 , относительно которой доказывали:    

если A : B  =  A0 : B0 , то A = kA0 , B = kB0 (предложение VII, 20);

если A0 , B0 взаимно  просты, то они составляют наименьшую пару из всех, имеющих с ней одинаковое отношение (предложение VII, 21);

если A0 , B0 составляют наименьшую пару, то они между собой  взаимно просты (предложение VII, 22).

 Отсюда видно, что  наименьшая пара полностью характеризовала  класс, к которому принадлежала. Заметим еще, что понятие наименьшей пары в точности соответствует нашему понятию несократимой дроби.