Число. Натуральный ряд чисел. История развития представлений о натуральном ряде чисел как математической модели исчисления предметов

 Как видно, вся эта теория  пар основывается на понятиях  из общей теории делимости  — общий делитель двух чисел,  взаимная простота двух чисел  и т. п. В основе всех этих  понятий и большей части доказательств лежит алгоритм нахождения общего наибольшего делителя двух чисел, называемый в настоящее время алгоритмом Евклида.

 В "Началах"  над отношениями целых чисел  производится только одна операция  — составление отношений, которая  соответствует умножению дробей. Отношение (A, C) называется составленным из отношений (A, B) и (B, C), что мы будем далее записывать в виде:

(A : B)(B : C)  =  (A : C).

 Это название объясняется,  вероятно, тем, что при составлении  музыкальных интервалов, т. е. при переходе от интервалов, представляющих собой пары звуков с высотами A, B и B, C, к интервалу, представляющему пару звуков с высотами A, C, происходит составление соответственных отношений.

 В предложении VII, 14 "Начал"  доказывается, что если 

A : B = F : G  и B : C = G : H,  то  A : C = F : H, 

т. е. результат составления зависит  не от того, каких представителей мы выбираем в классах пар, к которым  принадлежат A : B и B : C, а только от самих  этих классов. Таким образом, операция составления определена для классов пар, имеющих одинаковое отношение. (Это, пожалуй, первый известный нам пример фактор-закона композиции, перенесенного с элементов на классы.)

 В VIII книге "Начал" показывается, как составить любые отношения  A : B и C : D. Для этого строятся такие наименьшие числа F, G, H, что A : B = F : G  и

C : D = G : H,  тогда

(A : B)(C : D)  =  (F : G)(G : H)  =  (F : H)

 (предложение VIII, 4-5).

 Мы видим, с какой удивительной  строгостью, общностью и глубоким  пониманием существа проблемы  была построена древними первая теория пар и введен закон композиции для этих новых объекто

Натуральные числа образуют натуральный  ряд чисел: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, ... Наименьшим числом в натуральном ряду является число 1 (один, единица), наибольшего числа в натуральном ряду нет. Натуральный ряд чисел является бесконечным. Натуральный ряд построен так, что каждое следующее число на 1 (единицу) больше предыдущего. Какое число надо прибавить к натуральному числу, чтобы назвать следующее натуральное число? Нужно прибавить число 1 (один), тогда получится следующее натуральное число.

Натуральный ряд чисел можно  легко представить визуально. Для  этого пройдите на страницу "Таблица  натуральных чисел", где представлены натуральные числа от 1 (одного) до 120 (ста двадцати).

Любое натуральное число  можно записать при помощи десяти арабских цифр: 1 (один), 2 (два), 3 (три), 4 (четыре), 5 (пять), 6 (шесть), 7 (семь), 8 (восемь), 9 (девять), 0 (ноль). Одно число может обозначаться несколькими цифрами. Например, число 18 (восемнадцать) обозначается двумя цифрами: 1 (один) и 8 (восемь). В записи натурального числа значение каждой цифры определяется местом (позицией), которое цифра занимает в записи числа.

Натуральные числа обозначаются латинской буквой N (множество натуральных  чисел).

Для натуральных чисел  определены следующие арифметические действия: сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в степень, извлечение корня. Результаты некоторых арифметических действий представлены в виде таблицы сложения, таблицы вычитания, таблицы умножения, таблицы деления.

Получить натуральные  числа очень легко. Для этого существует самая древняя вычислительная машина – рука человека. Пересчитаем по очереди пальцы на одной руке. В результате пересчета мы получим пять натуральных чисел: 1 – один, 2 – два, 3 – три, 4 – четыре, 5 – пять.

Результат наших вычислений не зависит от того, какую руку мы используем – правую или левую, и с какого пальца мы начинаем отсчет – с большого или мизинца.

Если на помощь привлечь еще одну руку, то количество доступных  натуральных чисел удвоится. Теперь мы сможем получить уже десять натуральных чисел: 1, 2, 3, 4, 5, 6 – шесть, 7 – семь, 8 – восемь, 9 – девять, 10 – десять. Если для пересчета добавить пальцы ног, руки и ноги соседей, то получится очень большое количество чисел, и все эти числа будут натуральными.

Можно поступить несколько иначе: считать пальцы на одной руке в произвольном порядке, не обращая внимания на то, сколько раз посчитан каждый палец. В этом случае количество полученных натуральных чисел будет ограничено только нашим терпением.

Натуральное число 2 мы использовали по меньшей мере два раза. Первый раз – для обозначения количества пальцев на руке, второй раз – для обозначения количества рук. Одно и то же натуральное число может применяться для обозначения количества самых разных предметов.

Почему отрицательные  числа не принадлежат к натуральным? Отрицательные числа получают более сложным способом, чем простой пересчет. Точно так же, как и дробные числа. Для получения отрицательных и дробных чисел используют арифметические операции вычитания и деления. Когда, как и к чему применяются арифметические операции, и что же это такое, рассмотрим в отдельной статье.

Еще пару слов о нуле и  натуральных числах. Поскольку число  – это виртуальное отображение  количества чего-либо, невозможно произвести физический эксперимент или анатомическое вскрытие для выяснения истины. Является ли ноль числом? Этот вопрос требует дополнительных раскопок в Google. Принадлежит ли ноль к натуральным числам? В начале этой страницы я написал «ноль, чаще всего, не принято считать натуральным числом». Поясню смысл этой фразы.

При сложении и умножении  натуральных чисел снова получается натуральное число.

Пусть p и q – натуральные  числа. Тогда:

s = p + q – натуральное  число, s – сумма, p и q – слагаемые;

t = pq – натуральное  число, t – произведение, p и q – сомножители.

Приведем без доказательства законы, которые впоследствии позволят определить операции сложения и умножения  не только для чисел, но и для гораздо  более сложных объектов, таких, как  множества, функции, группы и так  далее.

Сложение и умножение натуральных чисел обладают следующими свойствами:

a + b = b + a (переместительный  закон сложения).

Сумма не меняется от перестановки её слагаемых.

(a + b) + c = a + (b + c) (сочетательный  закон сложения).

Сумма не зависит от группировки  её слагаемых.

ab = ba (переместительный закон умножения).

Произведение не меняется от перестановки его сомножителей.

(ab)c = a(bc) (сочетательный  закон умножения).

Произведение не зависит  от группировки его сомножителей.

a(b + c) = ab + ac (распределительный  закон умножения относительно сложения). Этот закон фактически расширяет правила действий со скобками.

Результат выполнения нескольких операций зависит, вообще говоря, от порядка  действий. Например,  8 – 3 + 4 = 9. Однако, если сначала сложить 3 и 4, а затем  вычесть полученную сумму из 8, то получим 1. Таким образом, для получения правильного результата должен быть установлен определённый порядок действий. Чтобы указать, в каком порядке должны выполняться действия, пользуются скобками. Если скобки отсутствуют, действия выполняются в следующем порядке:

1)  возведение в  степень и извлечение корня  (в порядке их следования)

2)  умножение и деление  (в порядке их следования)

3)  сложение и вычитание  (в порядке их следования).

При наличии скобок сначала  выполняются действия в скобках в указанном выше порядке, а затем все остальные действия вне скобок опять же с соблюдением указанного выше порядка.

Пример. Вычислить выражение: ( 10 + 2 3 · 3 ) + 4 3  – ( 16 : 2  – 1 ) · 5 – 150 : 5 2 . 

Решение. Сначала вычисляем все степени и подставляем их значения:

( 10 + 8 · 3 ) + 64 – ( 16 : 2 – 1 ) · 5 – 150 : 25 ;

после этого выполняем  умножение и деление в скобках  и  вне их:

( 10 + 24 ) + 64 – ( 8 – 1 ) · 5  – 6 ;

теперь выполняем сложение и вычитание в скобках:

34 + 64 – 7 · 5 – 6 ;

наконец, после оставшегося умножения 7 · 5 = 35 получаем:

34 + 64 - 35 – 6 = 57.

К сложению и умножению  можно добавить обратные операции –  вычитание и деление.

Если p, q и k – натуральные  числа, то при натуральном k = p – q говорят, что

p – уменьшаемое; q –  вычитаемое; k – разность.

Если же натуральное k = p : q, то говорят, что

p – делимое; q – делитель; k – частное.

При этом число p называется кратным числа q, а число q – делителем  числа p. Другими словами, если число p кратно числу q, то существует такое  число k, что k = p : q.

Вычитание и деление  натуральных чисел, вообще говоря, не всегда приводит опять к натуральному числу: 15 – 3 = 12 – натуральное число, но 4 – 9 = –5 – не натуральное число. 25 : 5 = 5 – натуральное число, 22 : 7 –  не натуральное число.

Увы, нам придется вводить  ограничения на применимость новых  операций, так как в некоторых  случаях они выводят нас за рамки натуральных чисел, а другие числа мы еще не определили. Так  что будем пока считать, что нельзя вычитать большее из меньшего, и  делить на число, которое не укладывается нацело в делимом. Но с этими ограничениями мы можем уже записывать числовые выражения. 

Числовым называется выражение, составленное из чисел с  помощью знаков арифметических действий. Если в числовом выражении выполнить все указанные действия, то получится число, которое называется значением данного выражения.

Для того, чтобы определить порядок действий в выражении, введем еще один, парный, знак – скобки.

Приоритет арифметических операций в числовом выражении следующий: вначале выполняются действия в скобках; внутри скобок вначале выполняют умножение и деление, после чего сложение и вычитание.

Пример 1

В каком порядке нужно  выполнять действия в выражении 

Пример 2

В каком порядке нужно  выполнять действия в выражении 

Еще один простой вопрос – можем ли мы наше множество  упорядочить? Существует ли последовательность действий, выполнив которую, мы можем перечислить все элементы множества? Это было бы равнозначно введению какого-то однозначного отношения между элементами. Самым простым упорядочивающим отношением служит понятие «больше», и, чтобы ввести его, расположим натуральные числа на числовой прямой.

Координатная прямая

 

Нарисуем горизонтальную прямую x, выберем на ней точку O и  назовём её началом отсчёта, выберем  на этой прямой направление (обычно слева  направо) и единичный отрезок (то есть отрезок, длина которого по определению  равна 1) (см. рисунок). Говорят, что задана координатная прямая. Каждому натуральному числу можно поставить в соответствие одну и только одну точку. Именно, если, например, задано число 5, отложим от точки O вправо выбранный единичный отрезок 5 раз. Точно так же можно поступить с любым натуральным числом. Если некоторая точка A соответствует некоторому числу a, то говорят, что число a является координатой точки A. В этом случае пишут A (a).

Говорят, что натуральное  число a меньше другого натурального числа b, и записывают этот факт так: a < b, если точка на числовой оси, отвечающая числу a, лежит левее точки, отвечающей числу b.

Говорят, что натуральное  число a больше другого натурального числа b, и записывают этот факт так: a > b, если точка на числовой оси, отвечающая числу a, лежит правее точки, отвечающей числу b.

Ясно, что число 0 (нуль) – координата точки O – меньше любого натурального числа.

Для любых двух натуральных  различных чисел a и b справедливо  одно и только одно утверждение: a < b, a > b или a = b. Знаки < и > называются знаками строгих неравенств, знаки ≤ и ≥ – знаками нестрогих неравенств. Запись a ≤ b означает, что верно одно из двух утверждений: либо a < b, либо a = b. Неравенства a < b и c < d называют неравенствами одного знака; неравенства a < b и c > d называют неравенствами разных знаков.

Система аксиом, определяющих ряд натуральных чисел, известна как аксиомы Пеано. Аксиомы Пеано  позволили формализовать арифметику — после их введения стали возможны доказательства основных свойств натуральных  и целых чисел.

Для любого натурального числа существует только одно следующее. Единица является наименьшим натуральным  числом, поскольку нет такого натурального числа, для которого она была бы следующим. Наибольшего натурального числа  не существует, поскольку для любого натурального числа можно построить следующее.

Примеры ненатуральных  чисел 

отрицательные числа: –1, –2, –3, –4, –5, –6, ...  и т.д.

рациональные  числа, выраженные десятичными дробями: 1,3, –2,6, 10,5 и т.д. или в виде простой  дроби: 1/2, –3/4, 10 2/7 и т.п.

иррацинальные числа: √2 = 1,41421..., π = 3,14159..., e = 2,71828... и  т.п.

Аксиомы Пеано — система  аксиом, задающая структуру ряда натуральных  чисел (натурального ряда), то есть чисел, возникших первоначально из счета  предметов. Система аксиом Пеано включает пять аксиом, из которых выводятся все свойства натуральных чисел:

1 является натуральным  числом;

число, следующее  за натуральным, также является натуральным;

1 не следует  ни за каким натуральным числом;

если натуральное  число a непосредственно следует как за числом b, так и за числом c, то b и c тождественны.

Простой дробью называют отношение целого числа  к натуральному. Дроби образуют множество  рациональных чисел, которое включает в себя как подмножество натуральные  числа. Поэтому в общем случае дробь не является натуральным числом. Однако, если знаменатель дроби (после сокращения общих множителей с числителем) оказывается равным единице, то такая дробь является натуральным числом.