Криві другого порядку

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.

Лінії другого порядку — геометричне місце точок на площині, декартові координати яких задаються рівнянням другого степеня:^[1]

де хоча б один з коефіцієнтів відмінний від нуля.

Лінії другого порядку є конічними перерізами.

[ред.] Інваріанти

Вид кривої залежить від чотирьох інваріантів:

• інваріанти відносно повороту та зсуву системи координат:
• інваріант відносно повороту системи координат (напів-інваріант):

[ред.] Основні типи

Основними лініями другого порядку є коло, еліпс, гіпербола і парабола:^[1]

[ред.] Історія та застосування

Більшість типів ліній другого порядку відомі давно, їх досить добре вивчив Аполлоній. Він утворював основні типи ліній другого порядку як плоскі перерізи кругового конуса, тому в математичній літературі лінії другого порядку відомі ще як конічні перерізи.

Лінії другого порядку зустрічаються в явищах навколишнього світу: по еліпсу рухаються планети Сонячної системи, по гіперболі або параболі — комети. Траекторія руху тіла, кинутого під кутом до горизонту, є параболою; космічні кораблі, ракети, залежно від наданої їм швидкості, рухаються по колу, еліпсу, параболі чи гіперболі.

[ред.] Посилання

1. ↑ ^{а б} Постников М. М. Аналитическая геометрия, «Наука», 1979.

 

Гіпербола (грец. ὑπερβολή) — крива другого порядку з ексцентриситетом більшим за одиницю.

[ред.] Визначення

Гіпербола є невиродженою кривою другого порядку, яка задається рівнянням:^[1]

де a > 0 та b > 0 — параметри. Таке рівняння називається канонічним рівнянням гіперболи.^[2]

Нехай канонічне рівняння кривої другого порядку шляхом переносу центру координат перетворено у вигляд:

y² = 2px − (1 − ε²)x².

В цьому випадку крива проходить через початок координат нової системи; вісь абсцис є віссю симетрії кривої. Це рівняння відображає той факт, що невироджена крива другого порядку є геометричним місцем точок, відношення відстаней яких (ексцентриситет) від заданої точки (фокуса) та від заданої прямої (директриса) незмінна. Крива є гіперболою, якщо ε > 1.^[1] Тобто, гіпербола є геометричним місцем точок, абсолютна величина різниці відстаней яких від фокусів дорівнює 2a (фокальна властивість гіперболи). Директоріальна властивість гіперболи полягає в тому, що гіпербола є геометричним місцем точок, відношення відстаней яких від фокуса до одноіменної директриси дорівнює e.^[2]

[ред.] Властивості

Гіпербола та її фокуси.

Гіпербола та її напіввіссі та асимптоти.

Рівнобічна гіпербола.

Якщо в канонічному рівнянні гіперболи a = b, то гіпербола називається рівнобічною. В координатах

рівняння рівнобічної гіперболи

x² − y² = a²

матиме вигляд:

uv = 2a²

звідки випливає, що по відношенню до координат u та v рівнобічна гіпербола представляє собою графік звортньо-пропорційної залежності. В координатах x та y маємо такий саме графік обернений на кут .^[2]

При (а також при ) графік звортньо-пропорційної залежності щільніше притіскається до осі абсцис v = 0 (відповідно, до осі ординат u = 0), оскільки ці осі є асимптотами (двобічними) графіку. В канонічних координатах x, y ці асимптоти є бісектрисами y = x та y = − x координатних кутів.^[2]

З гіперболою пов'язані такі числові властивості:

• число a, що зветься дійсною напіввіссю;
• число b, що зветься уявною напіввіссю;
• число , що зветься лінійним ексцентриситетом;
• число 2c, що зветься фокусною відстаню;
• число , що називається числовим ексцентриситетом;
• число , що зветься фокальним параметром;
• вісь абсцис, що зветься дійсною (або фокальною) віссю;
• вісь ординат, що зветься уявною віссю;
• точка O(0,0), що зветься центром;
• точки , що звуться вершинами;
• точки , що звуться фокусами;
• прямі , що звуться директрисами.

[ред.] Посилання

1. ↑ ^{а б} Корн Г., Корн Т. «2.4-8», Справочник по математике для научних работников и инженеров, вид. друге (рос.), Москва: Наука, 1984.
2. ↑ ^{а б в г} Постников М. М. Аналитическая геометрия, «Наука», 1979.

Парабола

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.

Пара́бола (від грец. παραβολή) — геометричне місце точок, що рівновіддалені від точки і прямої. Одна з кривих другого порядку.

Точка зветься фокусом, а пряма - директрисою.

Парабола, гіпербола та еліпс є конічними перерізами. Парабола є конічним перерізом з одиничним ексцентриситетом.Якщо точкове джерело світла розміщене у фокусі параболоїдного дзеркала, то відбиті від поверхні промені будуть розповсюджуватися паралельно.

Графік функції, що задається за допомогою поліному другого порядку від однієї змінної являє собою параболу.

[ред.] Рівняння

Канонічне рівняння параболи в прямокутній системі координат:

(або  , якщо поміняти місцями осі).

Квадратне рівняння при також представляє собою параболу і графічно зображаєтся тією ж параболою, що і , але на відміну від останньої має вершину не в початку координат, а в деякій точці , координати якої обчислюються за формулами :

Рівняння  може бути представлено у вигляді , а у випадку переносу початку координат в точку канонічним рівнянням. Таким чином для кожного квадратного рівняння можна найти систему координат таку, що в цій системі воно представиться канонічним.

[ред.] Розрахунок коефіцієнтів квадратного рівняння

Якщо для рівняння відомі координати 3-х різних точок його графіка , , , то його коефіцієнти можуть бути знайдені так:

[ред.] Властивості

• Парабола - крива другого порядку.
• Вона має вісь симетрії, що називається віссю параболи. Вісь проходить через фокус і перпендикулярна директрисі.
• Оптична властивість. Пучок променів, паралельних осі параболи, відбиваючись у параболі, збирається в її фокусі. І навпаки, світло від джерела, що знаходиться у фокусі, відображається параболою в пучок паралельних її осі променів.
• Для параболи фокус знаходиться в точці (0,25; 0).
• Якщо фокус параболи відобразити щодо дотичній, то його образ буде лежати на директрисі.
• Парабола є антиподерою прямій.
• Всі параболи подібні. Відстань між фокусом і директрисою визначає масштаб.
• При обертанні параболи навколо осі симетрії виходить еліптичний параболоїд.
• Еволютою параболи є напівкубічна парабола.