Дружні числа

[ред.] Побудова

Файл:Parabola01.gif

Побудова параболи

Параболу y=ax²+bx+с будують за алгоритмом (через п'ять основних точок): 
1.Визначити напрям рогів параболи за знаком першого коефіцієнта: a>0 - роги направлені вверх. Якщо a<0, то роги параболи параболи направлені вниз. 
2.Вичислити координати вершини параболи x₀= -b/2a і y₀=y(x₀) 
3.Відмітити вершину параболи на координатній площині і через неї провести ось симетрії параболи x=x₀ 
4.Знайти точку перетину параболи з віссю OY (0;с) і відмітити їй симетричну 
5.Розв'язати квадратне рівняння ax²+bx+с=0 і відмітити точки на осі OX (x₁;0) (x₂;0) 
6.через відмічені п'ять точок провести параболу 
Параболу можна побудувати «по точках», не знаючи рівняння і маючи в наявності тільки фокус і директрису. Вершина є серединою відрізка між фокусом і директрисою. На директрисі задається довільна система відліку з потрібним одиничним відрізком. Кожна наступна точка є перетином серединного перпендикуляра відрізка між фокусом і точкою директриси, що знаходиться на кратному одиничному відрізку відстані від початку відліку, і прямої, що проходить через цю точку і паралельна осі параболи.

[ред.] Параболічні будови у природі, техніці та архітектурі

Траєкторії деяких космічних тіл (комет, астероїдів та інших), що проходять поблизу зірки або іншого масивного об'єкта на досить великий швидкості мають форму параболи (або гіперболи). Ці тіла внаслідок своєї великої швидкості і малої маси не захоплюються гравітаційним полем зірки і продовжують вільний політ. Це явище використовується для гравітаційних маневрів космічних кораблів (зокрема апаратів Вояджер).

При відсутності  опору повітря траєкторія польоту  тіла в наближенні однорідного гравітаційного поля є параболою.

При обертанні  посудини з рідиною навколо вертикальної осі поверхню рідини в посудині і вертикальна площину перетинаються по параболі.

Властивість параболи фокусувати пучок променів, паралельних  осі параболи, використовується в  конструкціях прожекторів, ліхтарів, фар, а також телескопів-рефлекторів (оптичних, інфрачервоних, радіо ...), в конструкції вузьконаправлених (супутникових та інших) антен, необхідних для передачі даних на великі відстані, сонячних електростанцій і в інших областях.

Форма параболи іноді використовується в архітектурі для будівництва дахів і куполів.

Параболічна орбіта супутника

Падіння баскетбольного м'яча

Параболічна сонячна електростанція в Каліфорнії, США

Бібліотека  з дахом у формі параболи, норвезьке  місто Тромсьо

Параболічна траекторія обертання посудини з рідиною

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії. 

Цей термін має також  інші значення. Докладніше — у статті Коло (значення).

Ко́ло — геометричне місце точок площини, відстань від яких до заданої точки, що називається центром кола, є постійною величиною і дорівнює радіусу кола.

Коло з центром  у точці О і радіусом r позначають О(r).

Інструментом  для побудови кола є циркуль — один із основних інструментів геометрії.

[ред.] Термінологія

Внутрішню частину  кола, тобто геометричне місце  точок, віддаль яких до центра кола не перевищує радіус, називають кругом.

Відрізок прямої, що сполучає дві точки кола називається хордою. Найдовша з хорд, діаметр, проходить через центр кола. Діаметр кола дорівнює двом радіусам.

Пряма може не мати з колом спільних точок, мати з колом одну спільну точку (така пряма називається дотичною до кола) або мати з ним дві спільні точки (така пряма називається січною до кола).

Дотична до кола завжди перпендикулярна до його діаметра, один з кінців якого є точкою дотику.

 

Дві точки на колі розбивають коло на дві дуги. Кут між двома радіусами, проведеними до двох точок на колі, називається центральним. Область круга, обмежена двома радіусами й дугою називається сектором кола. Область круга, обмежена хордою та дугою, називається сегментом.

[ред.] Означення кола

[ред.] Алгебраїчне означення

 

Коло радіуса  r = 1, з центром (a, b) = (1.2, -0.5)

Коло на площині, даного радіуса r, у певній вибраній декартовій системі координат x і y, з центром в точці (a, b) описується стандартним рівнянням:

Це рівняння випливає з теореми Піфагора, при її застовуванні до кожної точки кола, як показано на рисунку справа, де радіус це гіпотенуза прямокутного трикутника, катети якого x − a та y − b. Якщо центр кола знаходиться в початку координат (0, 0), тоді рівняння спрощується до такого вигляду:

Загальне рівняння кола:

Якщо відомі координати трьох точок на площині  і , то рівняння кола, яке проходить через ці точки можна записати через визначник:

[ред.] Параметричне означення

Коло на площині, даного радіуса r, у певній вибраній декартовій системі координат x і y, описується системою рівнянь:

де параметр t — пробігає значення від 0 до 2π. З геометричної точки зору це кут до осі x, променя проведеного з початку координат до точки (x, y). Якщо записати x та y через параметр t, отримаєм:

[ред.] Полярні координати

Рівняння кола в полярних координатах:

де a – радіус кола, r₀ - відстань від початку координат до центру кола та φ – кут відкладений проти годинникової стрілки від додатньої осі x до лінії що з’єднує початок координат з центром кола. Для кола, центр якого знаходиться в початку координат r₀ = 0, це рівняння спрощується до вигляду r = a. Якщо r₀ = a або якщо початок координат лежить на колі, тоді отримуєм рівняння:

r = 2acos(θ − ϕ).

В загальному випадку, рівняння можна розв’язати для r:

,

Розвязок із знаком мінус перед коренем дає ідентичну криву.

[ред.] Комплексна площина

Рівняння  кола на комплексній площині:

або в параметричному вигляді

[ред.] Означення Аполлонія

 

Аполлоній із Перги показав, що коло можна також задати як множину точок на площині, які мають однакове відношення відстаней до двох фокусів A і B. Про таке коло іноді кажуть, що воно задане двома точками

[ред.] Властивості

• Через три точки, що не лежать на одній прямій, можна  провести коло, і притому тільки одне.
• Точка дотику двох кіл лежить на прямій, що проходить через їхні центри.
• Ізопериметрична нерівність: З усіх замкнутих кривих даної довжини коло обмежує область максимальної площі.
• Вписаний кут або дорівнює половині центрального кута, що спирається на його дугу, або доповнює половину цього кута до 180 °.
• Два вписаних кути, що спираються на одну й ту ж дугу, рівні.
• Вписаний кут, що спирається на дугу довжиною в половину кола дорівнює 90°.
• Кут між двома січними, проведеними з точки, що лежить поза колом дорівнює піврізниці мір дуг, що лежать між січними.
• Кут між хордами, що перетинаються дорівнює півсумі мір дуги, що лежить у куті і дуги навпроти неї.
• Кут між дотичною та хордою дорівнює половині градусної міри дуги, що стягується хордою.
• Відрізки дотичних до кола, проведених з однієї точки, рівні й утворюють рівні кути з прямою, що проходить через цю точку і центр кола.
• При перетині двох хорд добуток відрізків, на які ділиться одна з них точкою перетину, дорівнює добутку відрізків на які ділиться інша.
• Добуток довжин відстаней від обраної точки до двох точок перетину кола та січної, що проходить через обрану точку, не залежить від вибору січної і дорівнює абсолютній величині ступені точки відносно кола.
• Квадрат довжини відрізка дотичної дорівнює добутку довжин відрізків січної і дорівнює абсолютній величині міри точки відносно кола.