[ред.] Довжина кола і площа круга

Довжину дуги кола з радіусом R, утвореного центральним кутом φ, виміряним у радіанах, можна обчислити за формулою

L = φR.

Довжину кола з  радіусом R можна обчислити за формулою

,

де π — число пі, яке визначається як відношення довжини кола до його діаметра.

Площа обмеженого колом круга дорівнює

,

де D = 2R — діаметр.

Упродовж багатьох століть математиків цікавила задача про квадратуру кола: побудову за допомогою лінійки та циркуля квадрату з площею, що дорівнювала б площі круга. Ця задача не має розв'язку, оскільки число пі трансцедентне, що довів у 1882 Фердинанд фон Ліндеманн.

[ред.] Коло як конічний переріз

Коло є простою  плоскою кривою другого порядку і класифікується як один із видів конічного перетину. У вужчому сенсі коло — окремий випадком еліпса, тобто еліпс із однаковими півосями, або іншими словами коло є еліпсом із одиничним ексцентриситетом.

[ред.] Дотичні і нормалі

Рівняння дотичної до кола в точці визначається рівнянням

,

де A, B і С — коефіцієнти в загальному рівнянні кола.

Рівняння нормалі в цій же точці можна записати як

Еліпс

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії. 

Цей термін має також  інші значення. Докладніше — у статті Еліпс (мова).

Еліпс із фокусами

Еліпс в геометрії — лінія другого порядку.

Термін походить від грец. ἔλλειψις — нестача, пропуск, випадіння (мається на увазі «неповнота» або «дефектність» еліпсу порівняно з «повним» колом або кругом).

[ред.] Аналітичне визначення

Еліпсом називають лінію, яка в деякій декартовій прямокутній системі координат задається рівнянням:

Еліпс належить до кривих другого порядку.

[ред.] Визначальна властивість еліпса

Точки і називають фокусами еліпса, а відстань між ними — фокусною відстанню, її позначають через , отже, . Суму відстаней від будь-якої точки еліпса до фокусів і позначимо . Тоді за означенням маємо: . Звідси можна сказати, що еліпс складається з таких і тільки таких точок , які задовольняють умові:

[ред.] Геометричне визначення

Еліпсом називається множина всіх точок площини, для кожної з яких сума відстаней до двох даних точок і цієї площини є величина стала, більша за відстань між і .

[ред.] Елементи еліпса

[ред.] Вершини еліпса

Точки перетину еліпсу з осями прямокутної системи координат, вибраної так щоб початок координат був серединою відрізка , а вісь збігалася з прямою , називають вершинами еліпсу.

[ред.] Осі еліпса

Відрізок , що проходить через обидва фокуси і , називають великою віссю еліпса, а перпендикулярний йому відрізок , що перетинається з великою віссю в центрі еліпса – відповідно його малою віссю. Довжина цих відрізків відповідає умові . Еліпс симетричний відносно своїх осей та центру.

[ред.] Директриса та ексцентриситет

Число це ексцентриситет еліпса, величина, що характеризує його витягнутість; для еліпсу . Прямі, рівняння яких називаються директрисами еліпса; співвідношення відстані від будь-якої точки еліпса до найближчого фокусу до відстані до найближчої директриси стале і дорівнює ексцентриситету.

Зауважимо, що величинами, які характеризують еліпс, є велика і мала півосі і , відстань фокуса від центру, ексцентриситет . Залежність між ними виражається формулами: . Тому, щоб скласти рівняння еліпса, досить знати або півосі і , або одну піввісь і ексцентриситет і т.д.

Якщо точки і збігаються, то еліпс стає колом радіуса . При цьому . Отже, коло є окремим випадком еліпса.

[ред.] Різні види рівнянь еліпса

 

Еліпс в полярній системі координат.

[ред.] Канонічне рівняння еліпса

[ред.] Параметричне рівняння еліпса

[ред.] Нормальне рівняння еліпса

[ред.] Довжина дуги еліпса

Довжина дуги еліпса обчислюється за формулою:

Використавши параметричний запис еліпса отримуємо наступний вираз:

Після заміни вираз довжини дуги приймає остаточний вигляд:

Отриманий інтеграл належить до родини еліптичних інтегралів, які не виражаються у елементарних функціях, і зводиться до еліптичного інтегралу другого роду . Зокрема, периметр еліпса дорівнює:

,

де  — повний еліптичний інтеграл Лежандра другого роду.

[ред.] Наближені формули периметра

YNOT: , де Максимальна похибка цією формули становить близька 0,3619% при ексцентриситеті еліпса 0,979811 (відношення осей ~1/5). Похибка завжди додатна.

Дуже наближена формула:

[ред.] Дотична

Рівняння дотичної до еліпса через точку , яка належить еліпсу