Гиперболические функции и их применение

Министерство образования РФ

ЕГУ им. Бунина

 

 

 

Курсовая  работа

 

по дисциплине: «Математический анализ»

на тему:

«Гиперболические  функции 

и их применение»

 

 

Выполнил:

 

 

Проверил:

 

 

 

 

 

 

Елец 2009

 

СОДЕРЖАНИЕ

 

Введение………………………………………………………………3

1. Понятие функции………………………………………………….5
2. Гиперболические функции………………………………………11

0. Понятие гиперболических функций…………………………11

Свойства гиперболических функций………………………...12

Обратные гиперболические функции………………………. 16

3. Применение гиперболических функций………………………...19

0. Применение гиперболических функций при вычислении интегралов……………………………………………………...19

Применение гиперболических функций в теории относительности…………………………………………….....24

Гиперболические функции в компьютерных программах….36

Заключение…………………………………………………………....38

Список литературы………………………………………………..….39

 

Введение

 

Гиперболические функции были введены  Винченцо Риккати (Vincenzo Riccati) в 1757 году («Opusculorum», том I). Он получил их из рассмотрения единичной гиперболы. Винсент Риккати (итал. Vincenzo de Riccati;               11 января 1707, Кастель-Франко — 17 января 1775, Тревизо) — итальянский математик, иностранный почётный член Петербургской Академии Наук с     17 января 1760 года. Известен как создатель гиперболических функций. Отец Винсента Якопо Франческо Риккати (в честь которого названо уравнение Риккати) был одним из крупных итальянских математиков того времени. Винсент Риккати унаследовал интересы отца в области дифференциальных уравнений, которые естественно возникали при решении геометрических задач. Это привело его к изучению конических сечений в декартовых координатах и к заинтересованности в изучении гиперболы¹.

Современная математика рассматривает  гиперболические функции, как пары экспоненциальной функции, но Риккати  исследовал их свойства, используя только геометрические свойства гиперболы х² — y² = 1 или        2xy = 1. Он использовал геометрические методы, хотя он был знаком с работами Эйлера, предшествовавших выходу книги Риккати.

Над гиперболическими функциями Риккати  работал вместе с Джироламо Саладини. Риккати не только рассмотрел эти новые функции, но и на основе связанных с ними интегральных формул и с помощью геометрических методов получил интегральную формулу для тригонометрических функций. Его книга «Institutiones» признана как первый обширный трактат по интегральному исчислению. Работы Эйлера и Ламберта изданы позже. Саладини и Риккати также рассматривали другие геометрические проблемы, в том числе трактрису, строфоиду. Риккати применял для гиперболических функций обозначения и в дальнейшем в обозначениях гиперболических функций утвердился некоторый разнобой.

Цель данной работы – изучить  гиперболические функции и их применение.

В задачи работы входит изучение следующих вопросов:

1. Раскрыть понятие о гиперболических функциях.

2. Изучить основные свойства и графики гиперболических функций.

3. Раскрыть обратные гиперболические функции и их графики; основные тождества.

4. Рассмотреть производные гиперболических  функций.

5. Изучить разложение гиперболических  функций  в ряды Маклорена.

6. Рассмотреть использование гиперболических функций при интегрировании обыкновенных дифференциальных уравнений.

 

1. Понятие функции

 

Даже  при поверхностном взгляде видно, что все вокруг нас находится  в постоянном изменении. Меняются температура  и влажность воздуха, атмосферное давление, сила ветра, скорость движения машин и т.д. Меняется — это значит, что при измерениях одной и той же величины в разное время и в разных местах будут получаться разные числа.

Постоянные (не меняющиеся) величины встречаются  чрезвычайно редко. Примером постоянной может служить отношение длины окружности, к ее диаметру: какую окружность ни взять, это отношение равно π. Другой пример — сумма углов в треугольнике: какой треугольник ни взять, сумма его углов равна двум прямым. Еще пример — произведение давления газа в цилиндре с поршнем на объем газа: оно тоже не меняется, но здесь уже нужна оговорка — температура при этом должна, быть постоянной, а газ — идеальным².

В математическом анализе изучаются  переменные величины. При этом для  потребностей практики особенно важно изучать изменение переменных величин в их взаимосвязи. Например, для разных окружностей их радиус R и длина С различны — это переменные величины. Но для одной и той же окружности они между собой жестко связаны: если радиус R известен, то длина С этим вполне определена (как известно из школьного курса,               С =   2πR , но сейчас это не главное). С изменением радиуса R будет вполне определенным образом меняться и длина окружности С. Про такую связь между переменными величинами принято говорить, что С есть функция от R, a R — аргумент этой функции. Записывают это так: С = f(R) или С = C(R) и т.п.

Аналогично, площадь круга S есть функция  от его радиуса R (аргумента этой функции): S = g(R) или S == S(R) и т.п. То, что это иная функция, нежели C(R) , отмечено в записи — эта функция обозначена другой буквой. Также и давление р в цилиндре с поршнем есть функция от объема V, занимаемого газом (V — аргумент этой функции):

  р = F(V) или р = p(V) и т.п.

Основное на что надо обратить внимание во всех этих примерах, состоит в том, что каждому значению аргумента соответствует (по некоторому закону) определенное значение функции. При этом не существенно, знаем мы формулу, описывающую эту зависимость, или нет. Например, давление в комнате меняется со временем, т.е. давление р есть функция времени t: р = p(t). Однако вряд ли кто может написать формулу для этой зависимости.

Итак, мы подошли к определению понятия  числовой функции — основного  понятия математического анализа³.

Определение 1. Если каждому числу х из множества чисел D поставлено в соответствие единственное число у, то говорят, что на множестве D задана функция f . Число у называют значением функции f в точке X и пишут у = f(x), х — аргумент этой функции, а множество D — область определения этой функции.

Обычно  говорят проще — переменная у  есть функция от переменной х, или  задана функция у = f{x), или просто f(x). Вместо буквы f можно пользоваться любой другой буквой и писать: задана функция у = у(х) или      у = а{х) и т.п. При этом обозначения выбираются так, чтобы в данном рассуждении разные функции обозначались по-разному, а одна и та же функция обозначалась одним и тем же способом.

В приведенных выше примерах с длиной окружности C(R) и площадью круга S{R) областью _{определения} этих функций будет множество D всех положительных действительных чисел. В примере с давлением газа в цилиндре с поршнем аргумент V не может быть отрицательным, нулем и больше объема v₀ цилиндра, т.е. областью определения этой функции будет множество D всех действительных чисел V , удовлетворяющих неравенству 0 < V  V₀.

Выше  мы рассматривали переменную у, как функцию от одной переменной х. На практике переменная у часто зависит от нескольких переменных х₁, х₂,...,х_n. Тогда у называют функцией от n переменных х₁, х₂,...,х_n  — аргументов этой функции и записывают это так: у = f{ х₁, х₂,...,х_n.), у = у(х₁, х₂,...,х_n.) и т.п.

Первое  знакомство с анализом начинается с  изучения более простых функций  от одного аргумента.

Области определения функций могут быть устроены весьма сложно. Из них принято выделять простейшие множества — промежутки. Напомним основное определение.

Определение 2. Отрезок [a, b] (а и b —действительные  числа, а <b) есть множество всех действительных чисел х, удовлетворяющих неравенству        а  х  b. Числа а и b называют концами отрезка (соответственно левым и правым). Все действительные числа х, удовлетворяющие неравенству, а<х<b называют внутренними точками отрезка [a,b] и их множество называется интервалом (a,b) (или )⁴.

Название «отрезок» связано с изображением действительных чисел точками прямой. Вспомним, что каждое действительное число изображается точкой на координатной прямой и каждая точка координатной прямой изображает некоторое действительное число, так что в дальнейшем мы не будем различать действительные числа и точки на координатной прямой: говоря «число»- представляем себе соответствующую точку и, говоря «точка»- представляем себе соответствующее число.

Возьмем два числа а и b (а < b) — это точки на прямой. Отрезок (как его принято понимать в геометрии) с концами а и b состоит из точек прямой, расположенных между точками а и b (концами этого отрезка) и самих этих точек а и b . Если точка (число) х лежит на отрезке, то она или расположена между точками а и b, и тогда а < х < b , или совпадает с концом а, и тогда     х = а, или совпадает с концом b , и тогда х = b.

Переходим к функциям. В определении  функции ничего не сказано о том, как устанавливается соответствие между числами х и у . В зависимости  от того, как задано это соответствие, различаются три основных способа задания функции: табличный, аналитический (при помощи формул) и графический (при помощи чертежа). Разберем табличный способ задания функции, его достоинства и недостатки.

Табличный способ задания функции  состоит в том, что для каждого значения аргумента х (из области определения функции) рядом выписывается соответствующее значение у, — получается таблица. Например:

Х	1,3	1,4	1.5	1,6	1,7
У	2,78	2,96	3,31	3,85	4,63

 

 

(при этом конечно, все х из области определения функции выписать нельзя, и поэтому такое задание функции весьма неполно). Из приведенной таблицы легко себе представить, как ведет себя функция. Пусть, например, х — это время, а у — это температура. Ясно, что температура со временем повышается, причем, чем дальше, тем быстрее, и в определенные моменты времени известны точные значения температуры. Это достоинство табличного способа. Но вот совершенно неизвестно, определена ли эта функция при х = 1,37? А если определена, то чему равен у при х = 1,37? Таким образом, при табличном способе задания функции почти ничего не известно об области определения этой функции. Для ответа на этот вопрос нужна, помимо этой таблицы, дополнительная информация⁵.

Допустим теперь, что нам известно дополнительно, что функция определена для всех промежуточных значений х. Но как она там изменяется? В приведенном примере как будет изменяться при х, меняющемся от 1,3 до 1,4, какая здесь будет таблица?

Такая:

Х	1,30	1,32	1,34	1,36	1,38	1,40
У	2,78	2,81	2,84	2,88	2,92	2,96

Или такая:

X	1,30	1,32	1,34	1,36	1,38	1,40
У	1,78	2,95	2,37	2,62	2,74	2,96

 

 

В первом случае ясно, что нагревание идет постепенно, «нормально». А во втором случае с прибором творится что-то странное, явно «что-то не то». Но по первоначальной таблице, ничего не зная о том, откуда эта таблица взялась, выбрать из этих двух возможностей одну, соответствующую действительности, невозможно: оба случая равноправны. В этом большой недостаток табличного задания функций.

Однако  в ряде случаев это единственный способ экспериментального изучения окружающих нас закономерностей. В самом деле, что делается, когда ставят опыт? С точки зрения математика здесь изучается зависимость между определенными переменными, другими словами, изучается некоторая функция. При опыте ведутся записи, в простейшем случае отмечается время (аргумент функции) и записывается показание прибора (соответствующее значение функции), т.е. функция задается таблицей. А задача исследователя состоит в том, чтобы по полученной таблице изучить эту функцию.

Экономические параметры, описывающие деятельность экономических субъектов, подвержены изменению их числовых значений во времени. В то же время отметим, что исследованием пределов бесконечно малых приращений функций занимаются такие разделы математики, как дифференциальное и интегральное исчисление. Таким образом, представив изменения числовых значений экономических параметров в виде суммы бесконечно малых функциональных приращений, можно использовать в экономических исследования математический инструментарий дифференциального исчисления.

 

2. Гиперболические функции.

2.1. Понятие гиперболических функций

 

Гиперболи́ческие фу́нкции — семейство  элементарных функций, выражающихся через  экспоненту и тесно связанных  с тригонометрическими функциями⁶.