Гиперболические функции и их применение

Гиперболические функции задаются следующими формулами:

гиперболический синус:

(в зарубежной литературе обозначается sinhx)

гиперболический косинус:

(в зарубежной литературе обозначается coshx)

гиперболический тангенс:

(в зарубежной литературе обозначается tanhx).

гиперболический котангенс:

,

Иногда также определяются гиперболические секанс и косеканс:

,

.

Ввиду соотношения  гиперболические функции дают параметрическое представление гиперболы x₂ − y₂ = 1 ( , ). При этом аргумент t = 2S, где S — площадь криволинейного треугольника, взятая со знаком «+», если сектор лежит выше оси OX, и «−» в противоположном случае. Это определение аналогично определению тригонометрических функций через единичную окружность, которое тоже можно построить подобным образом.

2.2. Свойства гиперболических функций

 

Гиперболические функции выражаются через тригонометрические функции от мнимого аргумента⁷.

.

.

Функция Гудермана связывает тригонометрические функции и гиперболические функции  без привлечения комплексных  чисел.

Функция Гудермана, названная в честь Кристофа Гудермана          (1798 - 1852), связывает тригонометрические функции и гиперболические функции без привлечения комплексных чисел. Она определяется как

При этом

.

Имеют место также следующие  тождества:

Обратная  функция к функции Гудермана

 

Производные функции Гудермана и обратной функции Гудермана⁸:

Важные тождества

Чётность:

Формулы сложения:

Формулы двойного угла:

Формулы понижения степени

Производные:

Интегралы:

Разложение в степенные ряды.

Графики гиперболических функций даны на рис. 1.

Рисунок 1.

Гиперболический синус и гиперболический  косинус аналитичны во всей комплексной плоскости, за исключением существенно особой точки на бесконечности. Гиперболический тангенс аналитичен везде, кроме полюсов в точках z = iπ(n + 1 / 2), где n — целое. Вычеты во всех этих полюсах равны единице. Гиперболический котангенс аналитичен везде, кроме точек z = iπn, вычеты его в этих полюсах также равны единице⁹.

2.3. Обратные гиперболические функции и их графики

 

1. Ареасинус y = arshx = ln (x+ ); D(f) = R, E(f) = R.¹⁰

Функция нечетная, строго возрастает (рис. 2).

         Рисунок 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2. Ареакосинус y = archx = ln (x+ ); D(f) = [1, + ),                  E(f) = [0, + ).

Функция строго возрастает (рис.3).

        Рисунок 3

3. Ареатангенс y = arthx = ; D(f) = (-1, 1), E(f) = R.

 Функция нечётная, строго  возрастает (рис. 4).

 

 Рисунок 4

4. Ареакотангенс y = arcthx = ; D(f) = R\[-1, 1], E(f) = R\{0}.

 

Функция нечётная, строго убывает (рис. 5) на интервалах (- , -1) и (1, + ).

Рисунок 5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3.Применение гиперболических функций.

 3.1. Применение гиперболических функций при вычислении интегралов.

Гиперболические функции  часто встречаются при вычислении различных интегралов. Некоторые интегралы от рациональных функций и от функций, содержащих радикалы, довольно просто выполняются с помощью замен переменных с использованием гиперболических функций.

Шесть основных гиперболических функций  определяются следующим образом: Наиболее важные формулы дифференцирования и интегрирования гиперболических функций имеют вид: Приведем  еще несколько полезных соотношений:       Если подынтегральное выражение  содержит гиперболическую функцию, то такой интеграл можно свести к  интегрированию рациональной функции  с помощью подстановки  .

Пример 1

Вычислить интеграл . Решение. Сделаем подстановку u = 2 + 3sh x, du = 3ch xdx. Тогда . Следовательно, интеграл равен

Пример 2

Вычислить интеграл . Решение. Поскольку , и, следовательно, , интеграл можно переписать в виде         Делая замену u = ch x, du = sh xdx, получаем

Пример 3

Вычислить . Решение. Используем интегрирование по частям: . Пусть . Тогда . В результате находим интеграл

Пример 4

Вычислить интеграл . Решение. Так как  , то интеграл равен

Пример 5

Найти интеграл . Решение. По определению, . Подставляя это в интеграл, получаем

Пример 6

Найти интеграл . Решение. По определению, и . Следовательно,         Сделаем замену u = e x, du = e xdx и вычислим искомый интеграл.

Пример 7

Вычислить интеграл . Решение. Подставив формулы  и , получаем

Пример 8

Вычислить интеграл . Решение. Интегрируем по частям. Полагаем         Интеграл принимает вид         Применим интегрирование по частям еще раз. Теперь полагаем         Получаем         Решая полученное уравнение относительно , находим ответ

 

 

 

 

 

3.2. Применение гиперболических функций в теории относительности

Матрицы вида описывают повороты двумерного евклидова пространства, матрицы описывают повороты в простейшем двумерном пространстве Минковского. В связи с этим гиперболические функции часто встречаются в теории относительности.

Из «Начал» Евклида  к нам пришла геометрическая задача «о делении отрезка в крайнем и среднем отношении». В современной науке эта задача известна как задача о «золотом сечении» геометрического отрезка. Решение этой задачи сводится к решению следующего алгебраического уравнения:

x2 = x + 1.

(1)

Квадратное уравнение (1) имеет два корня. Его положительный  корень называется золотой пропорцией, золотым средним или золотым отношением.

Из (1) вытекает следующее  замечательное свойство золотой  пропорции:

t n = t n-1 + t n-2 = t ґ t n-1>

(2)

где n принимает значение из множества: 0, ± 1, ± 2, ± 3, ….

С золотой пропорцией тесно связаны две числовые последовательности – числа Фибоначчи

Fn = {1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, …},

(3)

которые задаются рекуррентным соотношением

Fn = Fn-1 + Fn-2

(4)

при начальных условиях:

F1 = F2 = 1,

(5)

и числа Люка

Ln = {1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 76, …},

(6)

которые задаются рекуррентным соотношением

Ln = Ln-1 + Ln-2

(7)

при начальных условиях:

L1 = 1; L2 = 3

(8)

Числа Фибоначчи и  Люка могут быть расширены в сторону  отрицательных значений индекса n (Табл. 1).

Таблица 1. «Расширенные»  числа Фибоначчи и Люка

n	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Fn	0	1	1	2	3	5	8	13	21	34	55
F-n	0	1	-1	2	-3	5	-8	13	-21	34	-55
Ln	2	1	3	4	7	11	18	29	47	76	123
L-n	2	-1	3	-4	7	-11	18	-29	47	-76	123

Как следует из табл.1, «расширенные» числа Фибоначчи и Люка обладают рядом интересных математических свойств. В частности, для нечетных n=2k+1 члены последовательностей F_n и F_-n совпадают, то есть, F_2k+1 = F_-2k-1, а для четных n=2k они являются противоположными по знаку, то есть, F_2k= -F_-2k. Для чисел Люка L_n – все наоборот, то есть,

 L_2k = L_-2k; L_2k+1 = -L_-2k-1.

Пожалуй, наиболее важным результатом «Теории чисел Фибоначчи» являются формулы, выведенные в XIXв. известным французским математиком Бине. Эти формулы, называемые формулами Бине, связывают числа Фибоначчи F_n и числа Люка L_n с золотой пропорцией .

Формулы Бине для чисел  Фибоначчи:

,

(9)

Формулы Бине для чисел  Люка:

.

(10)

где дискретная переменная k принимает значения из множества: 0, ± 1, ± 2, ± 3, ….

Сравнение формул Бине (9), (10) с классическими гиперболическими функциями

,

(11)

.

(12)

показывает, что формулы  Бине по своей структуре подобны  гиперболическим функциям (11), (12). Это  наблюдение и лежит в основе нового класса гиперболических функций, введенного в [4]. Для этого дискретная переменная k в формулах (9), (10) была заменена непрерывной переменной x, которая принимает значения из множества действительных чисел. В результате были получены следующие непрерывные функции, названные гиперболическими функциями Фибоначчи и Люка [4]:

Гиперболический синус  Фибоначчи

.

(13)

Гиперболический косинус  Фибоначчи

(14)

.

Гиперболический синус  Люка

.

(15)

Гиперболический косинус  Люка

.

(16)

Связь между числами  Фибоначчи F_n и числами Люка L_n и гиперболическими функциями Фибоначчи и Люка (13)-(16) задается следующими соотношениями:

sF(k) = F2k; cF(k) = F2k+1; sL(k) = L2k+1; cL(k) = L2k,

(17)

где k= 0; ±1; ±2; ±3,....

Сравним теперь гиперболические  функции Фибоначчи и Люка (13)–(16) с классическими гиперболическими функциями (11), (12). Легко увидеть, что, в отличие от классических гиперболических  функций (11), (12), график косинуса Фибоначчи (14) асимметричен относительно оси y, а график синуса Люка (15) асимметричен относительно начала координат. Это ограничивает область эффективного приложения нового класса гиперболических функций, задаваемых (13)-(16).

Симметричный гиперболический синус Фибоначчи

.

(18)

Симметричный гиперболический  косинус Фибоначчи

.

(19)

Симметричный гиперболический  синус Люка

.

(20)

Симметричный гиперболический  косинус Люка

.

(21)

Числа Фибоначчи и  Люка связаны с введенными выше симметричными  гиперболическими функциями Фибоначчи  и Люка следующими соотношениями:

; .

(22)

На Рис. 1 и 2 приведены  графики введенных выше функций (18)-(21).

Рисунок 1. Симметричные гиперболические функции Фибоначчи	Рисунок 2. Симметричные гиперболические функции Люка

Как следует из рис. 1 и 2, графики функций (18)-(21) являются симметричными и подобны графикам классических гиперболических функций (11), (12). Заметим, что в точке x=0 симметричный косинус Фибоначчи cFs(x) принимает значение , а симметричный косинус Люка cLs(x) в этой точке принимает значение cLs(0) = 2. Важно подчеркнуть, то числа Фибоначчи F_n с четными индексами (n = 0, ± 2, ± 4, ± 6, …) «вписываются» в симметричный синус Фибоначчи sFs(x) в дискретных точках x = 0, ± 2, ± 4, ± 6, …, а числа Фибоначчи F_n с нечетными индексами (n = ± 1, ± 3, ± 5, …) «вписываются» в симметричный косинус Фибоначчи cFs(x) в дискретных точках x = ± 1, ± 3, ± 5 …. С другой стороны, числа Люка с четными индексами «вписываются» в симметричный косинус Люка cLs(x) в дискретных точках x = 0, ± 2, ± 4, ± 6 …, а числа Люка с нечетными индексами «вписываются» в симметричный синус Люка sLs(x) в дискретных точках x = ± 1, ± 3, ± 5 ….