Интегрирование рациональных функций

                              Государственное казенное образовательное  учреждение

                                         высшего профессионального образования

                                «РОССИЙСКАЯ ТАМОЖЕННАЯ АКАДЕМИЯ»

                                                        Ростовский филиал.

                    Кафедра информационных таможенных  технологий и информатики.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Курсовая работа

по дисциплине «Математический  анализ»

на тему «Интегрирование рациональных функций».

 

 

 

 

 

 

 

 

                                                                      Выполнила: Вебер А.В., студентка 1-го

 курса очной формы обучения экономического

                                      факультета, группа 1БЭ.

             Подпись:

                                                                     

                                                               Научный руководитель: Цвиль М.М.,

                                                                         канд. физико-математических наук, доцент

               Подпись:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ростов-на-Дону

2011г.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Содержание

 

Введение

Вопрос интегрирования рациональных дробей много раз изучен и рассмотрен. Казалось бы, что может быть проще для современного математика, чем разложить рациональную дробь на простейшие, а потом проинтегрировать полученное выражение. Однако, применение этого метода существенно облегчает жизнь – не будь метода – некоторые задачи было бы очень проблематично решить, а некоторые вообще не решались.

Поэтому, выбрав для изучения тему «Интегрирование рациональных дробей», я поставила  следующие задачи:

- научиться  разлагать дроби на элементарные, при этом отыскивая корни многочленов,  находящихся в числителе или  знаменателе дроби;

- систематизировать  свои знания  по нахождению первообразной или интеграла;

- усовершенствовать  свои умения в применении интегрального исчисления для функций.

Развитие функциональных знаний помогают получить наглядные  представления о непрерывности и разрывах функций,  научиться строить их графики,  обобщить сведения об основных  функциях  и осознать их роль в изучении явлений реальной действительности.

Работа над изучением темы «Интегрирование рациональных дробей» повысит уровень моей математической подготовки, позволит  научиться применять этот материал при решении дифференциальных уравнений и других задач математического анализа.

Без интегрирования рациональных дробей нельзя обходиться, тем более на современном этапе развития математической мысли. Об этом и пойдет речь в моей работе.

 

 

 

ГЛАВА I. Рациональные функции и их разложение на множители

Функция называется рациональной функцией, или рациональной дробью, если она представляет собой отношение двух многочленов и :

Пусть степень многочлена равна , а степень равна , то есть

где и . Разделив числитель и знаменатель на число , мы получим, что коэффициент при старшей степени в знаменателе равен 1. Для дальнейшего нам будет удобно предполагать, что эта операция уже произведена, то есть что . Далее мы будем предполагать, что все коэффициенты и  - вещественные числа.

Если  , то дробь называется правильной, а если , то неправильной. Если дробь неправильная, то её числитель можно поделить на знаменатель , получив при этом частное и остаток , степень которого меньше . Это означает, что

или что

где  - некоторый многочлен, называемый целой частью рациональной дроби . Если остаток Т(х) тождественно равен 0, то многочлен Р(х) делится на Q(х) без остатка, и функция R(х) является многочленом, то есть совпадает со своей целой частью S(х).

С интегрированием целой  части дроби R(х), то есть многочлена S(х), не возникает никаких проблем, так что в дальнейшем мы можем заняться выяснением способов интегрирования лишь правильных рациональных дробей. Для нахождения частного S(х) и остатка Т(х) можно применять алгоритм деления многочленов «столбиком». Приведём пример.         

Пример 1.   Разделим с остатком  - многочлен третьей степени - на бином  - многочлен первой степени:

Таким образом, мы представили неправильную рациональную дробь  в виде

здесь мы получили частное  и остаток  - многочлен нулевой степени, то есть постоянную.     

Знаменатель раскладывается в произведение вещественных линейных и квадратичных множителей, то есть имеет вид:

Линейный множитель  повторяется в разложении раз, это означает, что вещественное число  - корень многочлена Q(х) кратности . Относительно квадратичных множителей мы будем предполагать, что они не имеют вещественных корней, то есть что их дискриминанты отрицательны:

и корни составляют пару комплексно сопряжённых чисел:

(Здесь и далее   - мнимая единица, так что .) Квадратичный множитель повторяется в разложении раз; это соответствует тому, что каждое из комплексно сопряжённых чисел и служит -кратным корнем многочлена .

Указанное разложение многочлена можно выписать, если каким-либо способом отыскать все его корни, как вещественные, так и комплексные, и найти их кратности. Заметим также, что сумма кратностей всех корней равна степени многочлена:

Если найден какой-либо корень , то это означает, что делится на бином без остатка:

где степень частного равна . Точно так же, если найден какой-либо комплексный корень (тогда и сопряжённое число тоже является корнем ), то делится без остатка на произведение , то есть

где степень частного равна .         

Если   - многочлен с целочисленными коэффициентами , то, согласно теореме Виета, все целые корни этого многочлена содержатся среди делителей (как положительных, так и отрицательных) свободного члена . Проверив все эти делители, мы можем натолкнуться на некоторые из корней; если же ни один из делителей не является корнем , то это означает, что не имеет ни одного целого корня.             

Пример 2.   Разложим на множители многочлен третьей степени . Проверим, нет ли у него целых корней. Если есть, то этот корень должен быть одним из делителей свободного члена, то есть числа 6. Эти делители равны . Подставляем эти числа в по порядку:

Натолкнулись на корень многочлена, который оказался равным . Значит, делится без остатка на бином . Выполним это деление «столбиком»:

Значит,

Корни частного, то есть квадратного  трёхчлена  , найдём обычным способом:

Эти два корня оказались комплексными, так что искомое разложение многочлена на вещественные линейные и квадратичные множители уже получено: это . Кратности как корня , так и пары корней , оказались равными 1.     

Итак, предположим, что нам дана правильная рациональная дробь

Её знаменатель  после разложения на множители может содержать множители следующих четырёх видов: (если кратность корня равна 1); , где (эти множители соответствуют вещественным корням кратности больше 1); (если кратность комплексных корней равна 1) и, наконец, (если кратность комплексных корней больше 1).

Каждому из указанных  типов множителей знаменателя соответствуют простейшие рациональные дроби, а именно:

 - простейшая дробь первого типа;

, где  , - простейшая дробь второго типа;

 - простейшая дробь третьего типа;

, где  , - простейшая дробь четвёртого типа.  
Здесь и  - некоторые постоянные.

Любая правильная дробь  раскладывается в сумму простейших дробей указанных четырёх типов.

Если в знаменателе  дроби  имеется множитель , то разложение будет содержать слагаемое в виде простейшей дроби первого типа , где  - некоторое число.

Если имеется множитель  , где , то разложение будет содержать серию слагаемых, в количестве штук, вида , где , - это простейшие дроби второго и (последняя) первого типа. (Следует заметить, однако, что непременно присутствует в разложении лишь слагаемое со старшей степенью, равной ; может оказаться, что некоторые, или даже все, остальные слагаемые имеют числители .)

Если в знаменателе имеется  множитель  , то разложение будет содержать слагаемое, равное соответствующей простейшей дроби третьего типа, , где и  - некоторые числа.

Наконец, если имеется  множитель  , где , то разложение будет содержать серию слагаемых, в количестве штук, вида , где ; - это простейшие дроби четвёртого и (последняя) третьего типа. В разложении непременно присутствует лишь слагаемое со старшей степенью, равной , а остальные слагаемые могут в некоторых случаях оказаться равными 0.

Сказанное можно выразить формулой, дающей разложение правильной дроби в сумму простейших дробей:

где  - некоторые постоянные. Эти постоянные отыскивают методом неопределённых коэффициентов, выписав разложение в соответствии с видом разложения на множители знаменателя дроби .

Для отыскания неизвестных  постоянных методом неопределённых коэффициентов нужно, выписав разложение в сумму простейших дробей по формуле, привести к общему знаменателю сумму, стоящую в правой части. Заметим, что этот общий знаменатель, очевидно, равен . Получим, что в левой и правой части равенства стоят дроби с одинаковыми знаменателями; значит, и числители у них также тождественно равны. Числитель в правой части содержит неизвестные постоянные , а числитель левой части - нет.

Далее можно действовать одним  из двух способов: либо, воспользовавшись тем, что числители тождественно равны друг другу, подставлять в тот и в другой некоторые «удобные» значения и получать значения постоянных или линейные уравнения, которым они удовлетворяют; либо приравнивать друг к другу коэффициенты при одинаковых степенях в числителях левой и правой частей: эти коэффициенты также совпадают вследствие тождественности числителей. Это также будет давать линейные уравнения, которым должны удовлетворять неизвестные коэффициенты. Оба описанных способа получения соотношений между коэффициентами можно комбинировать друг с другом так, чтобы найти коэффициенты наиболее удобным способом.

Приведём пример.         

Пример 3. Разложим рациональную дробь

в сумму простейших дробей и вычислим .

Заметим, что в знаменателе  этой дроби стоит многочлен  , для которого в предыдущем примере мы нашли разложение на множители: Поэтому сумма будет состоять из двух слагаемых: простейшей дроби первого типа, соответствующей линейному множителю , и простейшей дроби третьего типа, соответствующей квадратичному множителю . Итак, вид разложения таков:

серия, соответствующая  , состоит из 1 слагаемого; серия, соответствующая , также содержит только 1 слагаемое. Через А, В и обозначены неизвестные пока постоянные.

Для нахождения этих постоянных приведём правую часть к общему знаменателю:

Поскольку дроби в левой и  в правой частях этого равенства  тождественно равны и имеют одинаковые знаменатели, то тождественно равны  и их числители³:

Это равенство верно при всех значениях  , в том числе и при х=-1. Подставим х=-1в левую и правую часть равенства и получим:

Последняя скобка равна 0, так что получаем: 2=А×11 откуда

Других «удобных» значений , то есть таких, чтобы какая-либо скобка в правой части обращалась в 0, больше нет, ведь квадратный трёхчлен , как мы проверяли ранее, не имеет вещественных корней. Так что далее мы можем либо подставлять «не вполне удобные» значения , вроде , либо приравнивать друг к другу коэффициенты при одинаковых степенях в левой и правой частях. Пойдём комбинированным путём: сначала подставим (заметим, что это - то же самое, что приравнять друг к другу свободные члены левой и правой частей):

Это даёт нам равенство 

Поскольку уже известно , получаем:

Наконец, приравняем коэффициенты при  : в левой части коэффициент равен 5, а в правой, после раскрытия скобок, он оказывается равным А+В, так что А+В=5, откуда

Итак, все три неизвестных коэффициента найдены, и получено разложение

        

Замечание. Если исходная правильная дробь является чётной функцией от , то есть содержит в числителе и знаменателе одни лишь чётные степени , то и в правой части разложения достаточно оставить одни лишь чётные относительно слагаемые. Действительно, если дробь имеет вид , где и  - многочлены от переменного , то мы можем разложить на сумму простейших дробей правильную дробь , а потом подставить в каждом из слагаемых разложения вместо . Очевидно, что тогда все эти слагаемые, зависящие только от , будут чётными функциями. Например, разложение правильной дроби