Инверсии. Свойства инверсных преобразований

Министерство  Образования Российской Федерации

Камчатский  государственный педагогический университет 

Кафедра прикладной математики

 
 
 
 

Курсовая  работа

Инверсии. Свойства инверсных преобразований. 
 
 
 
 
 
 
 

Петропавловск-Камчатский

2010

Оглавление׃

Введение…………………………………………………………………….....3стр.

1.Инверсия…………………………………..…………………………...........4 стр.

1.1 Инволютивность инверсии………………………………………...........8 стр.

1.2 Аналитическое  задание инверсии………………………………….…...9 стр.

2.Свойства инверсий …………………………………..……………….…10стр.

3.Использование метода инверсий при решении геометрических задач

3.1 Задачи на касание окружностей………………………………..………22стр.

3.2  Задачи на построение окружностей, пересекающих данные окружности ортогонально………………………………………………………………....25стр.

Заключение……………………………………………………………..……32стр.

Список  используемой литературы………………………………………….33стр. 
 
 
 
 
 
 

Введение

В 1831 году Л. Дж Магнус впервые стал рассматривать  преобразование плоскости, которое  получило название симметрии относительно окружности или инверсии (от лат. inversio - обращение).В данной курсовой работе рассматривается такое  преобразование.

    Цель  данной курсовой работы: рассмотреть  преобразование инверсии, осветить основные свойства этого преобразования, применяемые  при решении задач и доказательстве теорем.

   Поставленная  цель предполагала решение следующих  задач:

• вывод  формулы инверсии;
• доказательство основных свойств инверсии;
• примеры решения нескольких задач при помощи инверсии;

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

1. Инверсия. Аналитическое задание инверсии.

Пусть на плоскости Р задана окружность с центром в точке О и радиусом r. Инверсией окружность с центром в точке О и радиусом r называется преобразование плоскости, которое описывается следующим законом ׃ точке Х , отличной от точек О и О∞, ставится в соответствии точка Х' на луче ОХ такая, что  ОХ' = r²/OX, где׃

точка О_∞  - бесконечно удаленная точка;

точка О - центр инверсии;

r^2- степень инверсии;

Введенная выше окружность с  окружность с  центром в точке О и радиусом r называется окружностью инверсии.

Рассмотрим  ту же окружность с центром в точке О и радиусом r и обозначим через Е₀ множество точек плоскости без точки О. Каждой точке М множества Е₀  поставим в соответствии точку М' так, чтобы она лежала на луче ОМ и

. Получаем  преобразование множества Е₀ ,которое и называется инверсией относительно окружности (О,r) или просто инверсией.

Из данного определения инверсии следует, что в инверсии соответствие между точка множества Е₀ взаимно- если точка М' соответствует точке М, то точка М соответствует М'. Каждая точка окружности инверсии является инвариантной точкой, а сама окружность является инвариантной фигурой.

Точки М, лежащие внутри окружности инверсий, переводятся инверсией в точки, лежащие вне окружности инверсии, и наоборот, точки лежащие вне окружности переводятся во внутренние точки  по отношению к этой окружности. Пусть точка М -внешняя относительно окружности (О). Из точки М проведем касательную МТ к окружности (О) и точку касания Т спроектируем ортогонально  на прямую ОМ. Мы получили точку М'=f(М).

 

В самом  деле, в треугольнике ОТМ  угол Т  прямой и ТМ'- высота, проведенная из вершины прямого угла . Следовательно, ОМ*ОМ'=ОТ² , т.е.

ОМ*ОМ'= r², причем точка М' является внутренней точкой относительно окружности (О).

Если  же точка м является внутренней относительно окружности (О), то через М проведем прямую d перпендикулярно ОМ,  и пусть Т –точка пересечения прямой d с окружностью (О). Если  точка М неограниченно приближается к точке О, то ее образ –точка М ' -неограниченно удаляется от точки О.Это видно из соотношения ׃

ОМ'= r²/ОМ +∞.

                                       Аналогично  устанавливается, что при неограниченном удалении точки М от точки О, ее образ М' неограниченно приближается к точке О.Тем самым оправдано, что по определению инверсии центр инверсии переходит в бесконечно удаленную точку, и наоборот. Пусть произвольная точка Х подвергается последовательно действию одной и той же инверсии φ.

Обозначим через Х' точку   φ (Х), а через Х'' - точку φ (Х'). Тогда все три точки Х, Х', Х''  лежат на одном луче ОХ и, кроме того, справедливы соотношения׃

= ,   ОХ''=

Отсюда  получаем  ОХ^"=

,

следовательно, ОХ"= ОХ.

Итак, если Х  – произвольная точка плоскости, отличная от центра инверсии и бесконечно удаленной точки, то дважды выполненная инверсия переводит точку Х в эту же точку Х. Если точка Х совпадает с точкой О или с бесконечно удаленной точкой, то тот же результат сохраняет силу. Это вытекает непосредственно из определения инверсии.

Итак, справедлива  следующая теорема: Преобразование плоскости, представляющей собой последовательно выполненную дважды одну и ту же инверсию, есть тождественное преобразование.

Отметим, что если при инверсии точка Х  переходит в Х', то Х' при этой инверсии переходит в Х т.е. Х' и Х меняются местами. Подобным свойством обладает отражение в прямой, поэтому иногда инверсию называют «отражением в окружность». 

1.1 Инволютивность инверсии

Преобразование  f - называется инволютивным, если f≠е , но f =е², где тождественное преобразование ,а f ² = f *f-квадрат преобразования f.

Если  f- инволютивное  преобразование множества Х и f(х)=у, (х, уÎХ), то

f ²(х)= f  (у), а значит f  (у)=х. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

1.2. Аналитическое задание инверсии

1)выберем на плоскости ортонормированный репер R={O,i,j} c  началом в центре окружности (О) инверсии f. Выразим координаты х', у' точки М'= f(М) в репере R через координаты х,у точки МÎЕ' в том же репере.

Так как векторы ОМ≠ 0 и ОМ коллинеарны, то ОМ' =ОМ*l .               (1)

из определения инверсии следует, что     l*ОМ² =r^{2  Þ}

,                                               (2*)

из (2*) следует, что 

    ,   (2)

2)Если  М' и N' -образы точек М и NÎE' , то воспользовавшись формулами (2*) и (2) нетрудно выразить расстояние между двумя точками М' и N'׃

 
 
 
 
 

2. Свойства инверсии.

  Обозначим через f инверсию на плоскости, имеющую центр в точке О, радиус которой равен r.

  Прежде  всего установим одну простую  лемму, которая играет существенную роль при изучении свойств инверсии.

  Лемма 1. Пусть инверсия f переводит точки А и В соответственно в точки А' и В' (,предполагается, что точки А и В отличны от точки О и бесконечно удаленной точки и, кроме того, точки О, А, В не лежат на одном луче с началом в точке О). Тогда треугольники ОАВ и OA'В' подобны и

ОАВ= ОВ'А,   ОВА = О А'В'.

  Доказательство. У треугольников ОАВ и OA'В' имеется общий угол, а стороны, заключающие этот угол, пропорциональны. Действительно, так как OA*OA' = ОВ*ОВ'=r² ,

  

.               (3)

  

Отсюда  следует, что треугольники ОАВ и OA'B' подобны. Но так как против пропорциональных сторон в подобных треугольниках лежат равные углы, то из соотношения (3) следует равенство соответствующих углов:

ОАВ = ОВ'А'

ОВА = ОА'В'

   Лемма доказана.

   Т е о р е м а 1: Инверсия f  переводит любую прямую, проходящую через центр инверсии, саму на себя_} т. е. прямая у, проходящая через центр инверсии, есть инвариантная фигура.

   Доказательство  этой теоремы непосредственно вытекает из определения инверсии.

   Теорема 2. Инверсия f преобразует прямую, не проходящую через центр инверсии О, в окружность, проходящую через точку О.

Доказательство. Пусть l- прямая, не проходящая через центр инверсии - точку О. Опустим из точки О перпендикуляр на прямую l, и пусть он пересекает l в точке М. Пусть M'- образ точки М относительно инверсии f. Точка М', очевидно, лежит на луче OM.

   

На прямой l рассмотрим произвольную точку X, отличную от бесконечно удаленной точки O_∞. Пусть X' — образ X относительно инверсии f. Тогда по лемме 1 имеем:

OX'M' = OMX= .

Поэтому точка X' лежит на окружности K, построенной на отрезке ОМ' как на диаметре. Так как точка X взята на прямой l произвольно, то образ прямой l при инверсии f представляет собой совокупность точек l', расположен ную на окружности K.

  Докажем теперь, что множество точек l' совпадает с окружностью К. Прежде всего отметим, что точка О принадлежит множеству l'. Это вытекает из того, что прямая l проходит через бесконечно удаленную точку O_∞, а эту точку инверсия f переводит в точку О. Пусть теперь Y — произвольная точка окружности K. Луч ОУ пересекает прямую l в некоторой точке Z (мы предполагаем, что точка У отлична от точки О, поэтому луч ОУ не параллелен прямой l). Докажем, что точка Z переводится инверсией f в точку Y. Так как точки У и Z лежат на одном луче 0Z, то нам нужно лишь проверить, что выполняется соотношение OY=r²/OZ.