Инверсии. Свойства инверсных преобразований

По построению треугольники OYM' и OMZ подобны.

 

Поэтому

.

Отсюда

Итак, доказано, что точка У есть образ точки  Z при инверсии f. Таким образом, образ прямой l совпадает с окружностью K.

  Теорема доказана.

  Построение, проведенное в доказательстве теоремы 2, дает способ построения образа заданной прямой относительно инверсии f с помощью циркуля и линейки. Из центра инверсии -точки О опускаем перпендикуляр ОМ на прямую l.

  Строим  точку М', являющуюся образом точки М (при этом приходится строить отрезок длиной, равной г²). Образ прямой l относительно инверсии—

окружность  l' строится на отрезке ОМ' как на диаметре.

  В том частном случае, когда прямая l касается окружности инверсии, точки М и М' совпадают и потому окружность l' строится на отрезке ОМ как на диаметре.

  Теорема 3. Инверсия f преобразует окружность, проходящую через центр инверсии О, в прямую, не проходящую через точку О.

  Пусть прямая а не проходит через центр  инверсии и определется в репере R уравнением: Ax+By+C=0.

Так как  инверсия является преобразование инволютивным, то вместе с формулами (2) имеем и  такие:

, . (4)

Фигура f (а) определяется уравнением, которое  получится, если в уравнении Ax+By+C=0 заменим х и у их выражениями (4).  (х')² + (у')²≠ 0, находим:

С((х')² + (у')²) + r² (Ах' + By') = 0

Это уравнение  определяет окружность, из которой  надо выбросить точку О.

Итак, прямая, не проходящая через центр О инверсии, переходит в окружность, проколотую в точке О.

В силу инволютивности инверсии заключаем, что  окружность, проколотая в точке О, переходит в инверсии в прямую, не проходящую через точку О.  

Рассмотрим  окружность (О₁), определяемую уравнением:

(x-x₀)²+(y-y₀)² =r²

Данное  уравнение можно записать в виде:

x² + у² + ах + bу + с = 0.                                                     (5)

Пусть 0€ (Ох) (с ≠ 0). Образ окружности (О₁) в инверсии f определяется уравнением, полученным из (5) заменой х и у их выражениями (4):

 

  Это уравнение определяет окружность, не проходящую через точку О, Следовательно, окружность, не проходящая через центр  О инверсии, переходит в окружность, также не проходящую через точку  О.

  Теорема доказана. 

  Теорема 4. Инверсия f преобразует окружность, не проходящую через центр инверсии О, в некоторую окружность, также не проходящую через центр инверсии.

  Доказательство. Пусть К- окружность, не проходящая через центр инверсии О. Через точку О проведем прямую g так, чтобы она пересекла окружность К по диаметру АВ.

  Пусть А' и В'—образы точек А и В относительно инверсии f, X — произвольная точка окружности К и X'— ее образ.

  По  лемме 1 треугольники ОХ А и ОХ' А' подобны и потому

OA'X'= OXA;

аналогично  треугольники ОХВ и ОХ'В' подобны и, следовательно,

Так как

А'Х'В' = ОВ'Х' - О АХ' = ОХВ - ОХ А = AXB=π/2 ,

то отсюда вытекает, что отрезок А'В' из точки X' виден

под углом  π/2 и, стало быть, точка X' лежит на окружности

S, построенной на отрезке А'В' как на диаметре. Поскольку точка X на окружности К была выбрана произвольно, то К'— образ окружности К при инверсии f — расположен на окружности S.

Докажем, что К ' совпадает с окружностью S. Пусть Y — произвольная точка окружности S и Z — точка на луче OY такая, что

         Очевидно, что точка Z переводится инверсией  f в точкуY. Далее, из соотношений

ОА*ОА' = г²,

OB*OB' = г²,

OZ * OY = г²

и леммы 1 вытекает, что

  

AZB = OZB- OZA = OB'Y- OA'Y =

=

A'YB'= π/2 .

Следовательно, точка Z лежит на окружности К. Осюда вытекает, что фигуры S и К' совпадают. Так как построению концы диаметра окружности К –

 точки  А, отличны от О и расположены  на луче OA по одну сторону от точки О, то окружность К' не проходит через т.О. (Последнее утверждение вытекает также того факта, что никакая окружность не проходит ч бесконечно удаленную точку О_∞.) Построения, проведенные выше, дают возможн строить образ окружностей при инверсии с помощью : куля и линейки. Остановимся на этом вопросе более подробно.

  а) Окружность К не проходит через центр инверсии.В этом случае проводим из т. О луч, который пересекает окружность К по диаметру для точек А и В строим их образы А' и В'.

  Окружность  К'— образ окружности К относительно инверсии f — окружность, построенная на отрезке А'В' как на диаметре .

  

   б) Окружность К проходит через центр инверсии.

В этом случае согласно теореме 3 образ К  есть прямая К'. Из точки О проводим луч , который пересекает К по диаметру OA. Для точки А строим ее образ — точку А'. Прямая, проходящая через точкуА'  перпендикулярно лучу OA, и есть искомая прямая К'.

  Построение  прямой К' значительно упрощается в  двух случаям:

1)если окружность К пересекает окружность инверсии в двух точках В и С, то прямая К' совпадает с прямой ВС .

2) если  К касается окружности инверсии, то К' есть касательная к  окружности инверсии в точке  касания К с окружностью инверсии.   

  Перейдем  теперь к вопросу о характере  изменения углов между кривыми  под действием инверсии f. Как известно, углом между двумя кривыми l₁ и l₂ в точке их пересечения называется наименьший из вертикальных углов между касательными к этим кривым в рассматриваемой точке.

Можно доказать, что при инверсии углы между кривыми  сохраняются.

Докажем ниже это предложение для окружностей и прямых.

  Теорема 5. При инверсии f угол между прямыми равен углу между их образами.

  Доказательство. Здесь могут представиться три случая:

1)   прямые l₁ и l₂ проходят через центр инверсии f;

2)одна из прямых l₁ и l₂ проходит через центр инверсии;

3)ни  l₁ ни l₂ не проходят через центр инверсии.

В первом случае утверждение теоремы очевидно. Рассмотрим случаи

2) и 3).                                                                                             

  В случае  2) будем считать для определенности, что прямая проходит через центр инверсии — точку О. Тогда инверсия f переводит прямую l₁ саму в себя, т. е. образ прямой совпадает с этой прямой. Прямая l₂ не проходит через центр инверсии и потому переводится инверсией в некоторую окружность проходящую через точку О. Касательная t к окружности l'₂ в точке О параллельна прямой l_2.

  Относительно  взаимного расположения прямых l₁ и l₂могут представиться две возможности:

  а) прямые l₁ и l₂ параллельны;

  б) l₁ и l₂ пересекаются в некоторой точке А. Если l₁ и l₂, параллельны, то угол между ними, очевидно, равен нулю. прямая l₁ проходит через точку О и параллельна l₂. Поэтому она необходимо будет совпадать с касательной t к окружности l₂ в точке О. Отсюда следует, что угол между l₁ и l₂ равен нулю и, следовательно, утверждение теоремы в случае а) доказано.

Пусть теперь l₁ и l₂ не параллельны и А — точка их пересечения. Обозначим через β наименьший из вертикальных углов между  прямой l₁₌ l'₁ или,

что то же, прямой t. Точка А при инверсии переходит в некоторую точку A', в которой прямая l'₁ пересекается с окружностью l₂. Но прямая l'₂ или, что то же, прямая OA' составляет с касательной t' в точке А' к окружности l'₂  такие же вертикальные углы, что и с касательной t. Отсюда немедленно следует, что угол между l₁ и l₂ в точке А' равен β. Случай 2) полностью доказан.

Третий  случай доказывается аналогичными рассуждениями. Заметим только, что если прямые l₁ и l₂ параллельны, то соответствующие окружности l'₁ и l'₂ имеют в точке О общую касательную и, стало быть, составляют между собой нулевой угол. Отсюда угол между l'₁ и l'₂  равен углу между l₁ и l₂. Если же прямые l₁ и l₂ пересекаются, то угол между окружностями l'₁ и l'₂  в точке О равен углу между прямыми l₁ и l₂, ибо касательные t₁ и t₂ к этим окружностям в точке О параллельны прямым l₁ и l₂. Отсюда и вытекает утверждение теоремы.

 

  Теорема 6. Угол между окружностями равен углу между образами этих окружностей относительно инверсии.

  Теорема 7. Угол между окружностью и прямой равен углу между образами этих фигур относительно инверсии. 
 
 
 
 
 

3. Использование метода инверсий при решении геометрических задач

  С помощью преобразования инверсии можно  дать весьма простые и изящные решения ряда задач на построение. Ниже мы рассматриваем задачи, в которых требуется построить окружность, касающуюся или ортогональную соответственно одной или нескольким окружностям.

  3.1 1 Задачи на касание окружностей

 Задача 1.

Три окружности Кг, Кг, К₃ пересекаются в одной точке О. Требуется построить все окружности, касающиеся окружностей К₁, К₂, K₃.Задача имеет четыре решения.

  Метод инверсии легко позволяет найти  эти решения. Действительно, пусть  f— инверсия с центром в точке О и радиусом r таким, что окружность инверсии пересекает окружности K₁, К₂, К₃ соответственно в точках А₁, В₁, А₂, В_2, А₃, В₃. Инверсия f переводит окружности К₁ К₂, К₃ соответственно в прямые  А₁В_1, А₂В₂, A₃B₃, причем, так как по условию задачи окружности К₁, К₂, К₃ пересекались попарно в точке 0 (а не касались), то прямые А₁В₁, А₂В₂, A₃B₃ попарно пересекаются. Таким образом, наша задача сводится к построению всех окружностей, касающихся прямых А₁B₁, А₂В₂, А₃В₃. Это, очевидно, будут вписанная и три вневписанные окружности треугольника DEF, образованными этими прямыми.