Инверсии. Свойства инверсных преобразований

Cтроим образы четырех окружностей, касающихся сторон треугольника DEF или их продолжений, относительно инверсии f. Полученные окружности и есть искомые.

  Заметим, что все проведенные построения можно выполнить с помощью циркуля и линейки.

Задача 2.

Построить окружности, которые касались бы двух данных окружностей К₁ и K₂ и проходили бы через данную точку О, лежащую вне К₁ и K₂.

  Пусть R — одна из искомых окружностей. Обозначим через  f инверсию с центром в точке О. Тогда f переводит К₁ и K₂ соответственно в окружности К'₁ и K'₂, а окружность R — в их общую касательную R'. Отсюда видно, что решения задачи представляют собой окружности, которые будут образами общих касательных к окружностям K₁, и К'₂ относительно инверсии f.  Так как таких касательных четыре, то задача имеет четыре решения.

   Задача 3 (Задача Аполлония). Построить окружности, касающиеся трех данных окружностей К₁ ,K₂ и K₃. Пусть L — одна из искомых окружностей. Соединим отрезком О₁О₃ центры окружностей К₁ и К₃ и проведем соответственно из точек 0_1, 0₂, О₃ окружности радиусов r₁+s, r₂+s, r₃+s, где

  (6)

Обозначим построенные окружности соответственно через К₁ ,K₂ и K₃. Пусть L - окружность, концентрическая по отношении к окружности L и имеющая радиус R — R—s. Очевидно, L касается окружностей К₁ ,K₂ и K₃. Поэтому ясно, что если мы построим окружность L, то мы без труда построим и окружность L. Окружности К₁ и K₃ построены так, что они касаются друг друга в некоторой точке D. Обозначим через f  инверсию с центром в точке D и радиусом r таким, что окружность инверсии пересекает окружности К₁ и K_3. Инверсия f переводит окружности К₁ и K₃ в пару параллельных прямых l₁  и l₃,а окружность К₂ в некоторую окружность K'_2. Окружность L инверсией f

переводится в окружность L', которая касается K'₂ и обеих параллельных прямых l₁  и l₃. Таким образом, решение задачи Аполлония сводится к весьма простой задаче на построение: провести окружности, касающиеся пары параллельных прямых и данной окружности. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

  2. Построение окружностей, пересекающих данные окружности ортогонально. Мы будем говорить, что две кривые пересекаются в точке М ортогонально или что они ортогональны в точке М, если угол между касательными к этим кривым в точке М прямой.

  Задача 4. Даны две неконцентрические окружности К₁ и К_2. Требуется построить все окружности, ортогональные К₁ и К₂ и проходящие через данную точку М.

  Решение этой задачи разбивается на ряд случаев в зависимости от взаимного расположения окружностей К₁, К₂ и точки М.

  а) Окружности К₁, К₂ пересекаются в точках А и В. Очевидно, что если бы точка М совпадала с одной из точек А или В, то искомой окружностью k могла бы быть

соответственно только точка А или точка В, которые рассматривались бы как окружности нулевого радиуса. Поэтому в дальнейшем рассматривается случай, когда точка М отлична от точек А и В. Пусть f — преобразование инверсии с центром в точке А и радиусом r=АВ. Тогда f переводит M в некоторую точку М', точку В оставляет неподвижной, а окружности К₁, К₂ переводит в прямые К'₁ и К'₂, проходящие через точку В.   

       Образ k' искомой окружности k при инверсии f должен быть окружностью или прямой, которая ортогональна непараллельным прямым  К'₁ и К'₂ и проходить через точку М', отличную от точек А и В. Очевидно, что имеется лишь одна окружность, удовлетворяющая этим условиям (прямой k', удовлетворяющей сформулированным выше условиям, нет). Это окружность с центром в точке В и радиусом, равным длине отрезка ВМ'

  Обозначим эту окружность через k.'

Так как дважды выполненная инверсия f приводит к тождественному преобразованию, то образ k' при инверсии  f окружность k – и есть  искомая окружность. В процессе решения задачи было установлено, что задача имеет одно решение при любом положении точки М.

  б) Окружности К₁, К₂ имеют одну общую точку А, в которой они касаются друг друга.

Если точка М совпадает с точкой А, то задача имеет бесконечно много решений. Действительно, решением задачи будет, во-первых, прямая 0₁0₂, являющаяся линией центров окружностей К₁, К₂ и, во-вторых, любая окружность с центром на прямой l, проходящая через точку А (l -общая касательная к Кг и К₂ в точке А).

  

Пусть теперь М — любая точка плоскости, отличная от точки А. Обозначим через f преобразование инверсии с центром в точке А

и радиусом r=АМ. Тогда инверсия  f переводит точку М в точку М', а окружности К₁ и К₂ переведет в параллельные прямые К'₁ и К'_2.

Образ k' искомой окружности k при инверсии f должен быть окружностью или прямой, проходящей через точку М и ортогональной двум параллельным прямым К'₁ и К'₂ .Очевидно, что k' может быть только прямой (но не окружностью). Так как такая прямая проходит через фиксированную точку M' и перпендикулярна двум параллельным прямым К'₁ и К'₂, то прямая k' единственна. Инверсией  f прямая k' переводится в искомую окружность k .

  Итак, если точка М отлична от точки А, то - задача имеет всегда одно решение.

  в) Окружности  К₁ и К₂ не имеют общих точек. Докажем прежде всего, что на линии центров О₁О₂ можно найти точку А такую, что если А принять за центр некоторой инверсии f, то f переведет К₁ и К₂ в концентрические окружности.

  Пусть l- радикальная ось окружностей К₁ и К₂ . Обозначим через S точку пересечения l и линии центров O₁O_2.Точка S лежит вне обеих окружностей К₁ и К₂, поскольку К₁ и К₂ не имеют общих точек. Проведем из S касательную к окружности K₁, и пусть T₁ — соответствующая точка касания. Окружность К с центром в точке S и радиусом R =ST₁ пересекает окружности K₁ и К₂ ортогонально.

Для окружности K₁ это непосредственно вытекает из построения, а для окружности К₂ это следует из того, что длина касательной, проведенной из точки S к окружности К₂, равна длине отрезка ST₁ или, что то же, радиусу окружности К. Обозначим через А и В точки пересечения окружности К с линией центров 0₁0₂. Точки А и В, очевидно, не лежат ни на одной из окружностей K₁ и К₂.

  Преобразование  инверсии  f определим следующим образом. Центр f поместим в точку А, а радиус возьмем равным длине отрезка АВ : r=АВ.

  Инверсия  f оставляет неподвижной точку В, окружность К переводит в прямую К', проходящую через точку В и перпендикулярную линии центров 0₁0₂, линию центров оставляет инвариантной, а окружности К₁ и К₂ переводит в окружности К'₁ и К'₂, центры которых лежат на прямой 0₁0₂ .

  Так как прямая К' ортогональна обеим  окружностям К'₁ и К'₂, то центры К'₁ и К'₂  должны лежать на прямой К'. Отсюда следует, что центры окружностей К'₁ и К'₂ находятся в точке пересечения прямых K' и 0₁0₂,  т. е. К'₁ и К'₂— концентрические окружности с центром в точке В.

  Допустим  теперь, что точка М отлична  от точек А и В. Тогда ее образ  при инверсии f — точка М' — также отлична от этих точек. Если k' — образ при инверсии f одной из искомых окружностей k, то k' есть прямая, проходящая через точки В и М'. Отсюда следует, что прямая k' единственна. Производя над ней инверсию f, получаем искомую окружность k. Итак, если точка М отлична от точек А и В, то задача имеет единственное решение. Если М совпадает с точкой В, то в качестве k' можно взять любую прямую, проходящую через точку В. Отсюда видно, что в этом случае задача имеет бесконечно много решений.

  Если  точка М совпадает с точкой А, то задача также имеет бесконечно много решений. Для этого достаточно провести изложенные выше построения с единственной заменой: рассмотреть инверсию f с центром в точке В и радиусом r=АВ.

  Таким образом, все возможные расположения точки М и окружностей K₁ и К₂ рассмотрены. Задача полностью решена.

Задача 5. Даны три окружности К₁, К₂, К₃, расположенные так, что одна лежит вне двух других. Построить окружность, ортогональную всем трем данным окружностям.

Решение. По условию окружности К₁, К₂, К₃ расположены так, что радикальная ось любых двух из них разделяет соответствующие окружности. Поэтому окружности K₁ и К₂, К₂ и К₃ имеют радикальные оси и l₁ и l₂, которые не совпадают.

Может представиться два случая:

  а) Прямые l₁ и l₂ параллельны. Тогда центры окружностей К₁, К₂, К₃ лежат на одной прямой. Эта прямая и есть решение задачи.

  б) Прямые l₁ и l₂ пересекаются в некоторой точке S. По условию окружности К₁, К₂, К₃ расположены так, что их радикальные оси лежат вне соответствующих пар окружностей. Поэтому из точки S можно провести касательные ко всем окружностям К₁, К₂, К_3. Все касательные имеют равные длины. Пусть ST₁- касательная к окружности K₁( T₁— точка касания с окружностью K₁) и r — длина этой касательной. Окружность с центром в точке S и радиусом r, очевидно, и будет искомой.

  Из  рассмотрений, проведенных выше, вытекает, что задача всегда имеет одно, решение. 

 

Заключение

    В данной курсовой работе рассмотрено такое отображение плоскости как инверсия. Цели, поставленные в начале работы, достигнуты. Выявлены и систематизированы основные определения и факты, рассмотрены основные виды задач, решаемых с помощью преобразования инверсии.

    Мы  рассмотрели основные свойства инверсионных преобразований, аналитическое задание инверсии а так же основные методы решения задач. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Список  литературы

[1] И. Я. Бакельман «Инверсия»  издательство «Наука» 1966 г.изд.-(3)

[2] В. Т. Базылев,К. И. Дуничев, В. П. Иваницкая «Геометрия»  том 1, изд-во «просвящение»,1974 г.изд.-(1),(2),(2*),(4),(5),(6),(7)

[3] Адамар, Ж.  Элементарная геометрия «пособие  для высших педагогических учебных  заведений и преподавателей средней школы»  http://www.mccme.ru.

[4] Александров,  И. И. «Сборник геометрических  задач на построение» И. И. Александров; http://www.mccme.ru.

[5]. Понарин, Я.  П. «Алгебра комплексных чисел  в геометрических задачах»

[6]. Прасолов, В.  В. «Задачи по планиметрии»: http://www.mccme.ru.

[7]. Яглом, И.  М. «Геометрические преобразования»   http://www.mccme.ru.