Элементы функционального анализа

     t₀=0<t₁<t₂<…<t_n-1<t_n=1.

Построим сумму

    

и положим

Тогда

 

Отсюда

 

 

так как

Итак,

 

 

и, следовательно, g(t) — функция с ограниченным изменением.

Возьмем любую непрерывную функцию x(t), заданную на [0, 1], и построим функцию

 

 

z_n(t) есть ступенчатая функция. Имеем

 

Поэтому

 

С другой стороны, при  n → последовательность {z_n (t)}равномерно сходится к x(t), т. е. ||z_n-x || → 0, а так как функционал F(x) непрерывен, то

 

Поэтому

 

Но

F(x)=ƒ(x)

для непрерывной функции  x(t). Поэтому

 

 

При этом функция g (t) может быть заменена на функцию g(t), совпадающую с ней в точках непрерывности и полу-непрерывную слева: g (t — 0) = g (t),

Итак, приходим к теореме Ф. Рисса.

Теорема (Ф. Рисса). Всякий линейный функционал, заданный в пространстве С [0, 1], выражается с помощью интеграла Стильтьеса по формуле (4), где g(t) — функция с ограниченным изменением, определяемая по функционалу ƒ(х).

Легко видеть, что и, обратно, функционал

где h(t) — любая функция с ограниченным изменением, является линейным функционалом в пространстве C[0,1].

В самом  деле, аддитивность φ(x) очевидна, а непрерывность следует из того, что при равномерной сходимости последовательности функций можно переходить к пределу под знаком интеграла Стильтьеса.

Таким образом, убеждаемся, что формула (4) дает общий вид линейных функционалов в пространстве С [0, 1] в том смысле, что этой формулой при всевозможных функциях с ограниченным изменением g(t) выражаются все линейные функционалы в С[0, 1].

Найдем норму функционала  ƒ(x). Имеем

 

 

откуда полное изменение

С другой стороны, из (4)

Отсюда

Из (5) и (6) следует, что

Легко показать, что соответствие между линейными  функционалами в С [0, 1] и функциями с ограниченным изменением на [0, 1], устанавливаемое формулой (4), взаимно однозначно, если считать тождественными две функции с ограниченным

изменением, отличающиеся во всех своих точках непрерывности на постоянное слагаемое.

При замене в формуле (4) функции g(t) на g(t) неравенство (6) остается в силе, а неравенство (5) только усилится. Итак, равенство (7) сохраняется.

Общий вид линейных функционалов в lр. Пусть f(x) — линейный функционал, определенный на lр. Так как элементы e={ƺ_i^(k)} , где ƺ_i^(k)=1 и ƺ_i^(k)= 0 при i≠k, образуют базис в 1p, то любой элемент х 1р можно записать в виде

 

В силу линейности функционала f (x) будем иметь

   

 

Положим f (e_k) = c_k. Тогда числа с_к однозначно определяются функционалом ƒ, и получаем

                     (8)

Выясним свойства чисел c_k. Положим xn = { ƺ_i⁽ⁿ⁾}, где

 

Число q здесь взято так, чтобы выполнялось равенство

Тогда

  

С другой стороны,

 

Таким образом,

 

откуда

   

Это неравенство справедливо  для любого п. Поэтому

Итак,

Обратно, возьмем произвольную последовательность

Тогда

является линейным функционалом в пространстве lр. В самом деле, аддитивность этого функционала очевидна, а ограниченность доказывается с помощью неравенства Гельдера.

Таким образом, формула (8) дает общий вид линейних функционалов в пространстве lр.

Вычислим  норму функционала ƒ. Из формулы (8) с помощью неравенства Гельдера получаем

 

Следовательно,

 

 

Сравнивая (9) и (10), заключаем, что

Следствие. Возьмем пространство i₂. Общий вид линейного функционала, определенного на i₂, будет

 

где

 

и

 

В функциональном анализе, кроме пространства lр, рассматривают еще пространство l , элементами которого являются всевозможные последовательности чисел

              

           

такие, что

причем

Можно доказать, что всякий линейный функционал в пространстве l имеет вид

где {c_k} — ограниченная последовательность вещественных

чисел. Норма функционала  ƒ дается равенством

 

 

Общий вид линейных функционалов в  пространстве Lp [0, 1]. Рассмотрим произвольный линейный функционал ƒ (x) , заданный на Lp [0, 1] (р > 1). Положим

и пусть g(i) = [u_t(ƺ)].

Докажем, что g(t) — абсолютно непрерывная функция. Пусть , i = 1, 2, . . . , п — произвольная система неперекрывающихся интервалов, расположенных на отрезке [0, 1].

 

Имеем

 

 

Из полученного  неравенства следует абсолютная непрерывность функции g{t). Как абсолютно непрерывная функция, g(f) является интегралом Лебега от своей производной.

Положим g'(t) = α (t). Тогда

Ho

 

так как

есть нулевой элемент  пространства Lp[0, 1]. Следовательно

    

Пользуясь функцией , получим

и так как ƒ — линейный функционал, то, полагая

        

получим

   

Пусть х (t) — произвольная ограниченная измеримая функция. Тогда найдется такая последовательность ступенчатых функций {z_m(t)}, что

 

 

почти всюду при m→ . При этом можно считать, что последовательность {z_m(t}) равномерно ограничена.

По теореме  Лебега об интегрировании ограниченной последовательности получаем

Так как, с другой стороны,

z_n(t)→x(t)

 

почти всюду и z_n(t) равномерно ограничены, то

при m→ . Поэтому f (z_m)→ f (х) и, следовательно,

Рассмотрим теперь функцию х_п(t), определенную посредством равенства

 

 

где q— число, сопряженное с р , т, е.

Функция x_n(t) ограничена и измерима. Следовательно,

и

С другой стороны,

Следовательно,

 

Отсюда

 

Но, очевидно,

  

 

при п→ почти всюду на [0, 1], так как a(f) — суммируемая функция и, следовательно, обращается в бесконечность лишь на множестве точек меры нуль. Переходя к пределу при п→ , получаем

или

     

Отсюда следует, что

 

Пусть теперь x (f) — любая функция из Lp[0, 1]. Тогда существует   Далее, найдется последовательность ограниченных функций {x_m(t)} такая, что

 

при m→ . В силу неравенства Гельдера

   

при m→ . Так как x_m(t)—ограниченные измеримые функции, то

 

 

Следовательно,

при m→ . С другой стороны,

 

     f (x_m)→ f (x) .

Но тогда получаем, что

                                                                                 (12)   

 

Итак, всякий функционал, определенный на Lp [0, 1], можно представить с помощью равенства вида (12). Обратно, если β(t) — произвольная функция, принадлежащая Lq[0, 1], то

есть линейный функционал, определенный на Lр [0, 1]. В самом деле, аддитивность функционала очевидна, а ограниченность легко следует из неравенства Гельдера.

Таким образом, формула (12) при произвольной фиксированной функции

a(t) Lq[0, 1] дает общий вид линейного функционала, определенного на Lp[0, 1].

Нетрудно  найти норму этого линейного  функционала. Из (12) имеем

          

Следовательно,

       

Сопоставляя (13) и (11), заключаем, что

Часто рассматривают пространство L[0, 1] функций, суммируемых по Лебегу, в котором

   

Общий вид линейных функционалов, определенных на L [0, 1], дается формулой

где a(t) — почти всюду ограниченная функция и

 

 

Общий вид линейных функционалов в  гильбертовом пространстве. В гильбертовом пространстве Н рассмотрим линейный функционал f (x) . Так как Я — комплексное линейное пространство, естественно предполагать, что f (x) может принимать комплексные значения. При этом комплексный функционал называется линейным, если он аддитивен, однороден и непрерывен (отметим, что для комплексных функционалов эти три условия независимы).

Пусть f(х) — произвольный линейный функционал, определенный в гильбертовом пространстве Н. Обозначим через L множество нулей этого функционала, т. е. совокупность элементов х Н таких, что f (x) = 0. Легко видеть, что L — подпространство. В самом деле, то, что L — линейное многообразие, следует из аддитивности и однородности функционала f (x), а из непрерывности f (х) следует замкнутость L.

Возьмем произвольный элемент пространства W, не принадлежащий L, и обозначим через х₀ проекцию этого элемента на подпространство H — L. Пусть ƒ(x₀)= а, причем, очевидно, а≠0. Положим

 

Тогда

                      ƒ(x₁)=1.

 

Если теперь х — любой элемент пространства Н и ƒ(x)=β, то мы имеем

ƒ (x)-βƒ(x₁)=0

или

  ƒ (x-βx₁)=0

 

откуда х –βx₁= z , где z L, или

  х = βx₁+z.

Это равенство показывает, что пространство Н есть ортогональная сумма подпространства L и одномерного подпространства, порожденного элементом x_1.

Так как, x_{1 ┴} z то мы имеем

          (x, x₁)=β||x₁||²

или, так как β= f (x),

 

Обозначив элемент через u, получаем равенство

 

       ƒ(x)=(x, u)                                                (14)

 

т. е. выражение произвольного  линейного функционала ƒ(х) в виде скалярного произведения элемента х на фиксированный элемент и. Элемент и определяется по функционалу ƒ однозначно, ибо если также

     f (x) = (x, v)

то

   (х, u — v) = 0

для любого х Н, откуда следует, что u = v . Далее из равенства (14) получаем

 

    

откуда следует, что

            ||ƒ|| ≤ ||u||.

Так как, с другой стороны,

       f (u) = (u, и)=||u||²,

то отсюда следует, что ||ƒ|| не может быть меньше, чем ||u||.

Итак, ||ƒ|| = ||u||, и мы получили следующую теорему:

всякий линейный функционал ƒ(x), определенный в гильбертовом пространстве, имеет вид

         f (x) = (x, и),

где элемент и однозначно определяется функционалом ƒ. При этом

         ||ƒ||=||u||                                               (15)

Легко видеть, что и, обратно, при любом и Н соотношение (14) определяет линейный функционал f (х) с нормой (15).

Таким образом, формула (14) дает общий вид линейного функционала в гильбертовом пространстве.

 

 

§ 3. Сопряженные пространства и  сопряженные операторы

Как уже было указано, совокупность всех линейных функционалов ƒ (х), определенных на линейном нормированном пространстве Е, образует банахово пространство Е*, называемое пространством, сопряженным с пространством Е. Пользуясь общим видом линейных функционалов, в некоторых случаях можно указать реализацию пространства Е* с точностью до изоморфизма.

1. Пусть Е=С[0,1]. Рассмотрим множество функций g(t)с ограниченным изменением, определенных на [0, 1] и обращающихся в нуль в точке t=0. Будем считать, что в точках разрыва τ g(τ) = g (τ-0). Очевидно, это множество есть линейное пространство при обычном определении операции сложения двух функций и умножения функции на вещественное число. Введем норму для функций с ограниченным изменением, полагая ||g||= {g}. Нетрудно видеть, что все аксиомы нормы выполняются.

Полученное  линейное нормированное пространство называется пространством V функций с ограниченным изменением.

Рассмотрим, с другой стороны, пространство Е* = С*[0,1] всех линейных функционалов, определенных на С [0,1]. Как доказано выше, каждый линейный функционал ƒ С*[0, 1] определяет однозначно некоторую функцию g (t), g (0) = 0, с ограниченным изменением и, обратно, каждой функции g(t), g (0) = 0, с ограниченным изменением соответствует функционал ƒ С*[0, 1]. Поэтому между множеством всех линейных функционалов из С*[0, 1] и множеством всех элементов пространства функций с ограниченным изменением существует взаимо однозначное соответствие. Так как очевидно, что сумме функционалов ƒ₁+ƒ₂ отвечает сумма g₁+g₂ соответствующих функций и функционалу λƒ соответствует функция λg(t), то соответствие между С*[0, 1] и пространством функций с ограниченным изменением есть изоморфизм. Так как, далее, ||ƒ|| = {g} = ||g||, то это соответствие будет также изометрическим.

С тачки  зрения многих вопросов функционального  анализа эти два пространства неразличимы; поэтому часто говорят, что пространство, сопряженное с пространством непрерывных функций, есть пространство функций с ограниченным изменением.

2. Пусть E =Lp [0, 1]. Рассмотрим, кроме того, пространство Lq[0, 1], где . Так как каждому функционалу ƒ Lp*[0, 1] и однозначно соответствует функция α(t) Lp[0, 1] и обратно», то между пространствами Lр*[0, 1] и Lq[0, 1] устанавливается взаимно однозначное соответствие. Как и раньше, убеждаемся в том, что это соответствие изоморфно и изометрично, т. е. Lp*[0, 1 ] = Lq[0, 1], понимая это равенство с точностью до изометрии и изоморфизма. В частности, при р = 2 имеем L₂*[0,1]=L₂[0,1]. Поэтому пространство L₂[0,1] называется самосопряженным пространством.

3 . Легко  видеть, что  l^*_p = lq И, в частности, l*₂=l₂.  Пространство, сопряженное с линейным нормированным, не обязательно полным пространством, есть банахово, т. е. полное линейное нормированное пространство. Так как Lp [0, 1] есть пространство, сопряженное с Lq[0, 1], , и 1р— сопряженное с lq, то как следствие из 2 и 3 мы получаем новое доказательство полноты пространств Lp [0, 1] и 1р.

4. Линейный  функционал в гильбертовом пространстве порождается элементом того же пространства. Гильбертово пространство является самосопряженным.

По той  же причине и n-мерное евклидово пространство является самосопряженным.

Рефлексивные пространства. Пусть E — линейное нормированное пространство и Е*— сопряженное пространство. Так как Е* также линейное нормированное пространство, то можно построить Е** =(Е*)* и т. д.

Рассмотрим  подробнее Е**. Это — пространство линейных функционалов F, определенных на пространстве E*, элементами которого являются линейные функционалы, определенные на Е. Рассмотрим линейный функционал f(х), определенный на Е. Здесь функционал ƒ фиксирован, а х — переменный элемент из Е.