Элементы функционального анализа

Подойдем  к выражению f (х) с другой точки зрения. Будем считать, что х Е — фиксированный элемент, а ƒ — переменный элемент из Е*. Например, пусть

Фиксируя g(t) и меняя х(t) получаем первый случай; фиксируя х(t) и меняя g(t), получаем второй.

При фиксированном х и переменном ƒ каждому элементу f Е* ставится в соответствие некоторое вещественное число, следовательно, выражение f (х) при фиксированном х и переменном ƒ можно рассматривать как функционал Fx, определенный на пространстве E*. Поэтому можно написать

  

Нетрудно видеть, что Fx— линейный функционал и, следовательно, Fx E*. В самом деле,

и

                         

Отсюда следует, в  частности, что

                                                                  

Так как, далее, по первому  следствию из теоремы Банаха — Хана для каждого х существует линейный функционал ƒ₀ с нормой, равной единице, такой, что ƒ₀(x)=||x||, и для такого функционала

    

или, что все равно,

       

то мы имеем

    

Сравнивая (1) и (2), заключаем, что

                    

Легко также видеть, что

     

и

 

Таким образом, всякому х Е естественным образом ставится в соответствие вполне определенный функционал Fx E**, причем это соответствие между пространством Е и множеством {Fx} E** изоморфно и изометрично (взаимная однозначность соответствия между Е и {Fx} следует из (3)), т. е. Е Е**. В случае, когда при таком соответствии Е = Е**, пространство Е называется рефлексивним.

Сопряженные операторы. Рассмотрим линейный ограниченный оператор

у = Aх, отображающий линейное нормированное пространство Ех в линейное нормированное пространство Еу.

Пусть φ(у)— линейный функционал, определенный на Еу. Тогда φ(у) определен для у=Ах, где х — любой элемент из Ех и мы имеем для у = Ах

                    φ(y)=φ(Ax)=ƒ(x)

где f (x) — функционал, определенный на Ех. Очевидно, что ƒ(х) линеен. Тем самым мы получили, что каждому функционалу φ Еy* ставится в соответствие функционал f Ex*.

Таким образом, построен некоторый оператор, определенный на Ey* с областью значений, расположенной в Ех*. Этот оператор обозначается через А* и называется оператором, сопряженным с оператором А. Равенство φ(y) = ƒ(x)

записывается в виде

   f = A* φ.

Т е о р е м а 1. Оператор A*, сопряженный с линейным ограниченным оператором A, отображающим линейное нормированное пространство Ех в линейное нормированное пространство Еу, есть также линейный ограниченный оператор, и

||A*||=||A||.

Прежде всего очевидно, что оператор А* аддитивен.

Далее,

откуда

       ||A*φ||≤||A||||φ||

Следовательно, А* — ограниченный оператор, причем

||A*||≤||A||.                                        (6)

Пусть x₀— какой-нибудь элемент из Ех. По первому следствию из теоремы Банаха — Хана существует такой функционал φ₀ E* с нормой ||φ₀|| = l , что φ₀(A₀)=||Ax₀||.

Отсюда получаем, что

Следовательно,

                                                    ||A||≤||A*||                                          (7)

Из (6) и (7) следует, что

||A*||=||A||.

и теорема доказана.

Понятие сопряженного оператора можно ввести и в том случае, когда исходный оператор А является линейным неограниченным оператором, определенным на линейном многообразии Lx* всюду плотном в линейном нормированном пространстве

Ех, со значениями в пространстве Еу. Пусть А — такой оператор и φ Еy. Рассмотрим

φ(Ax)=ƒ₀(x),  x L x.

Тогда ƒ₀(x), очевидно, аддитивный и однородный функционал, определенный на Lx. Для произвольного функционала φ из Еу* функционал ƒ₀ не будет вообще ограниченным. Но если для некоторого φ Ey* функционал ƒ₀ ограничен, то его

можно продолжить по непрерывности  до линейного функционала ƒ, определенного на всем Ех.

Мы получаем, таким образом, что на  некотором многообразии Ly Еу определен оператор А*, ставящий в соответствие линейным функционалам φ Ly* линейные функционалы f E x. Этот оператор и называется оператором, сопряженным

с линейным неограниченным оператором А. Нетрудно проверить, что Ly* — линейное многообразие и что А* — линейный оператор на этом многообразии, вообще не ограниченный на нем.

Пример. В пространстве Lq (G), где G — ограниченная измеримая область на плоскости, рассмотрим оператор дифференцирования

определенный на линейном многообразии L₀ Lq (G) l раз непрерывна дифференцируемых функций, обращающихся в нуль в некоторой граничной полосе области G. Многообразие Lq всюду плотно в Lq (G) и оператор А на нем дистрибутивен и не ограничен. Значения оператора будем считать принадлежащими тому же пространству Lq (G).

Пусть для  некоторой функции v (х, у) Lp (G)

имеет место равенство

при любой функции и (х, у) L₀, где w (xt у) Lp.

Функционал

     

как функционал, определенный на L₀ Lq (G), очевидно, дистрибутивен и, кроме того, ограничен, так как

  

и мы можем продолжить его на все Lq (G). Тем самым мы получаем оператор А*,

A* v =w,

сопряженный к оператору А, определенный на некотором множестве функций v (х, у) Lp (G), со значениями в том же пространстве. Вспоминая второе определение обобщенной производной, мы видим, что A*v отличается от обобщенной производной лишь множителем (-1)^l. Таким образом, операцию обобщенного дифференцирования можно рассматривать также как оператор сопряженный к оператору дифференцирования, определенному на множестве l раз непрерывно дифференцируемых функций, обращающихся в нуль в граничной полосе области G.

Матричная форма оператора в  пространстве с базисом. Пусть в банаховом пространстве Е с базисом задан линейный ограниченный оператор А, отображающий Е

в это же пространство.

Возьмем х Е. Тогда

                                                              х = lim x_n

                                                                                             ^п  

где

Следовательно,

     

Так как Ae_i — снова элемент из Е, то он может быть разложен по элементам базиса

      

тогда

Но y E и, следовательно также может быть разложен по элементам базиса

         

Пусть теперь {ƒ_i} — последовательность функционалов, биортогональная к последовательности {e_i}. Тогда из (8) и (9) получаем

 

Равенство (10) показывает, что оператор А однозначно определяется бесконечной матрицей (а_mi) (с помощью этой матрицы по компонентам элемента х однозначно определяются компоненты элемента у = Ах).

Рассмотрим теперь сопряженный оператор A*, отображающий Е* само в себя.

Пусть f = A*φ, т. е. для любого х Е

φ(Ах) = ƒ(х).

Пусть, далее,

                      

и

Имеем

С другой стороны,

Следовательно,

     

Пусть х=e_m,, т. е. ξ_m = 1, ξ_i = 0, для i≠m. Тогда формула (11) дает

   

Полученное равенство  показывает, что матрица, соответствующая сопряженному оператору, является транспонированной матрицей по отношению к матрице, соответствующей исходному оператору. Такое представление операторов и им сопряженных имеет место, например, в пространстве l₂.

Из матричного представления  операторов легко получаем, что

1) (A + B)* = А*+В*,

2) (АВ)* = В*A*,

3) (A^-1)*= (A*)^-1

если A^-1 существует. Впрочем, эти формулы легко установить и без предположения, что пространство обладает базисом.

Скалярное произведение, ортогональные  элементы, биортогональные системы. Пусть х Е и ƒ — линейный функционал на Е, т. е. x Е*. Рассмотрим выражение

              ƒ (x) = (x, ƒ) = (ƒ, x)                         (12)

 

Это выражение при  переменных х и ƒ является билинейным функционалом относительно обеих переменных, т. е. линейным относительно каждого переменного. Этот билинейный функционал для случая, когда Е есть гильбертово пространство

и, значит, Е*=Е, превращается в скалярное произведение элементов х и ƒ. Принято и в общем случае, когда Е*≠Е, называть выражение (12) скалярным (или внутренним) произведением х Е  и ƒ E*.

Элементы х Е и ƒ Е* называются ортогональными, если

    (x, ƒ) = (ƒ, х) = 0.

Т е о  р е м а 2. Пусть λ₀ есть собственное значение линейного оператора A (E→E), x₀ — соответствующий собственный элемент.

Далее, пусть μ₀ — собственное значение сопряженного оператора А*, ƒ₀ — соответствующий собственный элемент. Eсли λ₀≠μ₀, то собственные элементы х₀ и ƒ₀ ортогональны.

Эта теорема  является обобщением теоремы об ортогональности собственных функций союзных интегральных уравнений.

Пользуясь обозначением скалярного произведения, запишем связь между операторами А и А* в виде равенства

         (Ах, ƒ) = (x, A*ƒ),

справедливого при любых х Е , f E*. Имеем по условиям теоремы

           Ах₀ = λ₀х₀,         A*f₀ = μ₀ ƒ_0.

Отсюда и из вышеприведенного равенства получаем

 

или

 

Но по предположению λ₀≠μ₀, следовательно,

         

Как мы уже говорили ранее, последовательности {x_n}, х_n Е и {ƒ_n}, f _n E* называются биортогональными, если

     (x_i, f_j ) = δ_ij                                                         (13)

Тем самым x_i и f_j ортогональны при і≠j.

В самосопряженном  пространстве, например гильбертовом, обе биортогональные последовательности лежат в одном и том же пространстве. Если f_n = х_n п, то биортогональные переходит в обычную ортогональность.

Пусть последовательности {x_n} и {ƒ_n} биортогональны и элемент х представлен в виде ряда

                                                    

Имеем

При n≥ k в силу равенства (13)

 

ибо в этой сумме все  члены обращаются в нуль, кроме члена

   

Отсюда (х, f_k) = ξ_k, и равенство (14) примет вид

Аналогично, если

        

то

           

Ряды (15) и (16) называются рядами Фурье по соответствующим биортогональным последовательностям.

Первые  нетривиальные примеры биортогональных  последовательностей функций были рассмотрены П. JI. Чебышевым и А. А. Марковым в связи с задачами интерполирования.

Покажем, что для любой линейно независимой  системы элементов (x₁,x₂,…,x_n ) E существует биортогональная ей система линейных функционалов (ƒ₁,ƒ₂,…,ƒ_n) Е*.

Пусть L₁=L(x₂, х₃, . . . , х_n)— линейное многообразие, порожденное элементами х₂, х₃,…,х_п. Так как х₁ лежит на расстоянии d > 0 от L₁ (в силу линейной независимости элементов x₁,х ₂,…,х_п и замкнутости L₁), то существует линейный функционал ƒ₁(х) такой, что f₁(x) = 0 на L₁ в частности на элементах х₂, х₃,...,х_п, и f₁(x₁)=1.

Повторяя  эту операцию для многообразия

       L₂=L(x₁, х₂, . . . , х_n)

и элемента х₂ и т. д., получим требуемую систему функционалов.

Пусть, наоборот, дана система {f₁,ƒ₂,…,ƒ_n} Е* линейно независимых линейных функционалов, т. е. таких, что из

для произвольных х Е следует λ₁=λ₂=…=λ_n=0. Тогда существует система элементов {x₁, х₂, . . . , х_n} Е, биортогональная этой системе функционалов.

Пусть сперва п = 1. Так как ƒ₁(x)=0, то существует элемент x₀ такой, что ƒ₁(x)=α≠0. Тогда элемент обладает требуемым свойством.

Предположим, что утверждение доказано для п-1 линейно независимых функционалов. Докажем его для случая п функционалов. Пусть {х₂, х₃,...,х_п} — система элементов, биортогональная функционалам ƒ₂,ƒ₃,…,ƒ_n. Обозначим через М₁ линейное многообразие, определяемое системой уравнений

     

Для любого х Е элемент

  

принадлежит этому многообразию. В М₁ существует элемент х₀ такой, что ƒ₁(x)=α≠0. В противном случае f₁ (и) равнялось бы нулю для всех u:

      

или

      

для любого х Е. Это означало бы, что ƒ₁ есть линейная комбинация функционалов ƒ₂,ƒ₃,…,ƒ_n, что невозможно по условию.

Итак, существует элемент х₀ такой, что

Полагая получаем первый элемент биортогональной системы.

Повторяя  то же рассуждение для многообразия

     

и функционала ƒ₂, получим элемент х₂ и т. д.

Сопряженное пространство к линейному  комплексному пространству. Все понятия, введенные в этом параграфе, переносятся и на комплексные линейные пространства Е. Сопряженным пространством Е* мы назовем совокупность

линейных комплексных функционалов на Е.

Скалярным произведением (x, ƒ) , где х Е, ƒ E*, будем называть по-прежнему число ƒ(x) . Для того чтобы сохранить при этом свойства внутреннего произведения в комплексном гильбертовом пространстве, следует считать (x, ƒ) линейным функционалом относительно х и сопряженно-линейным относительно ƒ:

    (х, λ f ) = λ(x, ƒ ) .

Тем самым определяется умножение на комплексное число λ в Е*: λf есть такой линейный функционал φ на Е, что

                                                        φ(х) = λƒ(х).

Понятие сопряженного оператора А* к оператору А из (E→E) переносится и на случай комплексных пространств: А* есть оператор из (E*→E*) такой, что

              (Ах, ƒ) = (x, А*ƒ)

при любых х Е и ƒ Е*.

Все свойства сопряженных операторов переносятся  непосредственно на комплексный . случай с одним изменением: теорема об ортогональности собственных элементов x₀ и ƒ₀ операторов А и А*, где

имеет место, если

 

 

§ 4. Слабая сходимость последовательностей функционалов и элементов

Пусть Е — линейное нормированное пространство. Последовательность {f_n} линейных функционалов из Е* называется слабо сходящейся к линейному функционалу ƒ₀ E* , если f_n(x) →ƒ₀(х) для любого х Е. Таким образом, для линейных функционалов понятие слабой сходимости совпадает с понятием точечной сходимости операторов.