Элементы функционального анализа

В терминах слабой сходимости теоремы 1 и 2 из начала этой главы могут быть сформулированы так:

Т е о  р е м а 1. Последовательность линейных функционалов {ƒ_n}, слабо сходящаяся в себе, слабо сходится к некоторому линейному функционалу {ƒ₀}.

Т е о  р е м а 2. Для того чтобы последовательность {ƒ_n} линейных функционалов слабо сходилась к линейному функционалу / 0, необходимо и достаточно, чтобы

1) последовательность {||ƒ_n||} была ограничена;

2) f_n(x)→f₀(x) любого х из некоторого множества М, линейные комбинации элементов которого лежат всюду плотно в Е.

Отметим еще, что из теоремы 1 вытекает слабая полнота пространства Е*, сопряженного к банахову пространству Е.

Слабая сходимость элементов пространства. Введем теперь понятие о слабой сходимости элементов линейного нормированного пространства.

Пусть Е - линейное нормированное пространство, {x_n} — последовательность элементов из Е и x₀— элемент того же пространства. Если для любого линейного функционала ƒ E* будет ƒ(x_n)→ƒ(x₀) при n→ , то говорят, что последовательность {x_n} слабо сходится к элементу х₀, и пишут

                    .

Говорят также, что x₀ есть слабый предел последовательности элементов {x_n}.

Покажем, что одна и та же последовательность не может слабо сходиться к двум разным пределам.

Допустим, что и т. е. для любого линейного функционала ƒ E*

Следовательно, ƒ(x₀)=ƒ(ξ₀) или

ƒ(x₀-ξ₀)=0,

откуда следует, что, x₀=ξ₀.

Легко видеть, что если , то и любая под последовательность {x_nk} слабо сходится к x₀. Сходимость по норме в данном пространстве будем теперь называть сильной сходимостью.

Очевидно, что из сильной сходимости последовательности {x_n} к элементу x₀ следует слабая сходимость этой последовательности к тому же элементу. Обратное утверждение неверно. Последовательность может слабо сходиться к некоторому элементу, но не сходится к нему сильно. Например, рассмотрим в L₂[0, 1] последовательность элементов {sin nπt}. Вводя обозначение x_n(t) = sin nπt, имеем для любого линейного функционала

   

где α (t) — функция с суммируемым квадратом, однозначно определяемая по функционалу ƒ. Очевидно, ƒ(x_n) есть n-й коэффициент Фурье функции α(t) по системе {sin nπt}. Следовательно,  ƒ(x_n)→0 при n→ . Отсюда вытекает, что

  при n→ . С другой стороны, легко видеть, что {x_n} не сходится сильно. В самом деле.

  

Однако имеет место

Т е о  р е м а 4. В конечномерном пространстве сильная сходимость совпадает со слабой. Достаточно доказать, что в конечномерном пространстве из слабой сходимости последовательности к некоторому элементу вытекает сильная сходимость ее к тому же элементу. Пусть Е — конечномерное пространство и пусть дана последовательность {x_n}, Так как Е конечномерно, то существует конечная система линейно независимых элементов e₁,e₂,…,e_k такая, что всякий элемент х Е может быть представлен в виде где ξ_i— вещественные числа. Пусть

    

Рассмотрим  функционал ƒ_i Е* такой, что ƒ_i (e_i) = 1, ƒ_i (e_i) = 0 для i≠j. Имеем

   

Но так как ƒ(x_n) →ƒ(x₀) для любого линейного функционала ƒ, то и ƒ_i (x_n)→ƒ_i (x₀), т. е.

  

 Но в конечномерном пространстве покоординатная сходимость влечет за собой сходимость по норме. Следовательно, x_n→x₀ сильно. Существуют и бесконечномерные пространства, в которых сильная и слабая сходимости совпадают. Таково, например, пространство l последовательностей {ξ₁,ξ₂,…,ξ_n,…} таких, что ряд    сходится.

Т е о  р е м а 5. Если последовательность {x_n} слабо сходится к x₀, то существует последовательность линейных комбинаций , сильно сходящаяся к х₀.

Иными словами, х₀ принадлежит замкнутому линейному многообразию, порожденному элементами x₁, x₂, …, x_n,…

Предположим противное, т. е. что не принадлежит замкнутому линейному многообразию L, порожденному элементами x₁, x₂, …, x_n,…Тогда по второму следствию из теоремы Банаха — Хана существует линейный функционал ƒ E* такой, что ƒ(x₀)=1, ƒ(x_n)=0 для n= 1, 2,…Но это означает, что противоречит условию

Т е о  р е м а 6. Пусть А — линейный ограниченный oneратор, определенный на линейном нормированном пространстве Ех, с областью значений, расположенной в линейном нормированном пространстве Еу.

Если последовательность {x_n} Ex  слабо сходится к х₀ Ех, то последовательность

              {Ax_n} Ey

слабо сходится к

                Ах₀ Еу.

Возьмем любой функционал φ Е*. Тогда

       

где ƒ Ex*. Аналогично

      

Так как то

        

т. е.

  

Поскольку ф — произвольный функционал из Еу*, то

        

Таким образом, всякий линейный ограниченный оператор является не только сильно, но и слабо непрерывным.

Т е о  р е м а 7. Если последовательность {х_п} слабо сходится к х₀, то нормы элементов этой последовательности ограничены.

Будем рассматривать  элементы х_n, n= 1, 2,…, как элементы пространства Е**. Тогда слабая сходимость последовательности {x_n} к элементу х₀ означает, что последовательность функционалов {х_n} Е** сходится к функционалу для всех элементов x₀ E*. Но тогда в силу теоремы Банаха — Штейнхауса последовательность норм {||x_n||} ограничена, что и требовалось доказать.

З а м е ч а н и е . Если х₀ есть слабый предел последовательности {x_n}, то

                     

причем существование конечного  нижнего предела вытекает из предыдущей теоремы.

В самом  деле, допустим, что

                    

Тогда существует число  с такое, что

                  

Следовательно, найдется такая последовательность {x_ni}, что

                   

Построим линейный функционал ƒ₀ такой, что ||ƒ₀||= 1 ,

                 

Тогда

                  

для всех i. Следовательно,

что противоречит условию, что 

Возможны  случаи, когда осуществляется строгое  неравенство

         

как это видно из следующего примера.

В пространстве L₂[0, 1] рассмотрим функции

                             

Имеем ||x_n|| = 1, так что и

                                              

С другой стороны, для любого линейного функционала ƒ получаем

      

где с_n — коэффициенты Фурье функции а(t) L₂[0,1]. Таким образом, ƒ(х_n)→ 0 при n→ для любого линейного функционала ƒ, т. е. Следовательно, x₀ = 0 и

Т е о  р е м а 8. Для того чтобы последовательность {x_n} слабо сходилась к х₀, необходимо и достаточно, чтобы

1. последовательность {||x_n||} была ограничена;
2. для любого ƒ из некоторого множества Г линейных функционалов, линейные комбинации элементов которого лежат всюду плотно в Е*.

Чтобы убедиться  в этом, следует только заметить, что слабая сходимость последовательности {x_n} E к элементу x₀ E очевидно, равносильна слабой сходимости этой же последовательности, но рассматриваемой как последовательность линейных функционалов, определенных на E*, к x₀, также рассматриваемому как линейный функционал на Е*.

Слабая сходимость в конкретных пространствах.

Слабая сходимость в lq.

Т е о  р е м а 9. Для того чтобы последовательность {х_п} элементов из 1р слабо сходилась к необходимо и достаточно, чтобы

1) последовательность {||x_n||} была ограничена;

2) при n→ для всех і (вообще говоря, неравномерно).

Для доказательства заметим, что линейные комбинации элементов ƒ={0, 0,…, 1, 0, …}, i=1, 2,…, лежат всюду плотно в lq = lp*. Поэтому в силу общего критерия,

для того чтобы необходимо и достаточно, чтобы выполнялось первое условие и чтобы

     

для любого l.

Можно сказать, таким образом, что слабая сходимость в 1р означает сходимость по координатам и соединении с ограниченностью норм.

Слабая сходимость в Lp.

Т е о  р е м а 10. Для того чтобы последовательность {x_n(t)} Lp[0,1] слабо сходилась к элементу x₀(t) Lp[0, 1], необходимо и достаточно, чтобы

1. последовательность {||x_n ||} была ограничена;

Первое  условие совпадает с первым условием общего критерия. Рассмотрим второе условие. Положим

              

Тогда линейные комбинации функций α_τ(t), т. е. суммы

       

где 0 = τ₀ < τ₁ < . . . < τ_n-1<τ_n = 1, лежат всюду плотно

в Lq [0, l] = Lp* [0, l]. Следовательно, чтобы

 

необходимо и достаточно, чтобы выполнялось первое условие и чтобы при n→

         

или

        

для любого τ [0, 1].

Слабая сходимость в гильбертовом пространстве. Так как в гильбертовом пространстве H всякий линейный функционал ƒ (х) есть скалярное произведение, то в этом пространстве означает, что для любого у H

                                (x_n, y)→(x, y)

Ранее мы видели, что если х_n→х₀, у_n →у₀, то (x_n, y_n )→(x₀, y₀), т.е - скалярное произведение непрерывно по совокупности обоих аргументов относительно сильной сходимости. Если же то вообще (х_n, у_n) (х₀, у₀). Так, например, если

x_n = y_n = e_n

где {е_n} — произвольная ортонормальная последовательность,

то а

  

Однако если . то (x_n, y_n)→( х₀, у₀).

В самом деле, в этом случае нормы ||y_n|| ограничены в совокупности.

Пусть

 

Имеем

  

и оба слагаемые справа стремятся к нулю. Наконец, отметим, что если и ||х_n||→||х₀||, то х_n→х₀, так как

 

 

 

и все слагаемые справа снова стремятся к нулю.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

 

1. Л.А. Люстерник, В.И. Соболев  Элементы функционального анализа. 1965г.