Контрольная работа по "Геометрии"

   Ему, как частному случаю, присущи все общие закономерности центрального и параллельного проецирования, в частности, и то, что оно не является взаимооднозначным. Но при этом виде проецирования вопрос о взаимной однозначности нельзя решать заданием второго центра проецирования (конечного или бесконечно удалённого), так как направление в принятом методе обусловлено одно – перпендикулярное к плоскости проекций. Как быть? А если взять не одну, а две плоскости проекции и ортогонально к ним спроецировать точку? Мы имеем две, единственным образом полученные проекции. По этим проекциям можно решить обратную задачу – восстановить положение точки в пространстве. Именно этот принцип отображения встречается в самых древних изображениях, созданных человеком: в наскальных рисунках, нанесённых краской или резцом на каменной стене или на планах египетских сооружений.

   Почему  избран именно этот способ? Вероятно, в силу ряда удобных свойств ортогонального проецирования, понятых ещё древним человеком на основе практического опыта, накопленного веками. Каких свойств? О них речь впереди. А пока остановимся и поразмыслим о нашем прямоугольном мире…

В наших комнатах стены и пол взаимно перпендикулярны, перпендикулярны  к полу ножки столов и стульев. Если выйдем на улицу, то увидим, что современные дома стоят под прямым углом,  выстроились вдоль дорог перпендикуляры уличных фонарей. Но, может это лишь предметы урбанизации?

   Выберемся за город, в сосновый лес, на берег тихого озера. Капли в безветренную погоду падают тяжело и отвесно ей землю. Отвесно к земле падают шишки с сосен, а сами деревья тянуться к солнцу, как по отвесу столяра. Стоп!

   А может  быть, мы уже и ответили на  вопрос – почему наш мир столь прямоуголен? Недаром в описаниях невольно столько раз возникло слово «отвесно». Сила гравитации – могучая невидимка, властно притягивающая к Земле всё земное, - возможно, именно это первая причина понятия перпендикулярности.

   Увидеть, понять, сделать, вот ступень творческой деятельности человека. Многое «подсмотрел» человек у природы. Увидел он и прямой угол между поверхностью земли и перпендикулярно падающей каплей. Очень давно научилось человечество воспроизводить прямой угол. Прямым углом оперировали ещё греческие геометры. Изображение  прямоугольно трапеции встречается в первом дошедшем до нас египетском математическом трактате – папирусе, написанном учёным писарем Ахмесом, жившим во времена фараона Рауса в XVII в. до н. э. Изображения на две взаимно перпендикулярные плоскости проекций мы встречаем уже в конце I в. до н. э. в капитальном труде «10 книг по архитектуре» римского военного инженера и архитектора Марка Поллиона Витрувия. Он назвал их так: «ихрография» или «следоописание» («ихнос» - след) – ортогональная проекция на горизонтальную плоскость; «ортография» («ортос» - прямой) – ортогональная поверхность на вертикальную плоскость. Причём важно, что оба эти изображения были даны им, как мы бы сказали теперь, в проекционной связи.

   Вот они, начала начертательное геометрии, той её ветви, которая называется начертательной геометрией в ортогональных проекциях. Возможно, что уже тогда, на стыке тысячелетий, стала бы и дальше развиваться эта наука, если бы не многовековой перерыв в развитии цивилизации, когда волны кочевников – завоевателей захлестнули античный мир и когда лишь со второго тысячелетия нашей эры начали возрождаться искусство, наука, техника.

   Но древнее  искусство отображения мира не  угасло. Оно было необходимо живописцам, мореплавателям, строителям, каменотёсам. Там, где требовалась передача эмоциональной стороны зрительного образа, применялась перспектива, т. е. не что иное, как центральная проекция на плоскость. Там, где более важна была задача точного измерения по чертежу расстояний и углов, интуитивно использовались законы ортогонального проецирования – иногда на горизонтальную, иногда на фронтальную плоскость, в зависимости от того, какую сторону предмета важнее было отобразить. Иногда применялось проецирование на две взаимно перпендикулярные плоскости, как, например, у французского архитектора Фрезье. В его обширном и прекрасно иллюстрированном трактате «Теория и практика разрезки камней», изданном в Страсбурге в 1738г., много примеров построения таких проекций.

  Казалось  бы, что ещё? Вот и вся наука.  Смотри на пример и делай  так же. Но наука – это не  свод рецептов, не набор примеров. Сумма знаний в некоторой области  становится наукой, когда вырабатываются  определённые правила, теоретический  фундамент, объясняющий известные факторы и позволяющий предвидеть ещё непознанные.

   С каких  же пор начертательная геометрия  числится, как наука в мировой  истории наук?

   Официальная  дата её рождения – 1795 год.

   Место  рождения – г.Париж.

   Отец  – французский учёный Гаспар Монж.

В чём же заслуга  Гаспара Монжа? В чём суть его  подхода к теории отображения на две взаимно перпендикулярные плоскости проекций?

   Гениальное  всегда просто!

   Это сейчас  нам кажется, что совершенно  естественно изображение Земли  в виде глобуса, что не могло быть другим представление о строении Солнечной системы, что именно такой, как периодическая, и могла быть таблица системы элементов.

   Но за  каждой из таких ясных и  прозрачных решений стояли долгие  годы наблюдений и раздумий.

   Интересно  было бы проследить за ходом  мыслей Монжа, подтверждающих  рациональность отображения, благо  он оставил нам следы раздумий  на страницах книги «Начертательная   геометрия», опубликованной в Париже  в 1799 г. Это был первый учебник  новой науки.

   Точка трёхмерного пространства, рассуждал Монж, задаётся тремя числами, тремя координатами. Каждое из этих трёх чисел может быть рассмотрено как расстояние от какой-либо опоры. Чисел – три, значит, и система опор должна содержать три элемента. Монж последовательно рассматривает три системы, состоящие из трёх точек, трёх прямых и трёх плоскостей.

   Пусть даны три фиксированные точки А, В, С и три числа – координаты x, y, z искомые точки. Если точка находится на некотором расстоянии от первой точки А, то, следовательно, она находится на поверхности сферы, центром которой является точка А, а радиусом – заданное расстояние х (рис. 10). Если, кроме того, искомая точка находится на расстоянии у от точки В, то множество таких точек будет сфера с центром В и радиусом у. Следовательно, точка принадлежит линии пересе -                    Рис.10

чения двух сфер, т. е. окружности. Вводя таким же образом  третью сферу с центром С и радиусом z, Монж приходит к определению точек пересечения полученной окружности с третьей сферой. Таких точек в общем случае будет две. Поэтому для однозначного задания точки потребуются некоторые дополнительные условия.

   А если взять  в качестве элементов такой  опорной системы отсчёта три  прямые а, b и c? Тогда искомая точка будет лежать на пресечении трёх круговых цилиндрических поверхностей, осями которых будут прямые а, b и c, а радиусы равны соответственно трём заданным расстояниям  x, y, z (рис.11). Два цилиндра

          Рис.11          пересекаются по линии двоякой кривизны, а третий

цилиндр в   пересечении с нею в общем  случае даёт восемь точек. Искомая точка может быть одной из восьми. Следовательно, для точного её определения в пространстве нужно положить какие-либо дополнительные условия, что также неудобно.

   Далее Монж переходит к рассмотрению трёх опорных плоскостей (рис.12). Множеством точек, удалённых от плоскости на заданное расстояние, как известно, является параллельная ей плоскость (вернее, с учётом знака – две плоскости). Искомая точка однозначно  (с учётом знака коорди -                       Рис.12

наты) определяется  как точка пересечения трёх вспомогательных  плоскостей. Таким образом, рассуждения  подводят нас к выводу, что три  плоскости – наиболее простой  вид задания опорных элементов.

   Тем более,  что этим способом, напоминает Монж, пользуются при применении алгебры и геометрии.

   Поясним  эту идею Монжа, пользуясь уже  нашими современными обозначениями.  Кстати, три предыдущих рисунка  – это лишь реконструкция текста  по Гаспару. В его книге,  несмотря на то, что она была задумана как популяризация языка чертежа и его грамматики, очень мало чертежей.

   За три  опорных элемента отсчёта примем  три плоскости (рис.13):

Рис.13

   π1 – горизонтальную плоскость проекций;

   π2 – фронтальную плоскость проекций;

   π3 – профильную плоскость проекций;

   x, y, z – оси проекций;

   О – начало координат.

   Точка в пространстве  определяется тремя числами, тремя  координатами, тремя расстояниями  до названных плоскостей:

   х –расстояние до плоскости π3: х=׀А, π3׀;

   у –расстояние до плоскости π2: у=׀А, π2׀;

   z –расстояние до плоскости π1: z=׀А, π1׀.

   Спроецируем ортогонально точку на эти взаимно перпендикулярные плоскости. Обозначим:

   А’ – горизонтальная проекция точки;

   А” – фронтальная проекция;

   А”’ – профильная проекция.

   Проведём  перпендикуляры из точек А’, А”, А”’ к осям проекций. Опустим элементарное доказательство того, что образовавшийся параллелепипед будет прямоугольным. Скажем, как древние индийские  математики: «Смотри!»

   А теперь  возьмём ножницы, разрежем трёхгранник  плоскостей по оси у и отогнём плоскость π3 вправо, а плоскость π1 – вниз до общей плоскости чертежа (рис.13,б).

   Из чертежа  видно, что:

   А’ и А” лежат на одном перпендикуляре (одной линии связи) к оси х;

   А” и А”’ лежат на одном перпендикуляре (одной линии связи) к оси z;

   А’ и А”’ лежат на одном перпендикуляре (одной линии связи) к оси у.

   Правда, в последнем случае линия связи как бы распадается на два отрезка, так как на два луча распалась, «раздвоилась» и сама ось у.

   Посмотрим,  не потеряли ли мы информацию о положении точки в пространстве, можно ли по чертежу определить её координаты x, y, z? Нет, в какой бы комбинации мы ни взяли попарно эти проекции, там будут присутствовать все три координаты.

   Следовательно,  для однозначного определения  точки в пространстве необходимо и достаточно на чертеже задать какие-либо две её проекции (т. е. эпюр Монжа).

Проецирование точки, прямой, плоскости и основные теоремы.

 

Кто совсем свободно знает

                                                                                прямую и плоскость, тот

                                                                                 не встретит затруднений

                                                                                  в начертательной геомет-

                                             рии.

Г. Монж

   Главное  – проецирование точки, этого  атома в мире фигут, этого  кирпичика в здании геометрии. 

   На рис.14, а показаны различные взаимные положения точек А, В, С, D относительно плоскостей проекций π1 и π2.

                                                          Рис.14

  На рис.14,б даны горизонтальные и фронтальные проекции этих точек. Приведённые чертежи служат, согласно школьной терминологии, своеобразной «таблицей умножения» для проецирования точек. Это основа. А теперь, пользуясь этой основой, покажем изображение на чертеже прямой и плоскости.

   Поскольку,  согласно законам стереометрии, прямая в пространстве может  быть определена двумя нетождественными  точками, то на чертеже она  может быть задана проекциями этих точек. Но чаще, согласно свойству проецирования прямой, её задают проекциями:  а’ – горизонтальной и а” – фронтальной (рис.15). Прямую а назвают прямой общего положения. Она произвольно расположена по отношению к плоскостям проекций. Если продолжить прямую до пересечения с плоскостями проекций, то получим две точки частного положени на прямой – её следы:

  На – горизонтальный след прмой;

  Fа – фронтальный след прямой.

 Прямые h и f (рис.16) – прямые    частного положения. Они параллельны

                          Рис.15                  соответственно   горизонтальной    и фронтальной плоскостям проекции. Ввиду особой важности этих прямых за ними закреплены    имена    собственные: h называют горизонталью, f – фронталью.

                          Рис.16                         Умея  задавать на чертеже точки и прямую, мы без труда перейдём к заданию плоскости.

   Известно, что в пространстве плоскости днозначно определется тремя различными не принадлежащими доной прмой точками. Поэтому на чертеже она может быть задана либо проекцими этих точек, либо точкой и прямой, проходщей через две другие точки, либо двумя параллельными или пресекающимися прямыми. В частности, эти пересекающиеся прямые могут быть горизонталью и фронталью. Ещё в более частном случае эти горизонталь и фронталь могут лежать в плоскостях проекций, т. е. являться следами плоскости.

   На рис.17 показана  плоскость общего положения α. Эта плоскость произвольно расположена по отношению к плоскостям проекций.