Контрольная работа по "Эконометрике"

 

0,435

4,3

-11,724

   

Уравнение с переменной z: y=-11,724+4,3*z

После обратной замены получим  уравнение:  y=-11,724+4,3*

Для нелинейной регрессии  индекс детерминации (R²) рассчитывается по следующей формуле:

 

(7)

 

Значения , рассчитаны в таблице 5

Таблица 5 – Расчетные величины

№	yi	xi					(yi- )2
1	22,5	46	17,44002	5,059981	0,224888	25,60341	10,40
2	25,5	54	19,87442	5,625582	0,220611	31,64718	38,75
3	19,2	50,2	18,74234	0,457658	0,023836	0,209451	0,01
4	13,6	43,8	16,73407	3,134074	0,230447	9,822423	184,96
5	25,4	78,6	26,39836	0,998356	0,039305	0,996714	37,52
6	17,8	60,2	21,63912	3,839123	0,215681	14,73887	2,18
7	18	50,2	18,74234	0,742342	0,041241	0,551072	1,63
8	21,0	54,7	20,07856	0,921437	0,043878	0,849047	2,98
9	16,5	42,8	16,40733	0,092665	0,005616	0,008587	7,70
10	23	60,4	21,6945	1,305502	0,056761	1,704336	13,88
11	14,6	47,2	17,81797	3,21797	0,220409	10,35533	21,86
12	14,2	40,6	15,6748	1,474796	0,103859	2,175022	25,76
Σ	231,3	628,7	231,2438	26,86949	1,426533	98,66144	347,60

 

R²=1-

=0,716

Полученное значение коэффициента детерминации означает, что парная  регрессия вида y=-11,724+4,3* объясняет  71,6 % общей вариации результативного признака, остальные 28,4%  вариации результативного признака объясняются изменением факторов, не включенных в модель.

Определим индекс корреляции (R) :

 

Значение коэффициента корреляции близко к единице - связь между признаками прослеживается хорошо.

Далее рассчитаем значение среднего коэффициента эластичности.

Для уравнения  регрессии  y=-11,724+4,3*

 

В модели парной регрессии y=-11,724+4,3* при изменении среднего значения заработной платы и социальных выплат на 1% уровень  потребительских расходов в среднем по совокупности изменится на 0,807 % от своего среднего значения.

Значение  ,  необходимое для определения средней ошибки аппроксимации рассчитаны в таблице 5.

Средняя ошибка аппроксимации  для парной регрессии y=-11,724+4,3* :

 

=1,426533*100/12=11,887 %

То есть, в среднем расчетные  значения, полученные с помощью уравнения  парной  регрессии  y=-11,724+4,3* , отличаются от фактических значений на 11,887 %.  Значение средней ошибки аппроксимации вышло за пределы допустимых значений (8%-10%), что говорит о неудачном выборе модели регрессии.

 

    Рассчитаем значение F-критерия Фишера

n-объем выборки;

m-количество оцениваемых  параметров в уравнении регрессии.

Расчетное значение F сопоставляется с табличным (критическим) значением, определяемым для числа степеней свободы v₁=m-1 и v₂=n-m и заданного уровня значимости α.

Критическое значение F-критерия при α=0,01; v₁=2-1=1; v₂=12-2=10 равно 10,04. Так как F_фактF_крит, то гипотеза H₀ о статистической незначимости уравнения регрессии y=-11,724+4,3* отклоняется.

Значение факторного признака при его увеличении на 5% от исходного среднего уровня:

Х_п=

*1.05=52,391*1.05=55,01 м²

Прогнозное значение результативного  признака (Y_п) определяется путем подстановки в соответствующее уравнение регрессии прогнозного значения факторного признака (Х_п):

Y_п= y= y=-11,724+4,3*

=20,168 тыс.у.е.

 

 

При n=12 и m=2 число степеней свободы v=n-m=12-2=10. При уровне значимости α=0.01  и v=10 коэффициент доверия   t=3,169. Предельная ошибка прогноза, которая не будет превышена в 99 % случаев составит:

Dγ_Yп =3,277*3,169=10,387

Доверительный интервал прогноза, полученного на основе парной  регрессии y=-11,724+4,3* :

              γ_Yп=55,01±10,387

             γ _Yп(min)=55.01-10,387=44,623

              γ _Yп(max)=55.01+10,387=65,397

              D=γ_Yп(max)/γ_Yп(min)=65.397/44.623=1,465

Рассчитанный прогноз  уровня потребительских расходов является надежным, но не достаточно точным, потому что верхняя граница доверительного интервала прогноза больше его нижней границы в 1.465 раза.

  На основе проведенных  расчетов можно сделать следующие  выводы.

  Оба уравнения регрессии  характеризуются очень низким  значением коэффициента детерминации  и коэффициента корреляции. Это  свидетельствует о том, что  модель построена на основе  фактора, не имеющей существенной  связи с результативным признаком.

    Оба уравнения  регрессии характеризуются значительной  величиной средней ошибки аппроксимации,  что свидетельствует о недостаточной  точности рассчитываемых теоретических  значений результативного признака.

  Критическое значение F-критерия Фишера меньше величин его фактических значений для обеих моделей, следовательно, обе являются статистически значимыми. Таким образом, моделями регрессии можно воспользоваться для практических расчетов.

 

 

 

 

Задание №2.

Дано:  Имеются данные о деятельности 5 крупнейших компаний в течение 12 месяцев 199X года. Известны – чистый доход (y), оборот капитала (х1), использованный капитал (х2) в млрд. у.е.; данные сведены в таблицу 6.

Задание:

1. Рассчитать параметры линейного уравнения множественной регрессии

2. Дать  оценку  силы  связи факторов  с результатом с помощью средних коэффициентов эластичности

3. Оценить статистическую значимость параметров и уравнения регрессии в целом с помощью соответственно критериев Стьюдента и Фишера (α=0,01)

4. Рассчитать среднюю ошибку аппроксимации. Сделать вывод

5. Рассчитать матрицы парных и частных коэффициентов корреляции и отберите информативные факторы

 

Таблица 6 – Исходные данные

y	X1	Х2
3,6	16,2	13,3
1,5	5,9	5,9
5,5	53,1	27,1
2,4	18,8	11,2
3,0	35,3	16,4
4,2	71,9	32,5
2,7	93,6	25,4
1,6	10	6,4
2,4	31,5	12,5
3,3	36,7	14,3
1,8	13,8	6,5
2,4	64,8	22,7

 

Решение:

1. Для решения необходимо  рассмотреть уравнение вида:

 

Y=a+b₁x₁+b₂x₂+ε                                               (8)

Параметры уравнения можно  найти из решения системы уравнений:

 

                                 (9)

 

Или то же выражение в  стандартизированном масштабе:

 

                                        (10)

где  ; – стандартизированные переменные;

- стандартизированные коэффициенты.

 

                                      (11)

Коэффициенты  определяются из системы уравнений:

 

                                      (12)

 

Отсюда получается:

 

                                     (13)

 

                                     (14)

 

                                       (15)

 

                                        (16)

Числовые значений для  расчетов определяются при помощи МS Excel и сведены в таблицу 7.

Таблица 7 – Расчетные  значения

y	X1	X2	Yx1	Yx2	X1x2	X12	X22	Y2	N
3,60	16,20	13,30	58,32	47,88	215,46	262,44	176,89	12,96	1
1,50	5,90	5,90	8,85	8,85	34,81	34,81	34,81	2,25	2
5,50	53,10	27,10	292,05	149,05	1439,01	2819,61	734,41	30,25	3
2,40	18,80	11,20	45,12	26,88	210,56	353,44	125,44	5,76	4
3,00	35,30	16,40	105,90	49,20	578,92	1246,09	268,96	9,00	5
4,20	71,90	32,50	301,98	136,50	2336,75	5169,61	1056,25	17,64	6
2,70	93,60	25,40	252,72	68,58	2377,44	8760,96	645,16	7,29	7
1,60	10,00	6,40	16,00	10,24	64,00	100,00	40,96	2,56	8
2,40	31,50	12,50	75,60	30,00	393,75	992,25	156,25	5,76	9
3,30	36,70	14,30	121,11	47,19	524,81	1346,89	204,49	10,89	10
1,80	13,80	6,50	24,84	11,70	89,70	190,44	42,25	3,24	11
2,40	64,80	22,70	155,52	54,48	1470,96	4199,04	515,29	5,76	12
34,40	451,60	194,20	1458,01	640,55	9736,17	25475,58	4001,16	113,36	Σ
2,87	37,63	16,18	121,50	53,38	811,35	2122,97	333,43	9,45	cpeд
1,10	26,59	8,46							σ
1,21	706,95	71,63							σ2

 

При подстановке числовых значений получается:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Отсюда получается:

 

Стандартизированная форма  уравнения регрессии имеет вид:

 

Естественная форма уравнения  регрессии имеет вид:

 

2. Определение коэффициентов эластичности производится следующим образом:

 

                                                 (17)

 

Величина средней эластичности говорит  о том, что при увеличении оборота капитала х₁ на 1 % доход y снижается на 0, 598 %.

При повышении использованного  капитала х₂ на 1 % доход y увеличивается на 0, 405 %.

3. Оценка статистической значимости параметров и регрессии в целом

    Рассчитаем значение F-критерия Фишера по формуле:

 

,                                            (18)

где n-объем выборки;

m-количество оцениваемых  параметров в уравнении регрессии.

 

1,218

Расчетное значение F сопоставляется с табличным (критическим) значением, определяемым для числа степеней свободы v₁=m-1 и v₂=n-m и заданного уровня значимости α.

Критическое значение F-критерия при α=0,01; v₁=3-1=2; v₂=12-3=9 равно 8,02. Так как F_факт1<F_крит и F_факт2<F_крит, то принимается гипотеза H0 о статистической незначимости уравнения парной линейной регрессии (это означает, что оценки параметров а и b сформировались под воздействием  случайных факторов).

 

Х_п1= *1.05=37,63*1,05=39,511 , Х_п1= *1.05=16,18*1,05=16,989 - значение факторного признака при его увеличении на 5% от исходного среднего уровня.

Прогнозное значение результативного  признака (Y_п) определяется путем подстановки в соответствующее уравнение регрессии прогнозного значения факторного признака (Х_п).

 

 

Затем вычисляется средняя  стандартная ошибка прогноза (m_Yп):