Контрольная работа по "Эконометрике"

yle="text-align:right">                                         ₍₁₉₎

где _.

 

Предельная ошибка прогноза (∆_Yп):

 

∆_Yп=t_табл(α,v)*m_Yп

Доверительный интервал прогноза (γ_Yп):

γ_Yп=Y_п±∆_Yп

γ_Yп=Y_п-∆_п

_Yп=Y_п+∆_Yп

Значение  рассчитано в таблице 9, значение приведено в таблице 8.

 

Таблица 8 – Расчетные  параметры

№	yi	X1	Х2	(X1- )2	(X2 - )2
1	3,60	16,20	13,30	459,39	8,31
2	1,50	5,90	5,90	427,99	6,57
3	5,50	53,10	27,10	427523,88	1983,60
4	2,40	18,80	11,20	353,44	125,44
5	3,00	35,30	16,40	1246,09	268,96
6	4,20	71,90	32,50	5169,61	1056,25
7	2,70	93,60	25,40	8760,96	645,16
8	1,60	10,00	6,40	100,00	40,96
9	2,40	31,50	12,50	992,25	156,25
10	3,30	36,70	14,30	1346,89	204,49
11	1,80	13,80	6,50	190,44	42,25
12	2,40	64,80	22,70	4199,04	515,29
Σ	34,40	451,60	194,20	450769,98	5053,54
сред	2,87	37,63	16,18

 

 

 

При n=12 и m=3 число степеней свободы v=n-m=12-3=9

При уровне значимости α=0.01  и v=9 коэффициент доверия   t_α =3,25

Предельная ошибка прогноза, которая не будет превышена в 99 %

случаев составит:

 

Dγ_Yп =3,25*1,69=5,49

  Строим доверительный  интервал, т.е. интервал, включающий  в себя оцениваемое значение  с вероятностью 1-α=1-0,01=0,99.

Доверительный интервал прогноза, полученного на основе парной линейной регрессии Y_п=4,71+0,278*x:

γ _Yп1=39,511 ±5,49

γ _Yп(min)1= 39,511 -5,49=34,021

γ_Yп(max)1= 39,511 +5,49=45,001

D_γ1=γ_Yп(max)/γ_Yп(min)= 45,001/34,021=1,323

γ _Yп2== 16,989

5,49

γ _Yп(min)2= 16,989 - 5,49=11,499

γ_Yп(max)2= = 16,989 + 5,49=22,479

D_γ2=γ_Yп(max)/γ_Yп(min)= 22,479/11,499=1,955

Рассчитанный прогноз  уровня потребительских расходов является надежным, но не достаточно точным, потому что верхняя граница доверительного интервала прогноза больше его нижней границы в 1,323 и 1,955 раза соответственно.

 

4. Средняя ошибка аппроксимации  определяется по формуле:

 

                                    ₍₂₀₎

где y_i - эмпирические (наблюдаемые) значения результативного признака;

- теоретические значения результативного  признака (т.е. значения, рассчитанные  на основе полученного уравнения  регрессии).

Значение  рассчитано в таблице 8.

Таблица 9 -  Расчетные  параметры

№	yi	X1	Х2
1	3,60	16,20	13,30		3,64055	0,04	0,011264	0,001644
2	1,50	5,90	5,90		3,57817	2,08	1,385447	4,318791
3	5,50	53,10	27,10		2,95013	2,55	0,463613	6,501837
4	2,40	18,80	11,20		3,371	0,97	0,404583	0,942841
5	3,00	35,30	16,40		2,99248	0,01	0,002507	5,66E-05
6	4,20	71,90	32,50		2,48111	1,72	0,40926	2,954583
7	2,70	93,60	25,40		0,9811	1,72	0,63663	2,954617
8	1,60	10,00	6,40		3,42716	1,83	1,141975	3,338514
9	2,40	31,50	12,50		2,88535	0,49	0,202229	0,235565
10	3,30	36,70	14,30		2,77765	0,52	0,158288	0,27285
11	1,80	13,80	6,50		3,26107	1,46	0,811706	2,134726
12	2,40	64,80	22,70		2,10025	0,30	0,124896	0,08985
Σ	34,40	451,60	194,20		34,45	13,68	5,75	23,75

 

Средняя ошибка аппроксимации  для парной линейной регрессии:

 

=5,75*100/12=47,91%

В среднем расчетные значения, полученные с помощью уравнения  парной линейной регрессии, отличаются от фактических значений на 47,91 %. Значение средней ошибки аппроксимации выходит за пределы допустимых значений (8%-10%), что говорит о неудачном выборе модели регрессии.

5. Расчет матрицы парных и частных коэффициентов корреляции и отбор информативных фактов

Корреляционная матрица  составляется на основании парной корреляции, которые были определены при решении 1 вопроса.

Корреляционная матрица  на основе парных коэффициентов имеет  вид:

1
	1
		1

 

Коэффициенты частичной  корреляции рассчитываются по формулам:

 

                        (21)

                         (22)

                        (23)

 

Из этих показателей складывается корреляционная матрица частичной  корреляции:

 

1
	1
		1

 

Видно, что значения в  матрицах отличаются, то есть коэффициенты парной корреляции и частичной корреляции не совпадают.

 

 

Задание №3.

Дана макроэкономическая модель: С_t=a₁+b₁₂Yt+b₁₃Т_t+ε₁; I_t=a₂+b₂₁ Y_t+b₂₄ K_t-1+ε₁; Y_t= С_t+I_t, где C – потребление; I – инвестиции; Y – доход; T – налоги; K- запас капитала.

Задание:

1.  Используя необходимое  и достаточное условие идентификации,  определить, идентифицировано ли  каждое уравнение модели.

2.  Определить тип модели.

3.  Определить метод оценки параметров модели.

4.  Описать последовательность действий при использовании указанного метода.

Решение:

  Эндогенные переменные модели - это зависимые переменные, число которых равно числу уравнений системы.

  Экзогенные переменные - это предопределенные переменные, влияющие на эндогенные переменные, но не зависящие от них.

  В модели содержатся  три эндогенных переменных: С_t, I_t, Y_t и две экзогенных переменных: Т_t и K_t-

  Пусть Н - число  эндогенных переменных в j-ом  уравнении;

D - число экзогенных переменных, которые содержатся в системе,  но не входят в j-ое уравнение.

  Тогда необходимое  условие идентифицируемости системы  может  быть записано в виде  следующего счетного правила:

D+1=H - уравнение идентифицируемо;

D+1<H - уравнение неидентифицируемо;

D+1>H - уравнение сверхидентифицируемо.

  Достаточное условие  идентификации уравнения: если  из коэффициентов при отсутствующих  в уравнении переменных (эндогенных  и экзогенных) можно получить  матрицу, определить которой не  равен нулю, а ранг матрицы  не меньше, чем число эндогенных  переменных без одного, то уравнение  является идентифицируемым.

1. Проверим первое уравнение

Проверим выполнение необходимого условия идентификации для первого  уравнения

Количество эндогенных переменных в первом уравнении равно двум: (С_t и Y_t), следовательно Н=2.

Число отсутствующих в  первом уравнении экзогенных переменных равно 1 (K_t) - D=1.

D+1=1+1=2=H, следовательно, необходимое  условие идентификации выполняется.

   Проверим выполнение  достаточного условия идентификации  для первого уравнения

   В первом уравнении  отсутствуют следующие переменные: С_t, I_t, K_t-

Составим матрицу из коэффициентов  при этих переменных, находящихся  в других уравнения системы (2-ом и 3-м):

Уравнения	Переменные
	It	Kt
2-ое	1	b24
3-е	1	0

 

det(A)=1*b₂₄-1*0=b₂₄

 

Ранг матрицы равен  двум, т.е. больше числа эндогенных переменных системы без 1, следовательно, достаточное условие идентификации выполняется и первое уравнение является идентифицируемым.

2. Проверим выполнение необходимого условия идентификации для второго уравнения

Количество эндогенных переменных во втором уравнении равно двум: (I_t и Y_t) - Н=2

Число отсутствующих во втором уравнении экзогенных переменных равно 1 (Т_t) - D=1

D+1=1+1=2=H, следовательно, уравнение является идентифицируемым.

   Проверим выполнение  достаточного условия идентификации  для второго уравнения.

   Во втором уравнении  отсутствуют переменные: Т_t, С_t

Составим матрицу из коэффициентов  при этих переменных, находящихся  в других уравнения системы (1-ом и 3-м):

Уравнения	Переменные
	Тt	Сt
1-ое	b13	1
3-е	0	1

 

Ранг матрицы равен  двум, т.е. не меньше числа эндогенных переменных системы без 1, так как  определитель квадратной подматрицы 2х2 этой матрицы не равен нулю:

det(A)=1*0-1* b₁₃=-b13

 

Таким образом, достаточное  условие идентификации для второго  уравнения выполняется.

3. Проверим выполнение необходимого условия идентификации для третьего уравнения.

Количество эндогенных переменных в третьем уравнении равно  трем: (С_t, I_t, Y_t) - Н=3.

Число отсутствующих в  третьем уравнении экзогенных переменных  равно 2 (Т_t, K_t) - D=2

D+1=2+1=3=H, следовательно, третье уравнение системы является идентифицированным

   Проверим выполнение  достаточного условия идентификации  для третьего уравнения.

   В третьем уравнении  отсутствуют следующие переменные: Т_t, K_t.

Составим матрицу из коэффициентов  при этих переменных, находящихся  в других уравнения системы (1-ом и 2-ом):

Уравнения	Переменные
	Тt,	, Kt
1-ое	b13	0
2-е	0	b24