Контрольная работа по "Эконометрике"

 

Ранг матрицы равен  двум, т.е. не меньше числа эндогенных переменных системы без 1, так как  определитель квадратной подматрицы 2х2 этой матрицы не равен нулю:

det(A)=0*0- b₂₄* b₁₃=- b₂₄* b₁₃

 

Таким образом, достаточное  условие идентификации для третьего уравнения выполняется.

  В рассматриваемой системе все уравнения идентифицированы, поэтому вся система идентифицирована.

2. Определить тип модели

Поскольку система уравнений  точно идентифицируема, то можно  сделать вывод, что она точно  идентифицируемая структурная модель.

3.Определить метод оценки параметров модели

Так как система представляет собой точно  идентифицируемую структурную  модель, то возможно осуществить переход к приведенной форме. Эти действия составляют косвенный метод наименьших квадратов (КМНК).

 

 

Задание №4.

Имеются данные 15 дней по количеству пациентов клиники, прошедших через соответствующие отделения в течение дня (таблица 10).

Таблица 10 – Исходные данные

День	Количество пациентов
1	41
2	52
3	30
4	47
5	28
6	22
7	51
8	40
9	57
10	33
11	43
12	51
13	36
14	19
15	42

Требуется:

1.  Определить коэффициенты  автокорреляции уровней ряда  первого и второго порядка. 

2.  Обосновать выбор уравнения тренда и определить его параметры.

3.  Сделать выводы.

 

Решение:

Для выявления структуры  ряда (т. е. состава компонент) строят автокорреляционную функцию.

Автокорреляция уровней  ряда – корреляционная между последовательными  уровнями одного и того же ряда динамики (сдвинутыми на определенный промежуток времени L – лаг). То есть связь между рядом: Х₁, Х₂, ... Х_n-L и рядом Х_1+L, Х_2+L, ... Х_n, где L – положительное целое число. Автокорреляция может быть измерена коэффициентом автокорреляции.

Лаг (сдвиг во времени) определяет порядок коэффициента автокорреляции. Если L = 1, то имеем коэффициент автокорреляции 1-го порядка r_t,t-1. Если L = 2, то коэффициент автокорреляции 2-го порядка r_t,t-2 и т.д.

Следует учитывать, что с  увеличением лага на единицу число  пар значений, по которым рассчитывается коэффициент автокорреляции, уменьшается  на 1. Поэтому обычно рекомендуют  максимальный порядок коэффициента автокорреляции, равный n/4.

Рассчитав несколько коэффициентов  автокорреляции, можно определить лаг (I), при котором автокорреляция (r_t,t-L) наиболее высокая, выявив тем самым структуру временного ряда.

Если наиболее высоким  оказывается значение r_t,t-1, то исследуемый ряд додержит только тенденцию. Если наиболее высоким оказался r_t,t-L, то ряд содержит (помимо тенденции) колебания периодом L.

Если ни один из r_t,t-L (l=1;L) не является значимым, можно сделать одно из двух предположений:

• либо ряд не содержит тенденции  и циклических колебаний, а его  уровень определяется только случайной  компонентой;

• либо ряд содержит сильную  нелинейную тенденцию, для выявления  которой нужно провести дополнительный анализ.

Последовательность коэффициентов  автокорреляции 1, 2 и т.д. порядков называют автокорреляционной функцией временного ряда. График зависимости значений коэффициентов автокорреляции от величины лага (порядка коэффициента автокорреляции) называют коррелограммой.

Чтобы найти коэффициент  корреляции 1-го порядка, нужно найти  корреляцию между рядами (расчет производится не по 15, а по 14 парам наблюдений):

Два важных свойства коэффициента автокорреляции:

1) Он строится по аналогии  с линейным коэффициентом корреляции  и таким образом характеризует  тесноту только линейной связи  текущего и предыдущего уровней  ряда. По-этому по коэффициенту  автокорреляции можно судить  о наличии линейной (или близкой  к линейной) тенденции. Для некоторых  временных рядов, имеющих сильную  нелинейную тенденцию (например, параболу второго порядка или  экспоненту), коэффициент автокорреляции  уровней исходного ряда может  приближаться к нулю.

2) По знаку коэффициента  автокорреляции нельзя делать  вывод о возрастающей или убывающей  тенденции в уровнях ряда. Большинство  временных рядов экономических  данных содержит положительную  автокорреляцию уровней, однако  при этом могут иметь убывающую  тенденцию.

Сдвигаем исходный ряд  на 1 уровней. Получаем следующую таблицу:

 

yt	yt - 1
41	52
52	30
30	47
47	28
28	22
22	51
51	40
40	57
57	33
33	43
43	51
51	36
36	19
19	42

 

 

 

Расчет коэффициента автокорреляции 1-го порядка.

Параметры уравнения  авторегрессии.

Выборочные средние.

 

 

 

Выборочные дисперсии:

 

 

Среднеквадратическое отклонение

 

 

Коэффициент автокорреляции

Линейный коэффициент  автокорреляции r_t,t-1:

 

Линейный коэффициент  корреляции принимает значения от –1 до +1.

Связи между признаками могут  быть слабыми и сильными (тесными). Их критерии оцениваются по шкале  Чеддока:

0.1 < r_t,t-1 < 0.3: слабая;

0.3 < r_t,t-1 < 0.5: умеренная;

0.5 < r_t,t-1 < 0.7: заметная;

0.7 < r_t,t-1 < 0.9: высокая;

0.9 < r_t,t-1 < 1: весьма высокая;

В нашем примере связь  между рядами -  слабая и обратная.

 

x	y	x 2	y 2	x • y
41	52	1681	2704	2132
52	30	2704	900	1560
30	47	900	2209	1410
47	28	2209	784	1316
28	22	784	484	616
22	51	484	2601	1122
51	40	2601	1600	2040
40	57	1600	3249	2280
57	33	3249	1089	1881
33	43	1089	1849	1419
43	51	1849	2601	2193
51	36	2601	1296	1836
36	19	1296	361	684
19	42	361	1764	798
550	551	23408	23491	21287

 

 

 

Значимость коэффициента автокорреляции.

 

По таблице Стьюдента  с уровнем значимости α=0.01 и степенями  свободы k=12 находим t_крит:

t_крит (n-m-1;α/2) = (12;0.005) = 3.055

где m = 1 - количество объясняющих  переменных.

Если t_набл > t_критич, то полученное значение коэффициента автокорреляции признается значимым (нулевая гипотеза, утверждающая равенство нулю коэффициента автокорреляции, отвергается).

Поскольку t_набл < t_крит, то принимаем гипотезу о равенстве 0 коэффициента автокорреляции. Другими словами, коэффициент автокорреляции статистически - не значим

Интервальная  оценка для коэффициента автокорреляции (доверительный интервал).

 

Доверительный интервал для  коэффициента корреляции

 

r(-0.9834;0.5847)

 

Лаг (порядок)	rt,t-L	Коррелограмма
1	-0.2	**

 

 

 

Вывод: в данном ряду динамики имеется тенденция.

Расчет коэффициента автокорреляции 2-го порядка.

Параметры уравнения  авторегрессии.

Выборочные средние.

 

 

 

Выборочные дисперсии:

 

 

Среднеквадратическое отклонение

 

 

Коэффициент автокорреляции

Линейный коэффициент  автокорреляции r_t,t-2:

 

 

x	y	x 2	y 2	x • y
41	30	1681	900	1230
52	47	2704	2209	2444
30	28	900	784	840
47	22	2209	484	1034
28	51	784	2601	1428
22	40	484	1600	880
51	57	2601	3249	2907
40	33	1600	1089	1320
57	43	3249	1849	2451
33	51	1089	2601	1683
43	36	1849	1296	1548
51	19	2601	361	969
36	42	1296	1764	1512
531	499	23047	20787	20246

 

 

 

Значимость коэффициента автокорреляции.

 

По таблице Стьюдента  с уровнем значимости α=0.01 и степенями  свободы k=11 находим t_крит:

t_крит (n-m-1;α/2) = (11;0.005) = 3.106

где m = 1 - количество объясняющих  переменных.

Если t_набл > t_критич, то полученное значение коэффициента автокорреляции признается значимым (нулевая гипотеза, утверждающая равенство нулю коэффициента автокорреляции, отвергается).

Поскольку t_набл < t_крит, то принимаем гипотезу о равенстве 0 коэффициента автокорреляции. Другими словами, коэффициент автокорреляции статистически - не значим

Интервальная  оценка для коэффициента автокорреляции (доверительный интервал).

 

Доверительный интервал для  коэффициента корреляции

 

r(-0.9457;0.7627)

 

Лаг (порядок)	rt,t-L	Коррелограмма
1	-0.2	**
2	-0.0915	**

 

 

 

Вывод: Значения коэффициентов автокорреляции свидетельствуют о слабой зависимости текущих уровней ряда от непосредственно им предшествующих уровней. Таким образом, можно сделать вывод о наличии в изучаемом временном ряде нелинейной тенденции.

 

Выбираем нелинейное уравнение  тренда , предварительно линеаризировав модель. Для этого сделаем замену . Тогда .

Параметры тренда определим, используя МНК (метод наименьших квадратов).

 

1. Определение параметров тренда

 

                                             (26)

 

                                       (27)

 

                                               (28)

 

                                            (29)

 

Для расчетов необходимых  параметров составим расчетную таблицу (таблица 12).

таблица 12 – Расчетные значения

t	yt	ytt	t2	yt2	t-	(t- )2		y-	(y- )2
1	41	41	1	1681	-7	49	41,42	-0,42	0,1764
2	52	104	4	2704	-6	36	41,141	10,859	117,9179
3	30	90	9	900	-5	25	40,862	-10,862	117,983
4	47	188	16	2209	-4	16	40,583	6,417	41,17789
5	28	140	25	784	-3	9	40,304	-12,304	151,3884
6	22	132	36	484	-2	4	40,025	-18,025	324,9006
7	51	357	49	2601	-1	1	39,746	11,254	126,6525
8	40	320	64	1600	0	0	39,467	0,533	0,284089
9	57	513	81	3249	1	1	39,188	17,812	317,2673
10	33	330	100	1089	2	4	38,909	-5,909	34,91628
11	43	473	121	1849	3	9	38,63	4,37	19,0969
12	51	612	144	2601	4	16	38,351	12,649	159,9972
13	36	468	169	1296	5	25	38,072	-2,072	4,293184
14	19	266	196	361	6	36	37,793	-18,793	353,1768
15	42	630	225	1764	7	49	37,514	4,486	20,1242
120	592	4664	1240	25172	0	231