Линейные и нелинейные преобразования плоскости

Линейные  и нелинейные преобразования плоскости

Цели работы 

   Исследовать преобразования плоскости

      Линейные

         рассмотреть использование координатного метода для алгоритмизации процесса построения образов геометрических фигур при  преобразованиях плоскости

      Нелинейные

         исследовать нелинейное преобразование плоскости, приводящее к построению множества  Жюлиа

            исследовать вид бассейна притяжения и его фрактальные  свойства в зависимости от параметров преобразования

            найти стационарные и  периодические точки, используя  аналитические и численные методы.

Параллельный перенос и осевая симметрия 

Линейные  преобразования плоскости

Симметрия относительно произвольной оси

Центральная симметрия

Поворот

Нелинейные  преобразования плоскости 

Преобразование,

приводящее 

к фракталу Жюлиа: 

Бассейн притяжения

Вид бассейна притяжения в зависимости от значений параметров р₁ и р₂.

Пошаговое преобразование плоскости

Неподвижные точки преобразования 

р₁ = – 0,22 и р₂ = – 0,63 

р₁ = – 0,22 и р₂ = – 0,74

Зависимость вида бассейна от количества притягивающих центров.

Выводы 

• В данной работе мы продемонстрировали использование  метода координат для построения образов плоских геометрических фигур, получаемых путем простых  преобразований плоскости.
• При исследовании нелинейного преобразования плоскости мы получили в общем виде координаты стационарных точек.
• Мы наблюдали зависимость свойств или внешнего вида бассейна притяжения от значений параметров, отмечая переход от гладкой замкнутой фигуры к фрактальному образованию.
• Исследование свойств нелинейных преобразований плоскости является проблемой достаточно сложной и емкой. Материал, предложенный в работе может служить основой для  последующего развития исследования.