Логические основы компьютера

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

КУРСОВАЯ  РАБОТА 

по  дисциплине «Дискретная  математика»

на тему «Логические основы компьютера» 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 

Оглавление.

 

Введение. 

Информатика, как  никакая другая область знаний, характеризуется  чрезвычайно высокой степенью динамики изменений. Кроме того, учитывая ее всепроникающий характер, благодаря которому происходят интеграция знаний, идей, в настоящее время трудно очертить границы информатики.

Информатика и  связанные с ней информационные технологии – необходимый атрибут  профессиональной пригодности в обществе.

Информатика служит, прежде всего, для формирования определенного  мировоззрения в информационной сфере и освоение информационной культуры, т.е. умение целенаправленно  работать с информацией, профессионально  используя ее для получения, обработки и передачи компьютерную информационную технологию и соответствующиеей технические и программные средства.

Информатизация  обеспечит переход общества от индустриального  этапа развития к информационному. Информационный рынок предоставит  потребителям все необходимые информационные продукты и услуги, а их производство обеспечит индустрии информатики, часто называемая информационной индустрией. Все эти вопросы сейчас активно обсуждаются в печати, хотя до сих пор нет единого мнения относительно времени путей развития, понимания приоритетности того или иного направления, формулировок и понятий и т.п.

Цели работы:  

• освоить алгоритм построения  таблиц истинности для логических функций;
• научиться определять и анализировать функции проводимости переключательных схем.

Задачи:

• закрепление знаний о логических операциях, освоение алгоритма построения таблиц истинности;
• умение определять и анализировать функции проводимости переключательных схем;
• развитие умений и навыков построения таблиц истинности.

 

Что такое алгебра логики?

   Алгебра логики — это раздел математики, изучающий высказывания, рассматриваемые со стороны их логических значений (истинности или ложности) и логических операций над ними.

   Алгебра логики возникла в середине ХIХ века в трудах английского математика Джорджа Буля. Ее создание представляло собой попытку решать традиционные логические задачи алгебраическими методами.

   Что же такое логическое высказывание?

   Логическое высказывание — это любoе повествовательное пpедлoжение, в oтнoшении кoтopoгo мoжно oднoзначнo сказать, истиннo oнo или лoжнo.

Так, например, предложение "6 — четное число" следует считать  высказыванием, так как оно истинное. Предложение "Рим — столица  Франции" тоже высказывание, так  как оно ложное.

   Высказывательная форма — это повествовательное предложение, которое прямо или косвенно содержит хотя бы одну переменную и становится высказыванием, когда все переменные замещаются своими значениями.

   Алгебра логики рассматривает любое высказывание только с одной точки зрения — является ли оно истинным или ложным. Заметим, что зачастую трудно установить истинность высказывания. Так, например, высказывание "площадь поверхности Индийского океана равна 75 млн кв. км" в одной ситуации можно посчитать ложным, а в другой — истинным. Ложным — так как указанное значение неточное и вообще не является постоянным. Истинным — если рассматривать его как некоторое приближение, приемлемое на практике.

   Употребляемые в обычной речи слова и словосочетания "не",   "и",   "или",  "если... , то",   "тогда и только тогда" и другие позволяют из уже заданных высказываний строить новые высказывания. Такие слова и словосочетания называются   логическими связками.

   Bысказывания,  образованные из других высказываний  с помощью логических связок, называются   составными. Высказывания, не являющиеся составными, называются   элементарными.

    Так,  например, из элементарных высказываний "Петров — врач", "Петров  — шахматист" при помощи  связки "и" можно получить  составное высказывание "Петров  — врач и шахматист", понимаемое как "Петров — врач, хорошо играющий в шахматы".

   При помощи  связки "или" из этих же  высказываний можно получить  составное высказывание "Петров  — врач или шахматист", понимаемое  в алгебре логики как "Петров  или врач, или шахматист, или и врач и шахматист одновременно".

   Истинность  или ложность получаемых таким  образом составных высказываний  зависит от истинности или  ложности элементарных высказываний.

   Чтобы  обращаться к логическим высказываниям,  им назначают имена. Пусть через  А обозначено высказывание "Тимур поедет летом на море", а через В — высказывание "Тимур летом отправится в горы". Тогда составное высказывание   "Тимур летом побывает и на море,  и в горах"   можно кратко записать как     А и В.  Здесь   "и"  — логическая связка,   А,   В   — логические переменные, которые мoгут принимать только два значения —   "истина"   или   "ложь",  обозначаемые, соответственно,   "1"  и   "0".

   Каждая  логическая связка рассматривается  как операция над логическими  высказываниями и имеет свое название и обозначение:

   НЕ    Операция, выражаемая словом "не", называется отрицанием и обозначается  чертой над высказыванием (или  знаком ).   Высказывание истинно,  когда A ложно, и ложно, когда  A истинно.   Пример. "Луна —  спутник Земли" (А); "Луна — не спутник Земли" ().

   И    Операция, выражаемая связкой "и", называется конъюнкцией (лат. conjunctio — соединение) или логическим  умножением и обозначается точкой " . " (может также обозначаться  знаками или &). Высказывание  А . В истинно тогда и только тогда, когда оба высказывания А и В истинны. Например, высказывание   "10 делится на 2 и 5 больше 3"   истинно, а высказывания     "10 делится на 2 и 5 не больше 3",     "10 не делится на 2 и 5 больше 3",     "10 не делится на 2 и 5 не больше 3"     —   ложны.

   ИЛИ    Операция, выражаемая связкой "или" (в неисключающем смысле этого  слова), называется дизъюнкцией (лат. disjunctio — разделение) или логическим  сложением и обозначается знаком v (или плюсом). Высказывание А  v В ложно тогда и только  тогда, когда оба высказывания А и В ложны.   Например, высказывание   "10 не делится на 2 или 5 не больше 3"   ложно,     а высказывания "10 делится на 2 или 5 больше 3",   "10 делится на 2 или 5 не больше 3",   "10 не делится на 2 или 5 больше 3"     —   истинны.

   ЕСЛИ-ТО   Операция, выражаемая связками   "если ..., то",  "из ... следует",  "... влечет ...",  называется импликацией  (лат. implico — тесно связаны) и  обозначается знаком . Высказывание    ложно тогда и только тогда,  когда  А  истинно,  а   В  ложно.

   Каким  же образом импликация связывает  два элементарных высказывания? Покажем это на примере высказываний: "данный четырёхугольник —  квадрат" (А) и "около данного  четырёхугольника можно описать  окружность" (В). Рассмотрим составное  высказывание   , понимаемое как "если данный четырёхугольник квадрат, то около него можно описать окружность". Есть три варианта, когда высказывание    истинно:

А истинно и  В истинно, то есть данный четырёхугольник  квадрат, и около него можно описать  окружность;

А ложно и В истинно, то есть данный четырёхугольник не является квадратом, но около него можно описать окружность (разумеется, это справедливо не для всякого четырёхугольника);

A ложно и B ложно, то есть данный четырёхугольник  не является квадратом, и около  него нельзя описать окружность.Ложен только один вариант, когда А истинно, а В ложно, то есть данный четырёхугольник является квадратом, но около него нельзя описать окружность.

В обычной речи связка   "если ..., то" описывает  причинно-следственную связь между высказываниями. Но в логических операциях смысл высказываний не учитывается. Рассматривается только их истинность или ложность. Поэтому не надо смущаться "бессмысленностью" импликаций, образованных высказываниями, совершенно не связанными по содержанию.   Например, такими: "если президент США — демократ, то в Африке водятся жирафы",   "если арбуз — ягода, то в бензоколонке есть бензин".

   РАВНОСИЛЬНО   Операция, выражаемая связками "тогда  и только тогда", "необходимо  и достаточно", "... равносильно  ...", называется эквиваленцией или двойной импликацией и обозначается знаком    или ~.   Высказывание  истинно тогда и только тогда, когда значения А и В совпадают.       Например, высказывания     "24 делится на 6 тогда и только тогда, когда 24 делится на 3",    "23 делится на 6 тогда и только тогда, когда 23 делится на 3"   истинны,   а высказывания   "24 делится на 6 тогда и только тогда, когда 24 делится на 5",   "21 делится на 6 тогда и только тогда, когда 21 делится на 3"   ложны.

Высказывания  А и В, образующие составное высказывание , могут быть совершенно не связаны по содержанию, например:     "три больше двух" (А),     "пингвины живут в Антарктиде" (В). Отрицаниями этих высказываний являются высказывания   "три не больше двух" (),   "пингвины не живут в Антарктиде" ().   Образованные из высказываний А и В составные высказывания A B     и        истинны, а высказывания   A   и    B — ложны.

   Импликацию  можно выразить через  дизъюнкцию  и  отрицание:

А  В = v В.

   Эквиваленцию  можно выразить через отрицание, дизъюнкцию и конъюнкцию:

А  В = (v В) . (v А).

   Таким  образом, операций отрицания,  дизъюнкции и конъюнкции достаточно, чтобы описывать и обрабатывать  логические высказывания.

   Порядок  выполнения логических операций  задается круглыми скобками. Но для уменьшения числа скобок договорились считать, что сначала выполняется операция отрицания ("не"), затем конъюнкция ("и"), после конъюнкции — дизъюнкция ("или") и в последнюю очередь — импликация.

 

Основные  формулы алгебры  логики.

Функции алгебры логики. 

 

- дизъюнкция, логическое «или», логическое сложение.

– конъюнкция, логическое «и», логическое произведение.

= – сложение по модулю два, исключающее «или».

– импликация.

~ – эквивалентность.

– штрих Шеффера, отрицание конъюнкции.

– стрелка Пирса, функция Вебба, отрицание дизъюнкции.