Логические основы компьютера

Основные  эквивалентности.

1. Коммуникативность

 

, , ~ ~  

2. Ассоциативность

 

 

3. Дистрибутивность

 

x

 

4. Отрицание, законы де Моргана

 

, ,  

5. Законы  поглощения

 

 

   

6. Преобразование к конъюкции, дизъюнкции, отрицанию

 

 

  ~  

Как составить таблицу  истинности? 

Согласно определению, таблица истинности логической формулы выражает соответствие между всевозможными наборами значений переменных и значениями формулы.

Для формулы, которая  содержит две переменные, таких наборов  значений переменных всего четыре:

(0, 0),     (0, 1),     (1, 0),    (1, 1).

Если формула  содержит три переменные, то возможных  наборов значений переменных восемь:

(0, 0, 0),     (0, 0, 1),     (0, 1, 0),     (0, 1, 1),     (1, 0, 0),     (1, 0, 1),     (1, 1, 0),     (1, 1, 1).

Количество наборов  для формулы с четырьмя переменными равно шестнадцати и т.д.

Удобной формой записи при нахождении значений формулы  является таблица, содержащая кроме  значений переменных и значений формулы  также и значения промежуточных  формул.

 

Связь между алгеброй логики и двоичным кодированием. 

   Математический  аппарат алгебры логики очень  удобен для описания того, как  функционируют аппаратные средства  компьютера, поскольку основной  системой счисления в компьютере  является двоичная, в которой  используются цифры 1 и 0, а значений  логических переменных тоже два: “1” и “0”.

Из этого следует  два вывода: одни и те же устройства компьютера могут применяться для  обработки и хранения как числовой информации, представленной в двоичной системе счисления, так и логических переменных;на этапе конструирования аппаратных средств алгебра логики позволяет значительно упростить логические функции, описывающие функционирование схем компьютера, и, следовательно, уменьшить число элементарных логических элементов, из десятков тысяч которых состоят основные узлы компьютера. 

В каком виде записываются в памяти компьютера и в регистрах  процессора данные и  команды? 

Данные и команды  представляются в виде двоичных последовательностей  различной структуры и длины. Существуют различные физические способы  кодирования двоичной информации. Мы уже рассмотрели способы записи двоичной информации на магнитных дисках и на CD-ROM. В электронных устройствах компьютера двоичные единицы чаще всего кодируются более высоким уровнем напряжения, чем двоичные нули (или наоборот), например:

 

Логический  элемент компьютера. 

   Логический  элемент компьютера — это часть  электронной логичеcкой схемы,  которая реализует элементарную  логическую функцию. 

   Логическими  элементами компьютеров являются  электронные схемы И, ИЛИ, НЕ, И—НЕ, ИЛИ—НЕ и другие (называемые также вентилями), а также триггер.

   С помощью  этих схем можно реализовать  любую логическую функцию, описывающую  работу устройств компьютера. Обычно  у вентилей бывает от двух  до восьми входов и один  или два выхода.

   Чтобы  представить два логических состояния — “1” и “0” в вентилях, соответствующие им входные и выходные сигналы имеют один из двух установленных уровней напряжения. Например, +5 вольт и 0 вольт.

Высокий уровень  обычно соответствует значению “истина” (“1”), а низкий — значению “ложь” (“0”).

   Каждый  логический элемент имеет свое  условное обозначение, которое  выражает его логическую функцию,  но не указывает на то, какая  именно электронная схема в  нем реализована. Это упрощает  запись и понимание сложных  логических схем.

   Работу логических элементов описывают с помощью таблиц истинности.

Таблица истинности это табличное представление  логической схемы (операции), в котором  перечислены все возможные сочетания  значений истинности входных сигналов (операндов) вместе со значением истинности выходного сигнала (результата операции) для каждого из этих сочетаний.  

Схемы  И,  ИЛИ,  НЕ,  И—НЕ,  ИЛИ—НЕ. 

 С х е  м а   И 

Схема И реализует  конъюнкцию двух или более логических значений. Условное обозначение на структурных схемах схемы И с двумя входами представлено на рис. 5.1.

Таблица истинности схемы И

x y x . y

0 0 0

0 1 0

1 0 0

1 1 1 

  Единица  на выходе схемы И будет  тогда и только тогда, когда  на всех входах будут единицы.  Когда хотя бы на одном входе  будет ноль, на выходе также  будет ноль.

Связь между  выходом  z  этой схемы и входами  x  и  y  описывается соотношением:   z = x . y

(читается как  "x и y"). Операция конъюнкции  на структурных схемах обозначается  знаком  "&"  (читается как  "амперсэнд"),  являющимся сокращенной  записью английского слова  and.

 

С х е м  а   ИЛИ 

Схема  ИЛИ  реализует дизъюнкцию двух или более  логических значений. Когда хотя бы на одном входе схемы  ИЛИ  будет  единица, на её выходе также будет  единица.  

  Знак "1" на схеме — от устаревшего  обозначения дизъюнкции как   ">=1"  (т.е. значение дизъюнкции равно единице, если сумма значений операндов больше или равна 1).    Связь между выходом  z  этой схемы и входами  x  и  y   описывается соотношением:  z = x v y  (читается как "x или y"). 

Таблица истинности схемы ИЛИ

x y x v y

0 0 0

0 1 1

1 0 1

1 1 1 

С х е м  а   НЕ 

Схема   НЕ  (инвертор) реализует операцию отрицания.  Связь между входом   x  этой схемы и выходом   z  можно  записать соотношением   z = , x где      читается как   "не x"   или  "инверсия х".

Если на входе  схемы  0,  то на выходе  1.  Когда  на входе  1,  на выходе  0.   

Таблица истинности схемы НЕ

x 

0 1

1 0 

С х е м  а   И—НЕ 

Схема И—НЕ состоит  из элемента И и инвертора и  осуществляет отрицание результата схемы И. Связь между выходом z и входами x и y схемы записывают следующим образом: , где     читается как   "инверсия x и y".    

Таблица истинности схемы И—НЕ

x y 

0 0 1

0 1 1

1 0 1

1 1 0 

С х е м  а   ИЛИ—НЕ 

Схема ИЛИ—НЕ состоит  из элемента ИЛИ и инвертора  и  осуществляет отрицание результата схемы ИЛИ.     Связь между выходом  z  и входами  x  и  y  схемы записывают следующим образом:  ,  где  ,  читается как  "инверсия  x или y ".  

Таблица истинности схемы ИЛИ—НЕ

x y 

0 0 1

0 1 0

1 0 0

1 1 0 

 

Триггер. 

   Триггер — это электронная схема, широко применяемая в регистрах компьютера для надёжного запоминания одного разряда двоичного кода. Триггер имеет два устойчивых состояния, одно из которых соответствует двоичной единице, а другое — двоичному нулю.

   Термин триггер происходит от английского слова trigger — защёлка, спусковой крючок. Для обозначения этой схемы в английском языке чаще употребляется термин flip-flop, что в переводе означает “хлопанье”. Это звукоподражательное название электронной схемы указывает на её способность почти мгновенно переходить (“перебрасываться”) из одного электрического состояния в другое и наоборот.

   Самый распространённый тип триггера — так называемый RS-триггер (S и R, соответственно, от английских set — установка, и reset — сброс).

 Он имеет  два симметричных входа S и R и два симметричных выхода Q и , причем выходной сигнал Q является логическим отрицанием сигнала . На каждый из двух входов S и R могут подаваться входные сигналы в виде кратковременных импульсов ( ).

   Наличие импульса на входе будем считать единицей, а его отсутствие — нулем. 

Реализация триггера с помощью вентилей ИЛИ—НЕ и соответствующая таблица истинности.

S R Q 

0 0 запрещено

0 1 1 0

1 0 0 1

1 1 хранение бита 

Проанализируем  возможные комбинации значений входов R и S триггера, используя его схему и таблицу истинности схемы ИЛИ—НЕ

Если на входы  триггера подать S=“1”, R=“0”, то (независимо от состояния) на выходе Q верхнего вентиля  появится “0”. После этого на входах нижнего вентиля окажется R=“0”, Q=“0” и выход станет равным “1”.

Точно так же при подаче “0” на вход S и “1”  на вход R на выходе появится “0”, а  на Q — “1”.

Если на входы R и S подана логическая “1”, то состояние Q и не меняется.

Подача на оба  входа R и S логического “0” может  привести к неоднозначному результату, поэтому эта комбинация входных сигналов запрещена.

Поскольку один триггер может запомнить только один разряд двоичного кода, то для  запоминания байта нужно 8 триггеров, для запоминания килобайта, соответственно, 8 х 210 = 8192 триггеров. Современные микросхемы памяти содержат миллионы триггеров. 

Сумматор. 

   Сумматор — это электронная логическая схема, выполняющая суммирование двоичных чисел.

   Сумматор служит, прежде всего, центральным узлом арифметико-логического устройства компьютера, однако он находит применение также и в других устройствах машины.

Многоразрядный  двоичный сумматор, предназначенный  для сложения многоразрядных двоичных чисел, представляет собой комбинацию одноразрядных сумматоров, с рассмотрения которых мы и начнём.

При сложении чисел A и B в одном i-ом разряде приходится иметь дело с тремя цифрами:

1. цифра ai первого  слагаемого;

2. цифра bi второго  слагаемого;

3. перенос pi–1  из младшего разряда. 

В результате сложения получаются две цифры:

1. цифра ci для  суммы;

2. перенос pi из  данного разряда в старший. 

   Таким образом, одноразрядный двоичный сумматор есть устройство с тремя входами и двумя выходами.

Если требуется  складывать двоичные слова длиной два  и более бит, то можно использовать последовательное соединение таких сумматоров, причём для двух соседних сумматоров выход переноса одного сумматора является входом для другого.