Методичні особливості вивчення логарифмічної функції

Міністерство  освіти і науки України

Полтавський національний педагогічний університет

імені В.Г. Короленка

 

 

Кафедра математики

 

 

 

Курсова робота з математики

 

Методичні особливості  вивчення логарифмічної функції

 

 

 

 

Виконав  студент групи  М – 53

Новак Олександр Іванович

 

Науковий керівник

доц. Губачов О. П.

 

Полтава–2011

 

Зміст

 

ВСТУП

Розв’язуванню задач, а точніше  рівнянь або нерівностей, показникових та логарифмічних, приділяється багато уваги, особливо на вступних екзаменах  до ВУЗів та інших навчальних закладах. Тому розгляд цієї теми дуже важливий.

Актуальність  теми полягає в тому, що тема «Показникова і логарифмічна функції» є однією з основних тем в шкільній програмі з математики в 11 класі, її приділяється велика кількість навчального часу (22(25)). У процесі вивчення цього розділу учні систематизують, узагальнюють і поглиблюють знання про степені і корені та їх властивості, засвоюють поняття показникової і логарифмічної функцій, їх властивості та графік, навички та вміння  виконувати тотожні перетворення виразів показникової та логарифмічної функціями, розв’язувати показникові і логарифмічні рівняння й нерівності та їх системи.

МЕТА  РОБОТИ – системазувати відомості про поняття логарифма та його основні властивості; логарифмічну функцію: логарифмічні рівняння та нерівності в шкільному курсі алгебри старшої школи і розкрити роль і місце вивчення логарифмічних рівнянь та нерівностей в школі та вибрати методику подання цієї теми.

В ПРОЦЕСІ   РОБОТИ   ВИКОРИСТОВУВАЛИСЬ   ТАКІ   МЕТОДИ:

• дослідницький метод при вивченні психолого-педагогічної, наукової та методичної літератури з предмету дослідження;
• аналітичні методи;
• практична реалізація запропонованої методики.

ПРИ ПРОВЕДЕННІ УРОКІВ В ШКОЛІ ПРОПОНУЄТЬСЯ ЗАСТОСУВАТИ   ТАКІ  МЕТОДИ:

• пояснювально--ілюстраційний;
• конкретно--індуктивний;
• абстрактно- дедуктивний
• дослідницький.

Робота складається  з  таких частин: вступу, 4 розділів,висновків та додатків. 

Розділ 1

Історична довідка

Винайдення логарифмів значною  мірою прискорилось потребами удосконалення обчислень. Винайшли логарифми і майже одночасно почали їх застосовувати шотландський математик Джон Непер (1550 – 1617) і швецький математик Йост Бюргі (1552 – 1632). Проте перший крок до спрощення обчислень зробив німецький математик Міхаель Штіфель (1487 – 1567), у якого поняття логарифма з’явилось в результаті зіставлення геометричної і арифметичної прогресій. Ця ідея бере свій початок у працях Архімеда (близько. 287 – 212 до н.е.).

Розглянемо цю ідею на такому прикладі. Складемо таблицю.

У верхньому рядку маємо  арифметичну прогресію з різницею, що дорівнює 1, а в нижньому рядку – відповідно геометричну прогресію із знаменником 2. Зіставивши числа у відповідних колонках, помічаємо, що в першому рядку ми маємо логарифми чисел другого рядка за основою 2. Так, наприклад, log₂ 512= 9 (бо 2⁹ = 512), log₂ 8192= 13 (бо 2¹³ = 8192) і т. д.

Користуючись даними таблиці  і теоремою про те, що логарифм добутку  дорівнює сумі логарифмів співмножників, можна значно спростити знаходження добутків чисел, записаних у нижньому рядку таблиці.

Нехай треба, наприклад, помножити 64 на 512. Знайдемо логарифм цього добутку  за основою 2. Маємо log₂ (64∙512) = log₂ 64 + log₂ 512. За таблицею знаходимо

log₂ 64 = 6, log₂512 = 9. Отже, log₂ (64∙512) = 6 + 9 = 15. Але числу 15 з першого рядка відповідає число 32 768 з другого рядка. Отже, 64∙512 = 32 768.

Застосовуючи теорему  про логарифм частки (дробу) можна скористатися таблицею і під час ділення чисел.

Можна скористатися таблицею і для піднесення чисел до степеня. Наприклад, обчислимо 4⁵. Маємо log₂ 4⁵ = 5∙log₂ 4=5∙2= 10. Числу 10 з першого рядка таблиці відповідає число 1024 з другого рядка. Отже, 4⁸ = 1024.

Як бачимо, дії другого  ступеня (множення, ділення) звелися  до дій першого ступеня (додавання, віднімання) над відповідними логарифмами. При цьому довелося виконувати дії із значно меншими числами.

Для практичного здійснення ідеї Штіфеля треба було скласти геометричну прогресію, яка б зростала дуже повільно, бо лише при цьому вона може охоплювати значну кількість чисел. Бюргі взяв знаменником прогресії число 1,0001 замість 2, як було у Штіфеля.

Пізніше основою таблиць  почали називати той член, якому в арифметичній прогресії відповідає число 1. У Бюргі основою був 10 001-й член геометричної прогресії, тобто 1,0001¹⁰⁰⁰⁰ (в арифметичній прогресії йому відповідало число 0,0001∙10⁴ = 1).

Бюргі прийшов до логарифмів раніше, ніж Непер, але опублікував свої таблиці лише у 1620 р. Таким чином, першою в 1614 р. з’явилася робота Непера «Описання дивовижної таблиці логарифмів». Основою таблиці логарифмів Непера є ірраціональне число, до якого необмежено наближаються числа виду при необмеженому зростанні n. Це число називають неперовим числом і з часів Леонарда Ейлера позначають буквою e:

Непер склав таблиці, взявши дуже зручне наближення числа е, а

саме ..

Неперу належить і сам термін «логарифм». Таблиці Непера вдосконалив англійський математик Генрі Брігс (1561-1631). За згодою з самим Непером він спростив його систему логарифмів і склав у десятковій системі числення таблицю логарифмів усіх цілих чисел від 1 до 20000 і від 90000 до 100000 з 14-ма десятковими знаками. Таблиці Брігса, опубліковані в 1624 р. і доповнені                   А. Влакком у 1629 р., пізніше почали називати таблицями звичайних логарифмів.

Розділ 2

Логарифм та його основні властивості

2.1 Поняття логарифма

Термін логарифм походить від сполучення грецьких слів «логос» (у значенні «відношення») і «аритмос» (число ) і перекладається як відношення чисел. Винахідник логарифмів – Джон Непер таку назву пояснює тим, що логарифми виникли внаслідок зіставлення двох чисел, одне з яких є членом арифметичної прогресії, а друге – геометричної.

Розглянемо рівність 4³=64. У цій рівності число 3 є показником степеня, до якого слід піднести число 4, щоб дістати 64. Аналогічно в рівності  число    (-2) є показником степеня, до якого треба піднести число 5, щоб дістати . У загальному випадку в рівності a^x=N число x є показником степеня, до якого треба піднести основу a, щоб дістати число N.

Розглянемо рівняння a^x=N, де a і N – деякі числа, причому a > 0 і a ≠ 1. Якщо N ≤ 0, то це рівняння не має коренів, бо значення показникової функції y = a^x додатні при будь-якому x.

Для N > 0 рівняння має корінь, і до того ж єдиний. Справді, областю значень показникової функції y = a^x при a>0 і a ≠ 1 є множина додатних чисел (отже, корінь рівняння існує). Крім того, кожне своє значення показникова функція набуває лише при одному значенні аргументу (отже цей корінь єдиний).

Означення. Корінь рівняння a^x=N, де a > 0, a ≠ 1, називають логарифмом числа N за основою a.

Означення. Логарифмом числа N за основою a (a > 0 і a ≠ 1) називається показник степеня x, до якого треба піднести a, щоб дістати число N.

Те, що число x є логарифмом числа N за основою a, записують так:

log_aN = x

Цю рівність читають так: логарифм числа N за основою a дорівнює x.

Наприклад, з рівності 5³=125 випливає, що log₅125 = 3.

Вирази log₄(-64), log0 не мають смислу, бо рівняння 4^х=-64 і 3^х=0 не мають коренів.

Логарифмічна рівність log_aN = b і показникова рівність a^b=N виражають одне й те саме співвідношення між числами a, b і N. За цими рівностями можна знайти одне з трьох чисел, що входять до них, якщо задано два інших.

Відповідно до цього можна  розв’язати три задачі.

1. Знайти число N за даним його логарифмом b і за основою а.
2. Знайти основу а за даним числом N і його логарифмом b.
3. Знайти логарифм b даного числа N за даною основою а.

Широко вживають так звані  десяткові і натуральні логарифми, тобто логарифми за основою 10 і e, де e – ірраціональне число, наближено рівне 2,7. Для них застосовують замість знака log₁₀а знак lgа і замість знака log_еа знак lnа (без зазначення основи), наприклад lg10=1, lg100=2, lne=1.

Основна логарифмічна тотожність. Розглянемо показникову рівність

a^x=N. (1). За означенням логарифма,   x = log_aN (2)

Замінюючи в рівності (1) x його значенням з рівності (2), дістанемо:    (3)  (3)

Рівність (3) називається основною логарифмічною тотожністю. Вона є коротким записом означення логарифма: log_aN є показник степеня, до якого треба піднести основу степеня a, щоб дістати N.

Наприклад:  

Приклад 1. Знайти значення:

а) log₂32;

Розв’язання

Відомо, що 32=2⁵, тобто, щоб дістати число 32, слід 2 піднести до п’ятого степеня. Отже, log₂32=5.

б) log₅0,04.

Розв’язання

Відомо, що тому  log₅0,04=-2.

Приклад 2. За означенням логарифма, визначити, яке число має логарифм 3 за основою 7.

За умовою log₇x=3, звідки x =7³; x =343.

Приклад 3. За  якою основою  логарифм  числа 10000 дорівнює  4?

Розв’язання

Маємо: log_x10000=4, x⁴=10000,   ,x=10.

 

2.2 Основні властивості логарифмів

1. Логарифм добутку  двох додатних множників дорівнює  сумі їх   логарифмів, тобто

log_a(x·y)= log_ax + log_ay, де x>0, y>0.

Доведення. Позначимо log_ax = z₁ і log_ay = z₂. За означенням логарифма, , . Перемножуючи почленно ці рівності, дістанемо: . Тут z₁+z₂ є показник степеня, до якого треба піднести основу , щоб дістати число, яке дорівнює добутку. Отже, можна записати: log_a(x·y) = z₁+z₂. Замінюючи z₁ і z₂ їх виразами через логарифми, остаточно дістанемо: log_a(x·y)= log_ax + log_ay. Теорему доведено для окремого випадку – для двох множників. Але її можна довести і для будь-якого скінченого числа множників, бо при знаходженні добутку скінченого числа степенів однієї й тієї самої основи показники степенів додаються.

2. Логарифм частки  двох додатних чисел (дробу)  дорівнює різниці логарифмів  діленого і дільника (чисельника  і знаменника), тобто 

, де x>0, y>0.

Доведення. Нехай log_ax = z₁ і log_ay = z₂. Тоді . Поділимо почленно першу рівність на другу:

Тут z₁-z₂ є показником степеня, до якого слід піднести основу a, щоб дістати число, що дорівнює частці  . Отже, маємо: .

Замінюючи z₁ і z₂ їх виразами через логарифми, остаточно дістанемо: . Цю властивість можна також довести, користуючись основною логарифмічною тотожністю. Користуючись основною логарифмічною тотожністю, доведіть це твердження самостійно!!!

Наслідок. Логарифм дробу, чисельник якого дорівнює одиниці, дорівнює логарифму знаменника, взятому з протилежним знаком.

3. Логарифм степеня додатного числа дорівнює показнику степеня, помноженому на логарифм основи цього степеня, тобто

log_a(N^m) = m·log_aN, де m – будь-яке число, N >0.

Доведення. Нехай log_aN=x, тоді N=a^x. Піднесемо обидві частини останньої рівності до степеня m: N^m = a^xm. Тут xm – показник степеня, до якого треба піднести основу a, щоб дістати число, яке дорівнює N^m. Отже, переходячи до логарифмів, дістанемо: log_a(N^m)=mx. Замінимо x його виразом через логарифм і остаточно матимемо log_a(N^m)=m·log_aN.

4. Логарифм кореня з додатного числа дорівнює логарифму підкореневого виразу, поділеному на показник кореня, тобто

Доведення. Нехай треба знайти . Замінюючи радикал степенем з дробовим показником і застосовуючи властивість 3, дістанемо:

5. Якщо логарифми двох додатних чисел за тією самою основою рівні, то й самі числа рівні. І навпаки, якщо два додатних числа рівні, то і їх логарифми за тією самою основою рівні.

Доведення. Нехай log_ab = log_ac , a>o, a≠1, b>o, c>o. Позначимо log_ab=x, log_ab=y. Тоді a^x=b, a^y=c. За властивістю показникової функції, якщо x=y, то b=c.

Наслідоки. 1. Логарифм одиниці дорівнює нулю.

log_a1=0.

Це випливає з означення  степеня з нульовим показником. Якщо a≠0, a⁰=1, але тоді log_a1=0.

2. Логарифм основи  дорівнює одиниці, тобто

log_aa=1.

Це випливає з того, що a¹=a.

Основні властивості логарифмів широко використовуються під час  перетворення виразів, що містять логарифми. Окремим видом таких перетворень  є логарифмування виразів.

Прологарифмувати одночлен означає виразити його логарифм через логарифми додатних чисел (позначених цифрами і буквами), що входять до його складу.