Методичні особливості вивчення логарифмічної функції

Користуючись властивостями  про логарифм добутку, частки, степеня  і кореня, можна прологарифмувати будь-який одночленний вираз.

Подані вище рівності справедливі  для будь-якої основи a, що задовольняє умови a > 0, a ≠ 1. Умовимося під час логарифмування основою вважати число 10.

Приклад 1. Прологорифмувати вирази:

1. x=5ac (a > 0, c > 0).

Розв’язання. Даний вираз є добутком, а тому за властивістю 1: lgx=lg5+lga+lgc.

2.   , (m > 0, n > 0).

Розв’язання. За властивістю 2: lgx=lg m – lgn.

3. x=11a²b³ (a > 0, b > 0).

Розв’язання. За властивостями 1 і 3: lgx=lg11+2lga+3lgb.

4.   , де a > 0, b > 0, c > 0, d > 0.

Розв’язання. .

Приклад 2. Знайти x, якщо: log₇x= log₇4+ log₇3.

log₇x = log₇(4·3); log₇x = log₇12.

Розв’язання. Якщо логарифми чисел x і 12 при одній і тій самій основі 7 рівні, то і числа будуть рівні. Отже, x=12.

Приклад 3. Нехай log_ab=0,45, log_ac=0,4, log_ad=0,85,

log_ak=-0,25. Знайти log_ax, якщо .

 

Розв’язання

2.3 Деякі важливі логарифмічні тотожності

1)     , або log_b a · log_a b=1.

Д о в е д е н  н я. Нехай log_ba=x. Тоді, за означенням логарифма, b^x=a. Логарифмуючи цю рівність за основою a, дістанемо xlog_ab=1, звідки , тобто 

2)     ,     тобто, якщо число, що стоїть під знаком логарифма, і основу логарифма піднести до будь-якого степеня, то величина логарифма не зміниться.

Цю тотожність доведіть самостійно!

За цією тотожністю маємо, наприклад: .

3)      .

Д о в е д е н  н я. Нехай , тоді . Піднесемо обидві частини останньої рівності до степеня , дістанемо: . Тепер прологарифмуємо останню рівність за основою a. Маємо: , тобто .

Розв’яжемо  декілька прикладів

Приклад 1. Що більше: log₄3 чи log₁₀9?

Розв’язання. , отже, log₄3= log₁₆9. Таким чином, log₄3<log₁₀9.

Приклад 2. Обчислити , знаючи, що log₁₂3=а.

Розв’язання. . Враховуючи залежності , дістанемо . Отже,

Перетворення, за допомогою  якого за даним логарифмом числа (виразу) визначають саме число (вираз), називають потенціюванням. Це перетворення є оберненим до логарифмування.

Застосовуючи теореми  логарифмування, іноді можна вирази, що містять логарифми чисел або  виразів, перетворити в логарифм одного числа або виразу.

Приклади.

1.  Знайти x за даним його логарифмом: lgx = 5·lga – 3lgc.

Р о з в’ я з а н н я. За теоремою про логарифм степеня, , за властивістю про логарифм частки, .

Якщо логарифми виразів x і   за однією і тією самою основою рівні, то і вирази будуть рівні, тобто .

2.  Спростити вираз: .

Р о з в’ я з а н н я. Маємо: .

 

 

Перехід від однієї основи логарифмів до іншої

Часто необхідно здійснити  перехід від логарифмів за однією основою до логарифмів за іншою основою. Нехай відомо log_aN і треба знайти log_bN = x (x – невідоме число), де a>0, a≠1, b>0, b≠1. За означенням логарифма, b^x=N. Прологарифмуємо останню рівність за основою a. Маємо: x·log_ab=log_aN, звідки , тобто .

Таким чином, логарифм будь-якого  додатного числа N за основою b дорівнює логарифму того самого числа за іншою основою a, поділеному на логарифм числа b за основою a. Цю залежність застосовують у такому вигляді: log_aN = log_bN · log_ab .

Отже, будь-який логарифм можна  подати у вигляді відношення двох логарифмів, узятих за тією самою основою.

Приклад 1. log₂₇3x подати за основою 3.

Р о з в’ я з а н н я. Маємо:

Приклад 2. Обчислити log₉5·log₂₅27.

Р о з в’ я з а н н я. Скористаємось залежністю   і зведемо логарифми до основи 10: 

 

Розділ 3

ЛОГАРИФМІЧНАФУНКЦІЯ ТА ЇЇ ВЛАСТИВОСТІ

3.1 Поняття логарифмічної функції

Означення. Логарифмічною називається функція y=log_ax, де a>0 і a≠1, обернена до показникової y=a^x.

Графік функції y=log_ax можна дістати з графіка y=a^x, симетрично відобразивши останній відносно прямої y=x (рис. 2.1).

Рис. 2.1

Якщо на аркуші паперу накреслити чорнилом графік функції y=a^x, а потім, не давши йому висохнути, швидко зігнути аркуш уздовж бісектриси першого і третього координатних кутів, то відбиток буде графіком логарифмічної функції y=log_ax.

Побудуємо, наприклад, графік функції y=log₂x. Для цього знайдемо ряд точок, симетричних точкам графіка y=2^x відносно y=x (рис. 2.2). Такий вигляд матиме графік логарифмічної функції за будь-якої основи a>1. Причому крива тим щільніше прилягає до осі x, чим більше a (рис. 2.3). Якщо основа 0<a<1, то графік матиме інший вигляд. На рисунку 2.4 зображено графік логарифмічної функції   . Таку загальну характеристику матиме графік логарифмічної функції y=log_ax за будь-якої основи 0<a<1, причому

 

 

крива тим щільніше прилягає до осі x, чим менше a.

3.2 Властивості логарифмічної функції

Знаючи властивості взаємно  обернених функцій, можна легко  дістати властивості логарифмічної  функції з показникової. Характер графіка показникової функції за основою a залежить від того, буде a>1 чи 0<a<1. Тому і характер графіка логарифмічної функції за основою a залежить від таких самих умов. Отже, для функції y=log_ax слід розрізняти два випадки: a>1 і 0<a<1. У кожному з них властивості логарифмічної функції випливають з властивостей показникової, якщо врахувати ще зв’язок між графіками показникової і логарифмічної функцій.

Отже, маємо такі властивості логарифмічної функції:

1. Область визначення  логарифмічної функції – множина  всіх додатних чисел R₊, тобто D(log_ax)= R₊.

2. Область значень логарифмічної  функції – множина всіх дійсних  чисел.

3. Логарифмічна функція  на всій області визначення R₊ зростає (якщо a>1) або спадає  (якщо 0<a<1).

4. Для будь-якого a>1 (a≠1) виконуються рівності:

1) log_a1=0;

2) log_aa=1;

3) log_a(x·y)= log_ax+log_ay, якщо x>0, y>0;

4)  , якщо x>0, y>0;

5) для будь-якого числа x>0 і будь-якого log_ax^p=p·log_ax.

Спираючись на властивості  логарифмічної функції, неважко  побудувати графік функції y=log_ax, якщо a>1 (рис. 2.5, а) і 0<a<1 (рис. 2.5, б).

Розглянемо  приклади

Прикдад 1. Який висновок можна зробити щодо додатних чисел m і n, якщо log₅m<log₅n?

Р о з в’ я з а н н я. m<n, бо за основи, більшої від 1 (у даному випадку 5), меншому логарифму відповідає менше число.

Прикдад 2. Який висновок можна зробити відносно основи логарифма a, якщо log_а8=0,3?

Р о з в’ я з а н н я. Якщо число, більше від 1, має додатний логарифм, то основа логарифма більша від 1. Отже, a>1.

Прикдад 3. За властивостями логарифмічної функції визначити, що більше log₆8 чи log₅8?

Р о з в’ я з а н н я. log₆8<log₅8, бо коли х>1, графік функції y=log₆8 лежить нижче, ніж графік функції y=log₅8.

Прикдад 4. Знайти області визначення функцій:

а) y=log₂(5–x).

Р о з в’ я з а н н я.

Оскільки вираз, що стоїть під знаком логарифма, має бути додатним, то для встановлення області визначення даної функції досить знайти значення х, при яких вирази, що стоять під знаком логарифма, додатні.

Отже, 5–x>0; x<5, тобто областю визначення функції y=log₂(5–x) є проміжок (-∞; 5).

б) .

Р о з в’ я з а н н я.

, або (3+x)(x–5)>0, звідки -∞<x<-3; 5<x<∞. Отже, областю визначення даної функції є проміжки (-∞;-3) і (5; ∞).

 

Розділ 4

ЛОГАРИФМІЧНІ  РІВНЯННЯ ТА НЕРІВНОСТІ

4.1 Логарифмічні рівняння

 Логарифмічним рівнянням називається рівняння, що містять невідому величину під знаком логарифма або в основі логарифма (або те і друге одночасно). Найпростійшими  логарифмічними рівняннями назвемо рівняння виду:

  та 

Для рівняння , де , ,  

Це основано на наступній важливій властивості логарифма :

Логирифм двох додатніх чисел по одій і тій же  додатній і не рівній нулю основі рівні тоді і тільки тоді коли рівні ці числа.

При розв’язуванні логарифмічних  рівннянь використовуються означення логарифма та його властивості, дії логарифмування та потенціювання, різні логарифмічні тотожності.

Логарифмічне рівняння , в якому під знаком логарифма  стоїть деяка  функція  ,

,  , ,

має множину допустимих значень х, заданих   нерівністю еквівалентно рівнянню

.

Приклад 13: Розв’язати рівняння

Розв’язок: Початкове рівняння рівносильно рівнянню

, звідки  . Число (-9) -єдиний корінь данного рівняння.

До простійших логарифмічних рівнянь відносяться також рівняння виду

, де  , яке

а) при  і має єдиний корінь ;

б) при  і має розв’язком будь-яке додатне, відмінне від одиниці число;

в) при  і коренів не має;

г) при  і коренів не має .

Приклад 14:

Розв’язок: Оскільки , то , тобто початкове рівняння рівносильно рівнянню , звідки . Число 4 -єдиний корінь данного рівняння.

Розв’язування логарифмічних  рівнянь зведенням до простійших логарифмічних рівнянь.

Рівняння, що розв’язуються  за допомогою означення логарифма:

Приклад 15: Розв’язати рівняння

Розв’язок: За означенням логарифма  отримуємо 

 

Перевірка:

Логарифмічні рівняння ,що розв’язуються потенціюванням

Приклад 16: Розв’язати рівняння

Розв’язання: Знаходимо  область визначення: .

Рівняння набирає вигляду 

 звідки 

 А данне рівняння рівносильно такому : . Розглядаючи два випадки і розв’язуючи відповідні рівняння матимемо:

1) , ,

2. , , .

Відповідь: , .

 

Теорема: Рівняння  рівносильно рівнянню при обмеженнях , .

Доведення: Нехай  - розв’язок рівняння . Тоді визначені логарифми чисел та , тобто ці числа повинні бути більше нуля. Потенцируя рівність , отримуємо рівність . Навпаки, нехай - розв’язок рівняння , причому та . Тоді рівність можно прологарифмувати, і ми отримаємо .

Логарифмічне рівняння

( )  

Рівносильно кожній з наступних систем:

 або 

Для розв’язку рівняння   переходять тільки до одної з цих систем ( та, яка легше) або розв’язують рівняння , яке може мати корні лишні для початкового рівняння , і перевіряють кожне з них підстановкою в початкове рівняння.

Для розв’язування рівнянь 

,

Використовуючи властивості  логарифма , їх приводять відповідно до виду:

і далі розв’язуються так, як  вказано попередньо. Із знайдених  коренів слідує включити до відповіді  ті, для яких , , , або перевірити кожен з них підстановкою до початкового рівняння.

Якщо при розв’язуванні за допомогою формул виконуються перетворення виду , , , де - парне число, то виникає  можливість втрати коренів заданого рівняння. Для того щоб уникнути можиливої  втрати коренів, треба користуватися вказаними формулами у такому вигляді:

=

  =

= , - парне число.

Приклад 17: Розв’язати рівняння

Враховуючи область визначення логарифмічної функції, квадратного  кореня, отримуємо систему , рівносильну  заданому рівнянню:

 або 

Обидві частини рівняння розділимо на х ( при цьому не буде втрати коренів, так як ) та помножимо на ( при чому не з’являться зайві корені, так як  ). Тоді отримаємо систему . З рівняння знаходимо , , оскільки . Далі маємо або . Значить, , звідки х=9>1; , що неможливо. Отримаємо відповідь .

Аналогічно рівняння виду  ,

можна замінити рівносильною системою

  або 

  Для розв’язку рівняння   переходять тільки до одної з цих систем ( та, яка легше) або розв’язують рівняння , яке може мати корні лишні для початкового рівняння , і перевіряють кожне з них підстановкою в початкове рівняння.

Приклад 18:Розв’язати рівняння .

Розв’язування:  Рівняння рівносильно змішаній системі

 

Рівняння системи має  два корені: . Число задовольняє всім співвідношенням системи , а для числа не виконується умова . Таким чином рівняння має один корінь - число .

Зведення логарифмічних  рівнянь до простіших рівнянь, нерівностей, систем.

Рівняння виду , , рівносильно сукупності рівнянь , де - всі корені рівняння .

Приклад 19:  Розв’язати рівняння

Розв’язування: Позначимо і проведемо заміну невідомого у рівнянні . Отримаємо

Таким чином, рівняння рівносильно сукупності двох простійших рівнянь

Тобто, множина всіх розв’язків рівняння складається з чисел та 10.

Рівняння виду  , , рівносильно сукупності рівнянь , де - всі корені рівняння .

Приклад 20: Розв’язати рівняння

Розв’язок: Позначимо і зробимо заміну невідомого у рівнянні Тоді

 

Таким чином,

Тобто, множина всіх розв’язків рівняння складається з чисел та .