Методичні особливості вивчення логарифмічної функції

Рівняння виду рівносильно мішаній системі

Приклад 21: Розв’язати рівняння

Розв’язок:  Данне рівняння рівносильне системі

Тобто, єдиним корнем рівняння є число 4.

Рівняння виду можна замінити системами

 або 

Рівняння виду можна замінити системами

 або 

Рівняння виду рівносильне системі

, яка в свою чергу рівносильна  системі 

Приклад 22: Розв’язати рівняння

Розв’язок: Данне рівняння рівносильне системі

 

тобто системі 

Розв’яжемо рівняння цієї системи :

 

Число -3 не задовольняє умові  . Число (-1) задовольняє всім умовам системи. Тобто, данне рівняння має єдиний корінь .

Розв’язування логарифмічних  рівнянь за допомогою властивостей логарифмічної функції.

Деякі логарифмічні рівняння вдається розв’язати за допомогою  дослідження поведінки функції, які належать до правої та лівої  частини рівняння. Монотонність функції часто дозволяє визначити число коренів рівняння, а іноді і знайти значення.

Приклад 23: Розв’язати рівняння

Розв’язання: Підстановкою (підбором) перевіряємо, що х=5 є розв’язком рівняння. Інших розв’язків  рівняння не має, так як функція, яка знаходиться в лівій частині, зростає , а в правій - спадає, з цього випливає , що графіки цих функції не можуть мати більше одного перетину, тобто має один єдиний корінь.

 

4.2 Логарифмічні нерівності

Означення: Нерівності, де хоча б одна з функцій логарифмічна, називаються  логарифмічними нерівностями.

Розв’язання логарифмічних  нерівностей потребує міцьних знань з багатьох розділів алгебри. Потрібно вміти свідомо користуватися означенням логарифма, логарифмуванням та потенціюванням і, що дуже важливо, пам’ятати про те, що властивості логарифмічної функції різні при основах, менших або більших одиниці. Суттєвим при розв’язуванні таких нерівностей є обмеженість області визначення логарифмічної функції.

1. Нерівність виду , де , зводиться до розв’язування систем:

 а)     б)

2. Розв’язування нерівностей виду  де , зводиться до розв’язування систем:

 а)    б)

3. Розв’язування нерівностей виду  , де , зводиться до розв’язування систем:

 а)    б)

4. Розв’язування нерівностей виду  , де , зводиться до розв’язування систем:

 а)    б)

В розглянутих перходах від найпростійшої логарифмічної нерівності до рівносильних систем нерівностей, які не містять знака логарифма, врахована область допустимих значень початкової нерівності.

Розв’язання будь-якої нестрогої  логарифмічної нерівності відрізняється  від розв’язання відповідної  строгої логарифмічної нерівності тільки включенням у множину всіх її розв’язків множину коренів відповідного логарифмічного рівняння.

Приклад 24: Розв’язати нерівність

Розв’язання: Користуючись властивістю логарифмічної функції, дістаємо, що дана нерівність рівносильна  нерівності

   або 

 

Розв’яжемо ці нерівності:

                                       

      -1      1          3     5

Відповідь: .

Існують різні способи  оформлення розв’язання логарифмічної  нерівності. Найбільш поширені з них - метод переходу до розв’язання  рівносильних совокупностей нерівностей і метод розбиття ОДЗ даної нерівності на проміжки, на яких розв’язуються відповідні рівносильні (на проміжку, що розглядається) нерівності. По суті, ці методи розв’язування однакові і розрізняються тільки способом оформлення.

Приклад 25: Розв’язати нерівність

Розв’язання:

Перший спосіб: Данна нерівність рівносильна нерівності

, яке рівносильно сукупності двох систем

 а)     б)

Розв’язками системи а) є  проміжки і .

Розв’язками системи б) є  проміжки і .

Об’єднавши отримані множини  розв’язків систем сукупності, знаходимо  множину всіх розв’язків початкової нерівності - всі  з чотирьох проміжків:

, , , .

Другий спосіб: Область допустимих значень данної нерівності визначється

системою   , звідки знаходимо ОДЗ нерівності:

, , ,

а) Розглянемо спочатку данну нерівність на множині . На цій множині вона рівносильна нерівності (так як ), розв’язком якої на цій множині є проміжки , .

б) На множині  дана нерівність равносильна нерівності (так як ), розв’язками якого на цій множині є проміжки і .

Об’єднавши отримані розв’язки, отримуємо множину розв’язків початкової нерівності - всі  з чотирьох проміжків:

Відповідь: , , , .

При розв’язуванні логарифмічних  нерівностей слід  уникати перетворень, які можуть привести до втрати або  появи сторонніх розв’язків, так  як в протилежному випадку обгрунтування правильності відповіді, як правило, є більш складною задачею, чим розв’язання початкової нерівності. Тим самим, по суті, єдиним методом розв’язування логарифмічних нерівностей є метод переходу до рівносильних нерівностей ( системам або сукупностям)

Приклад26: Розв’язати нерівність

.

Розв’язок: Області допустимих значень нерівності  належать всі значення , які задовольняють умові . При цих значеннях невідомого

 

та 

тому початкову нерівність можна записати у вигляді 

,

або .

Таким чином, початкова нерівність рівносильна системі нерівностей:

Розв’язком першої нерівності цієї системи є проміжок . З цих значень другій нерівності задовольняють тільки ті , які належать інтурвалу . Тобто, множиною всіх розв’язків початкової нерівності є інтервал  .

Відповідь: .

 

 

 

4.3 Логарифмічні рівняння з параметрами

Приклад 1. При яких значеннях параметра а рівняння має єдиний корінь?

Розв’язання.

Задане рівняння рівносильне  рівнянню . Тобто . Заміна дає рівняння .

Вимога задачі буде виконуватися тоді і тільки тоді, коли рівняння (2) має єдиний додатний корінь. Це буде в одному з двох випадків:

1. Рівняння (2) має єдиний корінь, і він додатний;

2. Рівняння (2) має два корені, з яких тільки один додатний, а другий – від’ємний або нуль.

Для першого випадку одержимо тобто Отже .

Для другого випадку значення t=0 дослідимо окремо.

При t=0 з рівняння (2) одержимо a=0. При a=0 рівняння (2) має корені t₁=0, t₂=1. Отже, умови задачі при a=0 виконуються.

Запишемо ще один випадок  – корені рівняння (2) мають різні знаки. Це буде тоді і тільки тоді, коли буде виконуватися умова

 , тобто умова – а<0, отже, a>0. Об’єднуючи всі одержані результати, маємо відповідь.

Відповідь:  при або задане рівняння має єдиний корінь.

Приклад 2.при яких значеннях параметра а рівняння 

 

Висновки

В результаті написання курсової роботи мною була досягнута мета за допомогою виконання тих завдань, які були намічені.

Систематизовано відомості про поняття логарифма та його основні властивості; логарифмічну функцію та її властивості; розв’язування рівнянь та нерівностей в шкільному курсі з алгебри старшої школи. Розглянуто всі основні способи розв’язання логарифмічних рівнянь та нерівностей, теореми про рівносильність, та всі типові складності які виникають при розв’язуванні цих рівнянь та нерівностей   

 З’ясовано місце логарифмічної функції,логарифмічних рівнянь та нерівностей в діючій програмі з математики, конкретизувано вимоги до уявлень, знань, умінь та навичок учнів.

Проаналізувано сучасний діючий підручник − Нелін Є.П, Долгова О.Є. Алгебра 11 клас.

Запропонувала методичні  рекомендації щодо викладання тем «Логарифмічна функція» в старших класах загальноосвітньої школи.

Сформулювала навчальні  цілі, розробила тематичні плани  до теми «Логарифмічна функція», план- конспект уроку формування навичок і вмінь на тему: ² Розв’язування логарифмічних рівняняь² за підручником Нелін Є.П, Долгова О.Є. Алгебра 11 клас..

Підібрано диференційовану систему вправ для розв’язування рівнянь та нерівностей різної складності та для самостійного розв`язування.

 

Література.

1. Бурда М.І ., Біляніна О.Я.,Вашуленко О, П., Прокопенко Н.С. Збірник завдань для державної підсумкової атестації з математики. − Харків: Гімназія, 2008.
2. Роганін О. М Алгебра і початки аналізу 10 клас. – Харків: Світ дитинства, 2003
3. Методика викладання математики. Під ред. Бевз Г.П.-К.: Рад.школа, 1974.
4. Методика викладання математики. Практикум./за заг. ред. доц. Г.П. Бевз, -К.:Вища школа,1991.
5. Програма для загальноосвітніх навчальних закладів 10-11 кл. Математика. Рівень стандарту, академічний рівень, профільний рівень. Київ, 2010.
6. Груденов Я.І. Психолого-дидактичні основи методики викладання математики.- М:Педагогіка, 1987.
7. Образование: идеалы и ценности(историко-теоретический аспект)  Под ред. З.И.Равкина. - М.: ИТПиО РАО,1995. - С. 361.
8. Литвиненко Г.М., Федченко Л.Я., Швець В.О. - «Збірник завдань для екзамену з математики на атестат про середню освіту», частина І.
9. «Алгебра і початки аналізу 10-11 клас» під редакцією М.І.Шкіль, З.І.Слєпкань, О.С.Дубінчук -К: Зодіак-ЕКО,1995р.
10. Нелін Є.П.,Долгова О.Є Алгебра 11.− Харків: Гімназія, 2011.
11. Особливості поглибленого вивчення математики в 11 класі / Навчально-методичний посібник / К.: Освіта, 1992 р.
12. Вавилов В.В. и др. Задачи по математике. Уравнения и неравенства. / М.: Наука, 1988г.
13. Сліпкань З.І. Психолого-педагогічні основи навчання математики./Київ: "Вища школа".
14. Ципкін О.Г., Пінський О.І. Довідник по методам розв’язання задач з математики./Москва:"Наука", 1989 р.
15. Гайштут О.Г., Литвиненко Г.М. Розв’язування алгебраїчних задач./Київ:"Радянська школа",1991р.