Як  відомо, на інтервалах монотонності диференційованої функцій  значення похідної не можуть мати різних знаків. Якщо >0, то на даному проміжку зростає, а якщо <0 – спадає. Тому відрізки, що відокремлюють корені рівняння, слід шукати на інтервалах знакосталості функції.

     Зазначу що, коренями функції можуть бути і ті значення х, при яких =0 або не існує. 

       
 
 
 
 
 
 

     На  підставі викладеного відокремити корені рівняння = 0 можна так. Знаходимо корені і точки розриву функції . Далі визначаємо інтервали знакосталості похідної , тобто інтервали монотонності функції . Якщо на деяких з цих інтервалів не змінила знак, то на таких інтервалах рівняння = 0 не має коренів. На кожному з інших інтервалів рівняння = 0 має по одному кореню.

     Визначаючи  знаки  у кількох точках її інтервалу монотонності, можна знайти малий відрізок, на якому міститься корінь рівняння = 0.

     Іноді буває зручно відокремлювати корені графічно.

     Розглянемо тепер кілька прикладів. 
 

     

• Відокремити корені рівняння

     Розв’язання. Розглянемо функцію =

     Вона  неперервна на всій області визначення. Оскільки 

      = -7<0 і = 6 >0, то на інтервалі -3≤x≤-2 має корені. Так само, впевнившись, що >0, <0, <0 i >0, робимо висновок, що має також корені на проміжках 0≤x≤1 i 2≤x≤3.

     Проте f(x) не може мати більше трьох коренів. Тому на кожному з інтервалів -3≤x≤-2,    0≤x≤1,  2≤x≤3 функція , а отже і кожен із проміжків мають по одному кореню.

     У цьому прикладі вдалось відокремити корені, не визначаючи інтервалів монотонності функції. 

     3. Відокремити корені рівняння

     x²  = cos x.

     Розв’язання. Функція  =x²  - cos x має таку похідну: .

     Функції і визначені і неперервні на множині всіх дійсних чисел.

     Очевидно, при х = 0   = 0, при х > 0    > 0  i при х < 0 <0. Тому х = 0 є єдиний корінь похідної . Отже, функція має два інтервали монотонності: - ∞ < x < 0   i   0 < x < ∞.

     Внаслідок парності функції  ще один її корінь міститься в інтервалі – 0,9 < х < - 0,8  і   0,8 < х < 0,9. 
 

     5. Метод спроб

 

     Нехай корені даного рівняння відокремлено, тобто знайдено такі відрізки, яким належать його корені. Як вже було зазначено, кінці цих відрізків можна  прийняти за перші наближення шуканих  коренів відповідно з недостачею і надлишком.

     Постає  питання уточнення цих наближень, яке полягає у визначенні більш вузьких відрізків, що також відокремлюють корені даного рівняння.

     Нехай на від різку а ≤ х ≤ b рівняння = 0 має лише один корінь.

     Припустимо, що функція  неперервна при  а ≤ х ≤ b і на кінцях цього відрізка її значення мають різні знаки.

     Візьмемо  на відрізку а ≤ х ≤ b довільну точку с, яка поділяє його на два відрізки  а ≤ х ≤ с і c≤ х ≤ b. Визначаючи знаки функції на кінцях цих відрізків, беремо той відрізок, на кінцях якого має різні знаки. Корінь рівняння = 0 належить цьому відрізку.

     На  знайденому відрізку знову беремо довільну точку с₁ і так само визначаємо один з двох відрізків, якому належить корінь рівняння. Продовжуючи цей процес далі, можна знайти корінь рівняння з будь-якою точністю.

     Цей метод називається методом спроб  чисельного розв’язування рівнянь.

     Однією  з різновидностей методу спроб є  метод половинного поділу відрізка,  що відокремлює корінь рівняння. Застосовуючи цей метод, за с беремо середину відрізка а ≤ х ≤ b.

     Звичайно  метод спроб застосовується рідко, оскільки ефективність його у значній мірі залежить від вдалого вибору точки с.

     Наведу  приклад.

     1. Знайти наближено дійсні корені рівняння х³-х² - х + 2 = 0.

     Розв’язання.    Як раніше було доведено, що функція                   = х³ -х²-х + 2   має єдиний корінь, що належить проміжку -2 ≤ х≤- 1.

     Позначимо цей корінь х₀. Маємо: = -8<0,    = 1>0.

     Оскільки

      < 0,   то   -1,5 < x₀ <- 1;

      < 0, то -1,25 < x₀ < -1;

      > 0, то -1,25 < x₀ <-1,125;

      > 0, то -1,25 < x₀ <-1,1875.

     Якщо  припинити на цьому процес уточнення кореня, то можна вважати, що x₀ ≈   -1,25 -1,1875   ≈ - 1,219.

     6. Метод  лінійної   інтерполяції (метод хорд)

 

     Нехай на відрізку а ≤ х ≤ b рівняння  = 0  має єдиний корінь. Припускаємо, що функція неперервна на цьому відрізку і на його кінцях набуває різних знаків (рис. 8).

     Розглянемо   пряму   АВ,   що   проходить   через   точки   А    і В . Ця пряма   має таке рівняння:

     

     Рис 8

     Знаходимо  абсцису  х₁  точки  перетину прямої  АВ з віссю Ох. Для цього у рівнянні прямої покладемо х = х₁ і y = 0.

     Дістанемо: .

     Звідки .

     Число x₁ приймаємо за перше наближення шуканого кореня. З геометричної точки зору це означає заміну на відрізку а ≤ х ≤ b дуги графіка хордою, що стягує її.

     Очевидно, точка  x₁  знаходиться  між  точками   а і b.

     З двох відрізків, на які точка х_у поділяє відрізок а ≤х≤ b, беремо той, на кінцях якого функція f(x) має різні знаки. У випадку, розглядуваному на рис.8, таким відрізком буде відрізок х₁ ≤х ≤ b.

     Знову застосовуємо даний метод. Аналогічно дістанемо друге наближення шуканого  кореня: і т.д.

     Розглянемо  приклади.

     1. Знайти наближено дійсні корені рівняння.

     х³ + 3х— 1 =0.

     Розв’язання. Відокремлюючи корені цього рівняння, впевнюємося, що воно має лише один дійсний корінь, що належить відрізку 0 ≤ х ≤ 0,4.

     Нехай

     f(х)=х³+ Зх - 1,

     Застосовуємо метод хорд на відрізку 0 ≤ х ≤ 0,4. Маємо: а = 0, b = 0,4, =- 1,  = 0,264. За перше наближення кореня приймаємо

     

     Оскільки  = —0,0204 < 0, то далі застосовуємо метод хорд на відрізку x₁ ≤ x ≤ b. За друге наближення кореня приймаємо

     

     Цим значенням х обмежуємось, оскільки = -0,0006≈0.            Отже, х≈ 0,322.

     7. Метод Ньютона (метод дотичних)

     Нехай на відрізку а ≤ х≤< b рівняння

                                   = 0

     має єдиний корінь. Нехай, крім того, функція  неперервна на цьому відрізку і на кінцях його набуває значень, що мають різні знаки          (рис. 9).

      Нехай х₀ — один з і кінців відрізка

     a ≤ x ≤ b

     Розглянемо  дотичну до графіка функції  y= У точці (x₀, )             (на рис. 9 цією точкою є точка В, тобто          х₀ = b). Ця дотична має таке рівняння:

                y – f(x₀ ) = f’ (x₀) (x₁ – x₀) 
 

          Рис. 9

     Знаходимо абсцису х₁ точки перетину дотичної з віссю Ох. Для цього у рівнянні дотичної покладемо х = x₁ і у = 0. Отримаємо – f(x₀ ) = f’ (x₀) (x₁ – x₀)

     звідки

     Число х₁ приймаємо за перше наближення шуканого кореня.

     За  точку х₀, взагалі кажучи, можна брати будь-який з кінців відрізка          а ≤ x ≤ b. Проте слід зазначити, що може трапитися так, що точка х₁ опиниться поза відрізком а ≤ х ≤b (рис. 10). Тоді х₁ зовсім недоцільно брати за наближення кореня. У найпростіших з таких випадків досить буває за х₀ взяти інший кінець відрізка а ≤ х ≤ b.

     Нехай точка х_k належить відрізку а≤х≤b. З двох відрізків, на які точка х_k поділяє відрізок а ≤ х ≤ b, беремо той, на кінцях якого функція  набуває значень, що   мають   різні   знаки.   У  випадку,   якому  відповідає рис. 9, таким відрізком   буде  відрізок а≤x≤ х_k. Знову   застосовуємо   даний   метод.  Аналогічно  дістанемо друге наближення

                На практиці часто буває доцільним комбіновано застосовувати метод лінійної інтерполяції і метод Ньютона.

     Наведемо приклади наближеного розв'язування рівнянь за методом Ньютона. 

     1. Знайти наближено дійсні корені рівняння

      х³ — х — 1 = 0. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

     Рис.10

     Розв’язання. Здійснивши відокремлення коренів, впевнюємося, що дане рівняння має лише один дійсний корінь, який належить відрізку 1 ≤ х ≤ 1,5.

     Функція = х³—х—1 має таку похідну: = 3x² — 1.

     Маємо: а = 1, b = 1,5, = — 1<0, = 0,875 > 0. Беручи  х₀=1,5 за   перше наближення кореня,  маємо .

     Далі  знаходимо друге наближення кореня

      .

     Аналогічно, якщо у цьому є потреба, знаходимо дальші наближення шуканого кореня.

     2. Знайти наближено корені рівняння

      .

     Функція = sin х + 2х— 1 має таку  похідну: = cos x + 2.

     Оскільки  при всіх значеннях х  > 0, то зростає на всій області визначення. Отже, не може мати більше одного кореня.

     Очевидно, що <0, >0. Тому корінь даного рівняння слід шукати на відрізку  0≤х≤1.

     Нехай х₀ = 0. Тоді першим наближенням кореня буде:

     

     Знаходимо друге наближення