і т.д.

     8. Метод ітерації

     Одним з найважливіших методів чисельного розв'язування рівнянь є метод ітерації, або, інакше, метод послідовних наближень. З'ясуємо суть цього методу.

     Нехай дано рівняння     

     F(х) = 0.

     де  F(х)— деяка неперервна функція.

     Замінимо це рівняння еквівалентним йому рівнянням

     x =

     де  -також неперервна функція.

     Це  можна зробити багатьма способами. Наприклад, за функцію можна взяти , де с — стала величина.

     Нехай х₁ є деяке перше наближення кореня рівняння. Утворимо числову послідовність.

     x₁,  x₂,  xз, . . . ,    де

     х_п = f(x_{n -1})   (n ==.2, 3, 4,...).

       Якщо ця послідовність є  збіжною, тобто якщо існує

       то, переходячи у рівності х_п = до границі і враховуючи, що — неперервна функція, дістанемо: ,

або ξ = f(ξ). Отже, х = ξ є корінь даного рівняння, а числа х₁ х₂, xз,.. . — його наближені  значення.

     Не  розглядаючи цього питання докладно, вкажемо на достатню умову існування границі ξ, яка полягає у тому, що коли в інтервалі, який містить значення х₁, х₂, х₃, . . .,

     | | < 1 то границя ξ існує. При цьому за перше наближення можна взяти будь-яке число.

Отже, щоб знайти наближене значення кореня рівняння

     F(х) = 0, насамперед відокремлюємо його, тобто визначаємо якомога менший інтервал, в якому міститься корінь.

     Далі  утворюємо функцію  і підбираємо с так, щоб на інтервалі, що відокремлює корінь, справджувалась умова     | | < 1. 

     За  перше наближення можна взяти будь-яке число з цього інтервалу. Далі послідовно визначаємо інші наближення за формулою

     х_{k + 1} = f(х_k) (k=1, 2,  3, ,..).

     Коли  на якомусь етапі обчислень дістанемо, що х _т = х_{m - 1} (при даному ступені точності), то процес визначення кореня припиняється. Число х_т є шуканим наближеним значенням   кореня.

     Розглянемо  приклади.

     1. Знайти наближено дійсні корені   рівняння

                                   x³ - x - 1 = 0

     Розв’язання. Це рівняння має єдиний дійсний корінь, який міститься на  відрізку 1≤x≤1,5.

     Подамо  дане рівняння у вигляді еквівалентного рівняння

     х = х — с(х³ – х- 1), де с — стала величина.

     Знаходимо похідну функції f(х) = х - с(х³ -х - 1). Дістанемо: f’(х)= . Підберемо число с так, щоб на відрізку 1≤x≤1,5 справджувалася умова | |<1. Можна взяти, наприклад, с = 0,2.

     Ітерацію  будемо здійснювати за формулою

     х_{k + 1} = x_k – 0,2(x³_{k –} x_k - 1) = .

     За  перше наближення кореня візьмемо x₁ = 1,3. Тоді послідовно дістанемо:  

     x₂ ≈ 1,321; x₃ ≈ 1,324; x₄ ≈ 1,325; x₅ ≈ 1,325.

     Оскільки  у межах точності обчислень  х₅ = x₄, то шуканим наближеним значенням кореня є х ≈ 1,325. 

     У шкільному курсі поглибленого вивчення математики зустрічаються такі приклади, у яких потрібно знайти графічно наближенні значення х, яке задовольняє рівняння.

     1. Знайти наближено дійсні корені рівняння .

     Розв’язання:

     Щоб знайти кількість коренів даного рівняння, досить визначити в скількох точках перетинаються графіки функцій і .

Побудувавши графіки функцій у₁ і у₂ , бачимо що вони перетинаються у трьох точках, а значить рівняння має 3 розв’язки х₁ = 0, х₂ = ,     х₃ = .

• Знайти наближено дійсні корені рівняння .

Розв‘язання:

Перетворюємо це рівняння так: , тоді у₁= , у₂ = . Щоб знайти корені даного рівняння, досить визначити в скількох точках перетинаються графіки функцій у₁= , у₂ = .

Дане  рівняння має безліч розв’язків, так  як графік у₂ = наближається до осі Ох та не перетинає її та у₁= - періодична то це корені виду х₁ = 1,1;

, . 

     

• Знайти  наближено дійсні корені рівняня

                

                  

     Щоб знайти корені даного рівняння, досить визначити, в скількох точках перетинаються графіки функцій і .

     х₁=0,

     х₂=4,3 ,

      ,

     Отже  щоб знайти точки слід підставити значення у формулу. 

 

Додатки

Додаток №1.Метод дотичних

     program Dotychna_2;

     var x,a,b,e,d1,d:real;

     Function f(x:real):real;

      begin

       f:=x*x*x-x-1;

      end;

     Function f1(x:real):real;

      begin

       f1:=3*x*x-1;

      end;

     Function f2(x:real):real;

      begin

       f2:=6*x;

      end;

     begin

      write('Vvedit tochnist, E='); readln(e);

      write('Vvedit a='); readln(a);

      write('Vvedit b='); readln(b);

      if f1(a)*f2(a)>0 then d1:=b

      else d1:=a;

      d:=d1-f(d1)/f1(d1);

      while abs(d-d1)>=e do

       begin

        d1:=d;

        d:=d1-f(d1)/f1(d1);

       end;

      writeln('d=',d:4:5);

      writeln('f(d)=',f(d):4:5);

      readln

     end.

     Додаток №2.Метод  хорд

program Hord;

var x,a,b,c,e,k1,k2:real;

Function f(x:real):real;

begin

  f:=x*x*x-x-1;

end;

Function f1(x:real):real;

begin

   f1:=3*x*x-1;

end;

Function f2(x:real):real;

begin

  f2:=6*x;

end; 

begin

write('Vvedit tochnist, E='); readln(e);

write('Vvedit a='); readln(a);

write('Vvedit b='); readln(b);

if f1(a)*f2(a)>0 then begin k1:=a; k2:=b end

else begin k2:=a; k1:=b end;

c:=k1-(f(k1)*(k2-k1))/(f(k2)-f(k1));

while abs(c-k1)>=e do

  begin

   k1:=c;

   c:=k1-(f(k1)*(k2-k1))/(f(k2)-f(k1));

  end;

  writeln('c=',c:4:5);

  writeln('f(c)=',f(c):4:5);

  readln

end.

     Додаток №3. Метод  ітерацій

program iteration;

const e=0.0001;

var x,a,b,c0,c:real;i,n:integer;

function f(var x:real):real;

begin

f:=0.2*x-sin(x);

end;

begin

writeln('vedit a,b');

readln(a,b);

c:=(a+b)/2;

repeat

c0:=c;

c:=c0-0.1*f(c0);

until abs(c-c0)<e;

writeln('x0=',c:0:8);

writeln('Perevirka: 0=',f(c):0:8);

readln

end.

     Додаток №4.Метод  поділу

program podil;

const e=0.0001;

var a,b,c:real;i,n:integer;

function f(x:real):real;

begin

f:=x*sqr(x)+3*X-1;

end;

begin

writeln('vedit a,b');

readln(a,b);

if f(a)*f(b)<0 then

begin

n:=trunc(ln(b-a)/e/ln(2))+1;

for i:=1 to n do

begin

c:=(a+b)/2; if f(a)*f(c)<0 then b:=c else a:=c;

end; end;

writeln('x0=',c:0:8);

writeln('Perevirka:0=',f(c):0:8);

readln

end.

 

      Висновки

     Усе частіше в літературі зустрічаються  рівняння, розв’язання яких стандартними способами важке, громіздке, а інколи і неможливе. Тоді можна спробувати використати властивості функцій, які є складовими рівняння.

     Використовуючи  властивості монотонності функцій,  підбираємо один чи кілька коренів  рівняння, доводимо, що інших коренів немає, при цьому використовуються графіки рівнянь.

     Деякі рівняння можна розв’язати за допомогою  оцінки лівої та правої частин рівняння.

     Під час розв'язування ірраціональних рівнянь  іноді зустрічаються вирази, що нагадують  тригонометричні тотожності. У таких випадках ефективно працює тригонометрична підстановка.

     Дуже  корисним є під час розв’язування деяких тригонометричних рівнянь частіше використовувати одиничне коло.

     Рівняння, в яких потрібно вияснити, чи має воно розв’язок, якщо так, то скільки їх, використовуються похідні, за допомогою яких знаходять екстремальні значень функції або їх області значень.

     Для розв’язування рівнянь, що містять змінну під знаком модуля, використовують формулу відстані між двома точками координатної прямої. 

     Математика  не терпить поспішності, неорганізованості, несистематичності. Поклавши собі за мету дослідити її малесеньку складову, я зрозумів, що можна при подальшому дослідженні до безконечності розширити рамки знань з математики взагалі і конкретно дослідити, а можливо, що й уточнити, відкрити нові напрями використання набутих знань в інших науках, бо в нинішньому науковому світі я не думаю, що фізика, біологія, техніка, інформатика можуть існувати без математики. Інтеграція науки сьогодні солідна. В свій час великий німецький вчений Гаусc сказав, що «астрономія і математика - це магнітні полюси, до яких раз у раз повертається компас мого розуму». З дозволу Гаусса я б доповнив «астрономія, фізика, інформатика, кібернетика і математика - це взаємопритягуючі магнітні полюси наукового поступу».