Определение закона распределения вероятностей результата измерения

                                                       

                                            (6)                     

63. Определение оценок третьего центрального момента  по формуле (7):

                                                             

                                               (7)

1.64  Определение коэффициента асимметрии по формуле (8):

                                                        

                                                              (8)

                                                       

65. Определение стандартного отклонения коэффициента        асимметрии по формуле (9):   

 

                                                                                                          (9)

 

66. Определение оценки симметричности распределения. Распределение можно считать симметричным, если выполняется условие:

0,017≤0,249

Условие выполняется, значит, распределение симметрично.

67. Определение эксцесса Э по формуле (10):

                                                              

                                                          (10)

Э=0,606

68. Определение коэффициента эксцесса по формуле (11):

                                                               

                                                        (11)

69. Определение показателя формы. Показатель формы распределения связан с эксцессом Э функциональной зависимостью и определяется по формуле (12):                                                                                                   

                                        

                                                     (12)

     Он определяется по графику зависимости показателя формы от эксцесса Э.  =

70. Определение числа интервалов m по формуле (13):

                                

                                                             

                                                      (13)

 

=9

 

71. Определение ширины интервалов d по формуле (14):

                

                                                       

=10                                                   (14)

d=3,67

72. Определение суммы частостей      по   всем интервалам     W   по формуле (15):

                                                                                                                     (15)

                                                        

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Таблица 2 - Определение суммы частостей

 

	ni
«-9,66;-6,18»	7
«-6,18;2,29»	7
«2,29;1,53»	22
«1,53;5,53»	54
«5,53;9,53»	73
«9,53;13,21»	26
«13,21;16,62»	13
«16,62;20,48»	9
«20,48;22»	2
сумма	213

 

73. Определение энтропийного коэффициента к по формуле (16):

 

                                                               

,                                                              (16)

                                                        где                                        (17)

 

Согласно формул 16 и 17 определим энтропийный коэффициент:

 

                                                                     

 

74. Построение гистограммы.

        Гистограмма эмпирического распределения показана на рисунке 1.

Рисунок 1 – Гистограмма  эмпирического распределения

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2. Проверка соответствия эмпирического распределения теоретическому

Критерий согласия Пирсона (χ²) применяют для проверки гипотезы о соответствии эмпирического распределения предполагаемому теоретическому распределению F(x) при большом объеме выборки (n ≥ 100). Критерий применим для любых видов функции F(x), даже при неизвестных значениях их параметров, что обычно имеет место при анализе результатов механических испытаний. В этом заключается его универсальность.

Статистикой критерия Пирсона  служит величина

 
,                                              (18),

 
где p_j - вероятность попадания изучаемой случайной величины в j-и интервал, вычисляемая в соответствии с гипотетическим законом распределением F(x).

При вычислении вероятности p_j нужно иметь в виду, что левая граница первого интервала и правая последнего должны совпадать с границами области возможных значений случайной величины. Например, при нормальном распределении первый интервал простирается до -∞, а последний - до +∞.

Нулевую гипотезу о соответствии выборочного распределения теоретическому закону F(x) проверяют путем сравнения вычисленной по формуле . величины с критическим значением χ²_α, найденным по таблице Лапласа для уровня значимости α и числа степеней свободы k = e₁ - m - 1. Здесь e₁ - число интервалов после объединения; m - число параметров, оцениваемых по рассматриваемой выборке. Если выполняется неравенство χ² ≤χ²_α,  
то нулевую гипотезу не отвергают. При несоблюдении указанного неравенства принимают альтернативную гипотезу о принадлежности выборки неизвестному распределению.

Недостатком критерия согласия Пирсона является потеря части первоначальной информации, связанная с необходимостью группировки результатов наблюдений в интервалы и объединения отдельных интервалов с малым числом наблюдений. В связи с этим рекомендуется дополнять проверку соответствия распределений по критерию χ² другими критериями. Особенно это необходимо при сравнительно малом объеме выборки (n ≈ 100).        

 Приведем схему  применения  критерия для сопоставления двух эмпирических распределений:

 

Рисунок 2. Схема применения критерия Пирсона

Проделав необходимые  вычисления в Ms Excel составили следующую таблицу:

Qi	Qi+1	Zi	Zi+1	Ф(zi)	Ф(zi+1)	Pi	nPi	ni-nPi	(ni-nPi)^2/nPi
-9,66	-6,18	-2,77708	-2,178518775	-0,4972	-0,4854	0,01180	2,5134	4,4866	8,008904098
-6,18	2,29	-2,17852	-0,721664273	-0,485	-0,2642	0,22080	47,0304	-40,0304	34,0722793
2,29	1,53	-0,72166	-0,852385574	-0,2642	-0,3023	-0,03810	-8,1153	30,1153	-111,7557323
1,53	5,53	-0,85239	-0,164378726	-0,3023	-0,0636	0,23870	50,8431	3,1569	0,196015145
5,53	9,53	-0,16438	0,523628123	-0,0636	0,1985	0,26210	55,8273	17,1727	5,282390968
9,53	13,21	0,523628	1,156594424	0,1985	0,3749	0,17640	37,5732	-11,5732	3,564747167
13,21	16,62	1,156594	1,743120263	0,3749	0,4591	0,08420	17,9346	-4,9346	1,357726248
16,62	20,48	1,74312	2,407046872	0,4591	0,4918	0,03270	6,9651	2,0349	0,594509484
20,48	22	2,407047	2,668489474	0,4918	0,4962	0,00440	0,9372	1,0628	1,205232437

 

Таблица 3. Проверка соответствия по критерию Пирсона

В результате вычислений получили следующие данные:

X²= -57,47392743

                                         (19),

 при к=6 и α=0,05                                    (20),

Соблюдается неравенство  χ² ≤χ²_α, что означает, что гипотезу о нормальном распределении выборки не отвергают. Выборка распределена нормально.

 

 

 

 

 

 

 

Заключение

 

Итак, проделав возможные  вычисления с помощью Microsoft Exсel мы доказали нормальность распределения предоставленной выборки. Вариационный ряд симметричен, кривая распределения плосковершинная. Присутствует легкая асимметрия в левой части, однако в целом распределение симметрично.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Список  использованных источников

 

1. Методические указания к курсовой работе, Хамханова Д.Н., У-У,2008 
2. Гмурман В.Е. Теория вероятностей иматематическая статистика. 9-е изд., стер. - М.: Высшая школа, 2003. - 479 с. 
3. Кибзун и др. Теория вероятностей и математическая статистика. базовый курс с примерами и задачами. М.: Физматлит, 2002. - 224 с.
4. http://www.termist.com/bibliot/stud/stepnov/081_2.htm
5. http://matstats.ru/pirs.html
6. http://ru.wikipedia.org
7. http://window.edu.ru/resource/115/19115/files/63.pdf
8. http://dfe3300.karelia.ru/koi/posob/PT

 

					Д 290.03.1.01.003.0000 ПЗ
Изм.	Лист	№ докум.	Подп.	Дата
Разраб.		Борисов К.А.			Обработка экспериментальных данных	Литер			Лист	Листов
Пров.		Хамханова Д.Н.					У		2	29
						ВСГТУ,гр. 2169
Н. контр.
Утв.