Основные виды чисел и формирование понятия об арифметических действиях

Оглавление

Введение

1. Основные виды чисел и формирования понятия об арифметических действиях над натуральными и рациональными числами

1.1. Историческая справка

1.2. Основные виды чисел

1.3.  Натуральные числа

1.4. Арифметические действия над натуральными числами

1.5. Рациональные числа

1.6. Арифметические действия над натуральными числами

2. Практические задачи по теме «Основные виды чисел и формирования понятия об арифметических действиях над натуральными и рациональными числами»

2.1. Натуральные числа

2.2. Рациональные числа

2.3. Задачи для самостоятельного решения

Заключение

Список использованной литературы:

Приложение

Введение

Число — абстракция, используемая для количественной характеристики объектов. Числа возникли еще в первобытном обществе в связи с потребностью людей считать предметы. С течением времени по мере развития науки число превратилось в важнейшее математическое понятие.

Актуальность темы обусловлена тем, что для решения задач и доказательства различных теорем необходимо понимать, какие бывают виды чисел.

Цель  данной работы – проанализировать основные виды чисел и сформировать понятия об арифметических действиях над натуральными и рациональными числами. Для  достижения поставленной цели необходимо решить ряд задач:

- рассмотреть основные виды чисел, а именно: натуральные, целые, рациональные, вещественные, комплексные;

-  раскрыть свойства натуральных и рациональных чисел, их множество, запись и аксиомы;

- подробно разобрать арифметические действия над натуральными и рациональными числами, такие как сложение, умножение, вычитание, деление и натуральная степень числа;

-  рассмотреть примеры с подробными решениями;

-  подобрать задачи для самостоятельного решения.

Для решения поставленных задач и проверки гипотезы в курсовой работе использовались следующие методы исследования:

-  теоретический анализ математической, историко-математической литературы и научных изданий;

- анализ и обобщение знаний, полученных многими учеными в процессе развития науки математика;

-  подробное рассмотрение формул, аксиом и законов, на которых строится научный материал по заданной теме;

-  подробный разбор примеров заданий с решениями.

Структура и содержание данной работы состоят в следующем: курсовая работа состоит из введения; двух глав, первая из которых содержит теоретический анализ материала, вторая – практическое решение задач и заданий для самостоятельного решения; заключения, приложения и библиографического списка.

1. Основные виды чисел и формирования понятия об арифметических действиях над натуральными и рациональными числами

1.1. Историческая справка

Основной объект арифметики – число. Натуральные числа, то есть 1, 2, 3, 4, … и так далее, возникли еще в доисторические времена из потребности счета конкретных предметов.

Важная задача арифметики – научиться преодолевать конкретный смысл названий считаемых предметов, отвлекаться от их формы, размера, цвета и тому подобное. Эта задача в процессе развития человеческого общества была постепенно достигнута параллельно с развитием письменности: понятие натурального числа принимает все более отвлеченную форму, все более закрепляется отвлеченное от всякой конкретности понятие числа, воспроизводимого в форме слов в устной речи и в форме обозначения специальными знаками в письменной.

Важным шагом в развитии понятия натурального числа является осознание бесконечности натурального ряда чисел, т.е. потенциальной возможности его безграничного продолжения. Отчетливое представление о бесконечности натурального ряда отражено в знаменитых памятниках античной математики (3 век до н.э.), в трудах Евклида и Архимеда

Появление дробных (положительных рациональных) чисел был связано с необходимостью производить измерения, т.е. процедуру, в которой какая-либо величина сравнивается с другой величиной того же рода, выбираемой в качестве эталона (единицы измерения). Но так как единица измерения не всегда укладывалась в целое число раз в измеряемой величине, и пренебречь этим обстоятельством в ряде случаев было нельзя, то возникла практическая потребность ввести более «мелкие» числа, нежели натуральные. Это и было источником возникновения наиболее «простых» дробей, таких как половина, треть, четверть и т. д. Дальнейшее развитие понятия числа было обусловлено уже не только непосредственной практической деятельностью человека, но и следствием развития математики.

Число – это важнейшее математическое понятие. Возникновение понятия натурального числа относится к первобытному обществу, и было обусловлено необходимостью счета в практической деятельности человека. Первоначально понятие отвлеченного числа отсутствовало – число было «привязано» к тем предметам, которые пересчитывали, и в языке первобытных народов существовали различные словесные обороты для обозначения числа разных предметов. Отвлеченное понятие натурального числа (т.е. числа, не связанного с пересчетом конкретных предметов) появляется и закрепляется вместе с развитием письменности и введением для обозначения чисел определенных символов.

Введение отрицательных чисел было вызвано развитием алгебры как науки, дающей общие способы решения арифметических задач, независимо от их конкретного содержания и исходных числовых данных. Отрицательные числа систематически употреблялись индийскими математиками еще в VI – XI веках. В европейской науке отрицательные числа окончательно вошли в употребление лишь после работ Р.Декарта в XVII веке, давшего их геометрическое истолкование.

Множество рациональных чисел оказывается достаточным для удовлетворения большинства практических потребностей – с помощью рациональных чисел измерения можно выполнять с любой степенью точности.

Дальнейшее расширение понятия числа произошло в XVII веке в период зарождения современной математики, когда возникла необходимость ввести четкое определение понятия числа. Такое определение было дано одним из основоположников математического анализа И.Ньютоном во «Всеобщей арифметике»: «Под числом мы понимаем не столько множество единиц, сколько отвлеченное отношение какой-нибудь величины к другой величине того же рода, принятой нами за единицу». Эта формулировка дает единое определение действительного числа, как рационального, так и иррационального. (О существовании несоизмеримых отрезков, отношение которых есть число иррациональное, было известно еще ученым Древней Греции.) В дальнейшем, в 70-х годах XIX века строгая теория действительного числа была развита в работах Р.Дедекинда, Г.Кантора и К.Вейерштрасса.

Основными математическими объектами с незапамятных времен являются числа, множества и элементы множества, их свойства. Число́ — абстракция, используемая для количественной характеристики объектов. Возникнув ещё в первобытном обществе из потребностей счёта, понятие числа изменялось и обогащалось и превратилось в важнейшее математическое понятие. Письменными знаками (символами) для записи чисел служат цифры. Современная математика оперирует несколько другими математическими понятиями. Если внимательно проанализировать их суть, то они в общем–то являются эквивалентными или изоморфными понятиям "число", "множество", "отображение", "свойство".

В теоретико–множественном смысле числа являются классом множеств с определенными свойствами. Эти свойства выражаются через тип упорядоченности, размерность, топологические и метрические свойства основанных на них множеств. Основное свойство чисел – это их мощность, которая может быть конечной, счетной или континуальной. Соответственно, числа могут быть представителями любого класса множеств с подходящей мощностью. Даже множества с мощностью больше континуума можно представить как множество всех функций, определенных на числовом множестве. В этом проявляется универсальность понятия "число".

Другое важное свойство чисел – это их размерность. Есть несколько классов чисел с различающимися свойствами. Есть линейные (одномерные) числа – это натуральные N, положительные N+, целые Z, рациональные R и вещественные Q числа. Есть составные многомерные или гиперкомплексные числа – это комплексные числа C, кватернионы H, бикватернионы B, невырожденные квадратные матрицы M, числа Клиффорда K и другие.

Выводы:

В параграфе 1.1. были рассмотрены следующие вопросы:

-  история появления и развития определения числа;

-  задачи арифметики;

-  расширение понятия числа;

-  основные математические объекты – числа;

-  размерность чисел.

1.2. Основные виды чисел

Самыми простыми числами являются целые, рациональные, вещественные и комплексные числа. Они коммутативны, ассоциативны и дистрибутивны.

Основными видами чисел, обладающими похожими свойствами, являются четыре вида чисел. Это действительные числа, комплексные, кватернионы и октавы. Коммутативность умножения для последних двух видов чисел не выполняется. Но они все обладают алгебрами без делителей нуля.

Дальнейшие расширения чисел могут не иметь и свойство ассоциативности. Дистрибутивность соблюдается.

Натуральные числа, получаемые при естественном счёте; множество натуральных чисел обозначается N. Таким образом, (иногда к множеству натуральных чисел также относят ноль, то есть N = {0, 1, 2, 3, …}). Натуральные числа замкнуты относительно сложения и умножения (но не вычитания или деления). Натуральные числа коммутативны и ассоциативны относительно сложения и умножения, а умножение натуральных чисел дистрибутивно относительно сложения.

Целые числа, получаемые объединением натуральных чисел с множеством отрицательных чисел и нулём, обозначаются Z = {–2, –1, 0, 1, 2, …}. Целые числа замкнуты относительно сложения, вычитания и умножения (но не деления).

Рациональные числа — числа, представленные в виде дроби (n ≠ 0), где m — целое число, а n — натуральное число. Для рациональных чисел определены все четыре «классические» арифметические действия: сложение, вычитание, умножение и деление (кроме деления на ноль). Для обозначения рациональных чисел используется знак Q.

Действительные (вещественные) числа представляют собой расширение множества рациональных чисел, замкнутое относительно некоторых (важных для математического анализа) операций предельного перехода. Множество вещественных чисел обозначается R. Его можно рассматривать как пополнение поля рациональных чисел Q при помощи нормы, являющейся обычной абсолютной величиной. Кроме рациональных чисел, R включает множество иррациональных чисел, не представимых в виде отношения целых. Кроме подразделения на рациональные и иррациональные, действительные числа также подразделяются на алгебраические и трансцендентные. При этом каждое трансцендентное число является иррациональным, каждое рациональное число — алгебраическим.

Комплексные числа C, являющиеся расширением множества действительных чисел. Они могут быть записаны в виде z = x + iy, где i — так называемая мнимая единица, для которой выполняется равенство i2 = − 1. Комплексные числа используются при решении задач квантовой механики, гидродинамики, теории упругости и пр.

Для перечисленных множеств чисел справедливо следующее выражение: N  Z  Q  R  C.

Гипердействительные числа – это числа вида

1)      a + e, где a – обычное число, a - бесконечно малое число;

2)      ∞ = 1/e – бесконечно большое число.

Гипердействительные числа не являются числами в обычном понимании. Они применяются во многих разделах математики, особенно в дифференциальном и интегральном исчислениях, а также везде, где используются предельные числовые последовательности, даже при определении вещественных чисел.

Выводы:

В параграфе 1.2. были рассмотрены:

-  общие сведения об основных видах чисел;

-  натуральные, целые, рациональные, действительные и комплексные числа, их представление, обозначение и особенности;

-  гипердействительные числа.

1.3.  Натуральные числа

Понятия "число" и "элемент множества" появилось у человечества в связи с необходимостью счета и различения различных предметов. Множество чисел, необходимых для этого, объединяются понятием "натуральные числа" – N+. Обычно под натуральными числами понимаются числа от единицы до бесконечности. Иногда к ним присоединяется и число "ноль". Число "ноль" означает отсутствие чего–бы то ни было в счете.

Важным шагом в развитии понятия натурального числа является осознание бесконечности натурального ряда чисел, т.е. потенциальной возможности его безграничного продолжения.

        Считается, что термин «натуральное число» впервые применил римский государственный деятель, философ, автор трудов по математике и теории музыки Боэций (480 - 524 гг.), но еще греческий математик Никомах из Геразы говорил о натуральном, то есть природном ряде чисел.

        Натуральные числа имеют две основные функции: характеристика количества предметов и характеристика порядка предметов, размещенных в ряд. В соответствии с этими функциями возникли понятия порядкового числа (первый, второй и т.д.) и количественного числа (один, два и т.д.).

Четыре аксиомы натуральных чисел:

1) существует минимальное натуральное число "единица" = 1, но иногда это число "ноль" = 0. Они отличаются своими свойствами.

2) для каждого числа существует единственное следующее число: a → a'. Отношение «следующее число» является отношением частичного порядка.