Основные виды чисел и формирование понятия об арифметических действиях

3) Можно определить и понятие единственного «предыдущего числа», но оно определено не для всех чисел: минимальное число не имеет предыдущего числа.

4) Закон дедукции: если какое–то утверждение верно для числа n, и из этого следует, что оно верно и для следующего числа, то это утверждение верно для любого большего числа (закон дедукции).

Свойства натуральных чисел:

Для натуральных чисел определены понятия "сложение чисел" и "умножение на число". Интуитивно они понятны каждому человеку, знакомому со счетом. Эти операции определены индуктивно на основе соотношений, присущих числам 0 и 1:

Для числа "единица" = 1 определены свойства:

1) a + 1 = a' – это определение следующего числа;

2) a ∙ 1 = a.

Для числа "нуль" = 0 определены свойства:

3) a + 0 = a (при наличии нуля во множестве натуральных чисел. Но ноль необходимо ввести во множество натуральных чисел, чтобы было решение уравнения a + x = a. Такое множество чисел называется множеством положительных чисел);

4) a ∙ 0 = 0;

5) отсутствие делителей у нуля.

Обратных элементов по этим операциям нет, и поэтому это множество является моноидом по этим операциям.

Операции "сложение чисел" и "умножение на число" обладают свойствами:

6,7) коммутативности: a  b = b a;

8,9) ассоциативности: (a b) c = a (b c);

10) дистрибутивности: (a + b) ∙ c = a ∙ с + b ∙ c.

Множество натуральных чисел обладает нейтральными элементами по обеим операциям:

На множестве натуральных чисел определено отношение порядка < со стандартными свойствами. Это отношение определяется на основе свойства, которым обладает отношение «следующее число» по закону индукции на основе транзитивности отношения:

15) a < a’.

Свойства этого отношения:

a) a, b  Q: (a b)  (b  a)  a = b;

b) x, y, z  Q: (x < y)  (y < z) → x < z (транзитивность порядка);

Они являются логическими утверждениями.

В теоретико–множественном смысле множество натуральных чисел счетно. Это определение в принципе тавтология, потому что счетность определяется через изоморфность множеству натуральных чисел.

Запись натуральных чисел:

При записи чисел у разных народов в разные времена применялись разные способы записи чисел. В их основе применялись позиционные и непозиционные способы записи чисел. В современном мире применяется позиционный десятичный способ записи натуральных чисел. Способ записи чисел называют нумерацией или счислением.

В основе современного позиционного способа записи чисел лежит способ, применяемый в древней Индии, с помощью десяти цифр. Вначале индийских цифр было всего 9: 1,2,3, 4, 5, 6, 7, 8 и 9. Цифра 0 появилась заметно позже, – скорее всего, около 500 года нашей эры. А поначалу, если оказывалось, что в каком–то разряде нет единиц, то между соседними разрядами оставляли пробел. Например, число 209 писали так: 2 9. Понятно, что при подсчете таких пробелов очень легко ошибиться. Чтобы избавиться от этих неприятностей, сначала вместо пустого разряда стали ставить точку, а потом – маленький кружочек, который постепенно превратился в цифру 0.

Согласно этому способу, любое натуральное число записывается в виде:

xn xn–1 … x2 x1;

где x – одно из десяти цифр. Число n показывает вес соответствующей позиции:

N(xn) = xn·10n–1.

А само число может быть найдено в соответствии с формулой:

N(xnxn–1… x2x1) = xn·10n–1 + xn–1·10n–2 + … + x2·101 + x1·100.

Несмотря на то, что натуральных чисел бесконечное множество и то, что мы можем записать только не бесконечно большие числа, можно считать, что мы можем записать любое число указанным выше способом, потому что любое число явно не бесконечное и запись ее будет содержать конечное число символов.

Множество натуральных чисел:

Натуральные числа – это числа, используемые для счета:

1,2,3,4,…,n,…                                                (1)       

Из любых двух соседних чисел в записи (1) число, стоящее справа, называется последующим относительно числа, стоящего слева.

Натуральные числа (1) образуют множество, называемое множеством натуральных чисел. Множество всех натуральных чисел обозначается символом  N:

N = {1; 2; 3; …; n;…}.

Множество натуральных чисел является упорядоченным множеством, т.е. для любых двух натуральных чисел m и n имеет место одно из следующих соотношений:

либо m=n (m равно n),

либо m<n (m меньше n),

либо n<m (n меньше m).

Наименьшим натуральным числом является 1 (единица).

Выводы:

В параграфе 1.3. были рассмотрены:

-  применение термина «натуральное число»;

-  четыре аксиомы натуральных чисел;

-  свойства натуральных чисел;

-  запись натуральных чисел;

-  множество натуральных чисел.

1.4. Арифметические действия над натуральными числами

В множестве натуральных чисел вводятся две основные арифметические операции – сложение и умножение. Для обозначения этих операций используются соответственно символы + и   или .

Сложение натуральных чисел.

Каждой паре натуральных чисел (n; p) ставится в соответствие натуральное число s, называемое из суммой. Сумма s состоит из стольких единиц, сколько их содержится в числах n и p. О числе s говорят, что оно получено в результате сложения чисел n и p, и пишут

s=n+p.                                                         (2)

Числа n и p в записи (2) называются слагаемыми. Операция сложения натуральных чисел подчинена правилам:

1)     коммутативность: n+p = p+n ;

2)     ассоциативность: (n+p)+k = n+(p+k).

Умножение натуральных чисел.

Каждой упорядоченной паре натуральных чисел (n; p) ставится в соответствие натуральное число m, называемое их произведением. Произведение m состоит из стольких единиц, сколько их содержится в числе n, взятых столько раз, сколько единиц содержится в числе p. О числе m говорят, что оно получено в результате умножения чисел n и p, и пишут

m = np или m = np.                                          (3)

Числа n и p в записи (3)называются сомножителями.

Операция умножения натуральных чисел подчинена правилам:

1)     коммутативность: np = pn;

2)     ассоциативность: (np) k = n(pk).

Операции сложения и умножения натуральных чисел связаны законом дистрибутивности умножения относительно сложения:

(n+p) k = nk + pk.

Таким образом, сумма и произведение любых двух натуральных чисел опять будут натуральными числами. Поэтому говорят, что множество всех натуральных чисел замкнуто относительно операций сложения и умножения.

          Вычитание натуральных чисел. 

Вычитание натуральных чисел есть операция, обратная сложению, т.е. соответствие, которое паре натуральных чисел (n; p) относит такое натуральное число r, что

n = p + r.

О числе r говорят, что оно получено в результате вычитания числа p из числа n, и пишут

r = n – p.

Число r называется разностью чисел n и p; число n в записи называется уменьшаемым, а число p – вычитаемым.

В множестве натуральных чисел разность двух натуральных чисел r=n–p существует тогда и только тогда, когда n  > p; поэтому говорят, что множество натуральных чисел не замкнуто относительно вычитания.

Деление натуральных чисел. 

Деление натуральных чисел есть операция, обратная умножению, т.е. соответствие, которое паре натуральных чисел (n; p) относит такое натуральное число q, что

n = p  q.

О числе q говорят, что оно получено в результате деления числа n на число p, и пишут

q = , или q = n / p, или q = n : p.

Число q называется частным натуральных чисел n и p; число n называется делимым, a число p – делителем.

В множестве натуральных чисел частное определено не для любой пары натуральных чисел (n; p), т.е. множество натуральных чисел не замкнуто относительно операции деления. Так, например, положим n = 7, p = 2. Для этой пары натуральных чисел нельзя подобрать такого натурального числа q, чтобы выполнялось равенство

7 = 2 q.

Выводы:

В параграфе 1.4. были рассмотрены:

-  символы (знаки) арифметических операций;

-  сложение натуральных чисел;

-  умножение натуральных чисел;

-  вычитание натуральных чисел;

-  деление натуральных чисел.

1.5. Рациональные числа

Числа целые, дробные (положительные и отрицательные) и нуль получили общее название рациональных чисел. Совокупность рациональных чисел обладает свойством замкнутости по отношению к четырем арифметическим действиям. Это значит, что сумма, разность, произведение и частное (кроме частного при делении на нуль, которое не имеет смысла) любых двух рациональных чисел является снова рациональным числом.

Совокупность рациональных чисел упорядочена в отношении понятий «больше» и «меньше». Далее, совокупность рациональных чисел обладает свойством плотности: между любыми двумя различными рациональными числами находится бесконечно много рациональных чисел. Это даёт возможность при помощи рациональных чисел осуществлять измерение (например, длины отрезка в выбранной единице масштаба) с любой степенью точности.

Таким образом, совокупность рациональных чисел оказывается достаточной для удовлетворения многих практических потребностей. Формальное обоснование понятий дробного и отрицательного числа было осуществлено в XIX в. и не представило, в отличие от обоснования натурального числа, принципиальных затруднений.

Совокупность рациональных чисел оказалась недостаточной для изучения непрерывно изменяющихся переменных величин. Здесь оказалось необходимым новое расширение понятий числа, заключающееся в переходе от множества рациональных чисел к множеству действительных (вещественных) чисел.

Рациональными называются числа вида , где на множестве Q рациональных чисел выполняются все 4 арифметические действия. Число , где n0, называют обыкновенной дробью, при этом m называется числителем дроби, а n - её знаменателем.

Среди положительных различают правильные и неправильные обыкновенные дроби. Всякую неправильную дробь можно записать в виде суммы натурального числа и правильной дроби или в виде натурального числа. В такой записи не используют знака «+», а число, записанной таким образом, называют смешанным.

Основное свойство дроби: если числитель и знаменатель данной дроби умножить или разделить на одно и то же натуральное число, то получится дробь, равная данной.

Деление числителя и знаменателя дроби на их общий делитель называется сокращением дроби. Дробь называется несократимой, если её числитель и знаменатель – взаимно простые числа (их НОД равен 1). Всякую дробь можно записать в виде несократимой дроби. Все целые числа являются рациональными.

Каждая обыкновенная дробь может быть единственным образом представлена в виде бесконечной периодической десятичной дроби и наоборот: каждая бесконечная периодическая десятичная дробь может быть единственным образом представлена в виде обыкновенной дроби. Следовательно, справедливо определение: всякая бесконечная периодическая десятичная дробь называется рациональным числом.

Выводы:

В параграфе 1.5. были рассмотрены:

-  понятие рационального числа;

-  свойство замкнутости совокупности рациональных чисел;

-  основное свойство дроби;

-  определение рационального числа. 

1.6. Арифметические действия над натуральными числами

Как известно, две дроби и равны, то есть изображают одно и то же рациональное число, в том и только в том случае, когда ml = nk

Очевидно, что для любого целого числа r0:

                                                 = 

Поэтому любое рациональное число можно представить в виде отношения двух чисел бесконечным числом способов.

В множестве всех рациональных чисел выполнимы действия сложения, умножения, вычитания и деления (кроме деления на нуль).

Сумма двух рациональных чисел  и определяется формулой:

+ = .

Произведение двух рациональных чисел  и определяется формулой:

 = .

Поскольку одно и то же рациональное число допускает несколько записей (например, 1/3 = 2/6 = 3/9 =   ...  ),    следовало бы показать, что  сумма и произведение рациональных чисел не зависят от того, как записаны слагаемые или сомножители.

При сложении и умножении рациональных чисел соблюдаются следующие основные законы:

1) коммутативный  (переместительный) закон сложения: