Понятие о цилиндрических пространствах. Различные типы цилиндрических пространств

1. Понятие о цилиндрических пространствах. Различные  типы цилиндрических пространств.

        Исследование колебаний  маятниковых систем (простой маятник, система связанных маятников, двойной  маятник и т.д.), электромеханических  систем, фазовых систем автоматической подстройки частоты приводит к необходимости рассмотрения системы дифференциальных уравнений вида

      (1),

где переменные являются угловыми(фазовыми) координатами, а функции Ф_i, Х_j – периодические функции этих координат. Физическое состояние рассматриваемой системы, описывается точками вида (φ₁+2n₁π, … , φ_m+2n_mπ; x₁, … ,x_n), где n₁, … , n_m – целые числа. Поэтому в качестве фазового пространства следует взять боковую поверхность цилиндра. Этим обеспечивается однозначность и непрерывность соответствия между состояниями системы и точками фазового пространства. Полученное таким образом цилиндрическое фазовое пространство R(φ₁, … , φ_m) геометрически можно представить себе как топологическое произведение m-мерного тора на n-мерное евклидово пространство переменных x₁, … ,x_n. Евклидово пространство R переменных φ₁, … , φ_m, x₁, … ,x_n будет накрывающим пространством для цилиндрического пространства R(φ₁, … , φ_m) . Цилиндрическое пространство R(φ₁, … , φ_m) можно получить из пространства R, если это пространство разрезать вдоль поверхностей φ_i= -π, φ_i= π (i=1, … ,m) и осуществить склеивание полученной «полосы» вдоль поверхностей разреза. Склеивание получится не по всем координатам, полученное таким образом пространство обозначим символом R(φ_r, … , φ_s).

   Качественное  исследование системы (1) состоит в  изучении основных элементов фазового портрета – особых точек, сепаратрис и предельных циклов.

Дадим определение особой точки.

Рассмотрим  систему ДУ

                   (i=1, …,m).       (2)

Всякую  точку  , в которой определены правые части уравнений системы (2) и в некоторой окрестности которой выполнены условия существования и единственности решения системы, называют обыкновенной точкой системы ДУ (2). Через обыкновенную точку в фазовом пространстве системы проходит одна и только одна интегральная кривая системы, проекция которой на пространство R переменных x₁, … ,x_m называется фазовой траекторией. Если в некоторой точке Р все функции Х_i обращаются в нуль, то эта точка называется особой. Особые точки являются положениями равновесия рассматриваемой системы. Если точка Р особая, то в общем случае нельзя гарантировать даже существование решений системы (2) с начальными условиями . Поэтому характер расположения интегральных кривых в окрестности особой точки системы ДУ представляет особый интерес. Рассмотрим классификацию и свойства особых точек системы двух линейных однородных ДУ

,           (3)

где a,b,c,d – постоянные числа. Особой точкой данной системы является точка О(0,0). Областью притяжения точки О(0,0) называется совокупность всех точек фазового пространства системы, притягивающихся к ней с ростом t. Характер расположения интегральных кривых в окрестностях особой точки и вопрос устойчивости нулевого решения системы зависит от значений ₁ и ₂, которые являются корнями характеристического уравнения

.              (4)

Типы  положений равновесия:

1. ₁ и ₂ – вещественные положительные, то О(0,0) – «неустойчивый узел». Изображающая точка с ростом t удаляется от особой точки, на какой бы интегральной кривой она не находилась.
2. ₁ и ₂ – вещественные отрицательные, то О(0,0) – «устойчивый узел». Точка с ростом t движется к началу координат.
3. ₁ и ₂ – вещественные различных знаков, то О(0,0) – особая точка типа «седло». Изображающая точка, двигаясь по интегральной кривой, с ростом t приближается к началу координат на некоторое минимальное расстояние, а затем удаляется в бесконечность.
4. ₁ и – кратные корни уравнения (4), то будем иметь вырожденный узел или дикритический узел.
5. ₁ и ₁=p-qi и ₂=p+qi, то при особая точка называется устойчивым фокусом. Изображающая точка системы с ростом t из любого положения на фазовой плоскости приближается к началу координат асимптотически по логарифмической спирали.
6. ₁ и ₁=p-qi и ₂=p+qi, то при особая точка называется неустойчивым фокусом. Изображающая точка удаляется от особой точки по развертывающей логарифмической спирали.
7. ₁ и ₁=p-qi и ₂=p+qi, то при точка О(0,0) – особая точка типа «центр», которая всегда устойчива, но не асимптотически.

   В невырожденном случае системы (3) характер особой точки сохраняется, также  сохраняется направление движения изображающей точки по интегральным кривым. В случае 3 невырожденная система имеет две интегральные кривые, проходящие через начало координат, касаясь соответствующих интегральных прямых системы (3). Эти интегральные кривые называются сепаратрисами.

   Помимо  особых точек и сепаратрис особых седловых точек, в описании поведения  траекторий системы важную роль играют замкнутые траектории – предельные циклы (замкнутая интегральная кривая). В 1901г. И. Бендиксон провел подробное исследование предельных циклов, изучил случаи расположения интегральной кривой. Дюлаком был сформулирован критерий отсутствия замкнутых интегральных кривых системы. Классификация предельных циклов цилиндрического фазового пространства представлена следующим образом:

1. Циклы первого рода (О-циклы) – это циклы, неохватывающие цилиндр, внутри этого цикла существует по крайней мере одна особая точка системы (И. Бендиксон). О-циклы могут быть непрерывно деформируемы на R(φ₁, … , φ_m) в точку.
2. Циклы второго рода (φ-циклы) – предельные циклы, охватывающие цилиндр. При развертке цилиндра на плоскость (φ, )-циклы переходят в незамкнутые траектории.

   Используя функции Ляпунова можно убедиться  в отсутствии предельных циклов определенного  типа в цилиндрическом фазовом пространстве. 

2.Постановка  задачи об устойчивости  маятниковых систем

  в цилиндрическом  пространстве.

    Ярким примером динамической системы с цилиндрическим фазовым пространством являются маятниковые системы. Пусть правые части системы (1) обращаются в нуль при φ_i=0 (i=1, … ,m), x_j=0 (j=1, …. ,n). Требуется исследовать устойчивость нулевого решения этой системы. Возможны принципиально различные постановки задачи. В первой задаче требуется найти область притяжения нулевого положения равновесия в пространстве R, не принимая во внимание свойство цилиндричности координат. Решение этой задачи строится на устойчивости по Ляпунову.

    Вторая  задача устойчивости является для нас  наиболее интересной, т.к. в ней требуется  отыскать область притяжения в фазовом  цилиндрическом пространстве R(φ₁, … , φ_m). При этом точка пространства R считается лежащей в области притяжения, если она притягивается любой из точек вида φ_i=2n_iπ, x_j=0. В этом случае нас будет интересовать тип положения равновесия системы, отделение устойчивых положений равновесия от неустойчивых, определение формы области притяжения и отыскание ее границ. В рамках этой задачи рассматривается вопрос существования предельных циклов того или иного типа, методы отыскания этих циклов. В целом решается задача о разбиении фазового пространства на классы траекторий, принадлежащих области притяжения устойчивых положений равновесия и устойчивых предельных циклов. Также необходимо изучить изменение бифуркационных значений параметров системы, т.е. значений параметров, фигурирующих в правых частях системы (1), при которых меняется качественная картина расположения траектории в фазовом пространстве.

    Рассмотрим  постановку задачи об устойчивости маятниковых систем на конкретном примере. Проанализируем колебания физического маятника, горизонтальная ось повеса которого совершает равномерное вращение с угловой скоростью ω вокруг вертикальной оси, совпадающей с равновесным положением маятника. Будем исследовать только относительное движение маятника, соответствующее изменению угла θ, тогда дифференциальное уравнение запишется в виде ,                       (6)

где (m – масса маятника, k – коэффициент трения, l – длина подвеса). Уравнение (6) эквивалентно системе ДУ

                    (7).

 Система будет иметь особые точки вида (nπ,0), где n – целое число, а также особые точки, координата θ которых удовлетворяет уравнению

2ccosθ=b        (8).

В случае, когда уравнение (8) не имеет решения(b>2c), все равновесные состояния маятника исчерпываются точками θ= nπ, причем положение θ=0 является устойчивым положением равновесия, а начало координат – особая точка типа «устойчивый узел». Особая точка (π,0) является седлом и соответствует неустойчивому положению равновесия маятника. При достаточно малой угловой скорости ω, т.е. когда отсутствует вращающая сила, полученная качественная картина будет характерна и для обычного математического маятника, у которого на периоде -π наблюдается два состояния равновесия. Качественный портрет системы будет существенно отличаться в случае, когда система (7) будет иметь решения(b<2c) и другие особые точки, определенные уравнением (8). Заметим, что измениться характер особых точек (0,0) и (π,0), они обе будут седлообразного типа, а положение равновесия неустойчивым.

    Пусть есть корень уравнения (8), лежащий в интервале . Точка будет особой точкой системы (7) типа либо «устойчивый узел», либо «устойчивый фокус», а состояние маятника – устойчивое положение равновесия. В случае <0 получим аналогичную картину. Рассмотренный пример является демонстрацией маятника с двумерным цилиндрическим фазовым пространством, у которого на на периоде –π наблюдается более двух состояний равновесия, определенных четырьмя особыми точками (0,0), (π,0), , (- ,0).Так как для двумерного цилиндра возможно два типа периодических решений, которым соответствует периодические циклы двух типов, то постановка задачи об устойчивости маятниковых систем не ограничивается только определением типа устойчивости и отысканием границ (об этом говорили выше).

   3. Маятниковые системы различных типов. Теоремы Барбашина и Табуевой об устойчивости маятниковых систем в цилиндрическом пространстве.

    Для полного описания маятниковых систем необходимо рассматривать движение материальной точки по замкнутому контуру под действием силы, зависящей от положения х точки на контуре и её скорости. Поскольку контур замкнутый, то величину х можно считать угловой координатой. Уравнение движения точки в данном случае запишется в виде

    где есть периодическая по х функция . Если , то функцию можно рассматривать как силу, вынуждающую точку совершать движение по контуру, а слагаемое – как сопротивление. В этом случае уравнение переходит в уравнение

частный случай которого рассмотрели выше.

В зависимости  от вида функции  будем получать различные типы маятниковых систем, описание качественных картин расположения траекторий, на фазовой плоскости которых будет различным.

    Рассмотрим  ДУ (10), где а – положительная постоянная, функция есть непрерывная и непрерывно дифференцируемая периодическая функция периода 2π. Уравнение (10) эквивалентно системе

Фазовым пространством данной системы является двумерный цилиндр с угловой координатой х, на котором возможны два типа предельных циклов, а соответственно два типа периодических решений системы.

 В  случае а>0 система не будет иметь двух периодических решений, в частности не имеет предельных циклов первого рода, кроме вырожденных точек покоя. Если среднее значение функции на интервале [0, 2π] равно нулю, то будут отсутствовать циклы второго рода. В том случае, когда будет знакоопределенна, например <0, т.е. когда система (11) не имеет особых точек, периодические решения, соответствующие циклам первого рода, отсутствуют. Предельные циклы второго рода возможны, но не более одного. Причем решение второго уравнения системы (11) будет всюду положительным. Аналогичный результат получим для . Все траектории системы (11) асимптотически приближаются к этому предельному циклу при . Если функция меняет знак на периоде четное число раз, то имеются только две особые точки системы: (0,0) и (х₁,0). Точка (0,0) является типа либо «устойчивый узел», либо «устойчивый фокус»,а точка (х₁,0) есть особая точка типа «седло». Проводя исследование системы в полосе , где х₂=х₁-2π, особая точка (х₂,0) тоже является седловой. К каждой седлообразной особой точке будут примыкать четыре сепаратрисы. Изучая всевозможные траектории, составленные из сепаратрис особых точек, можно определить наличие или отсутствие периодического решения, а также его знак.