Понятие о цилиндрических пространствах. Различные типы цилиндрических пространств

При а=0 начало координат для системы (11) будет особой точкой типа «центр». Точки (х₁,0) и (х₂,0) остаются седловыми особыми точками. Любой траектории системы будет соответствовать периодическое решение.

    Видно, что интегральные кривые системы (11) непрерывно зависят от параметра а. Критическое значение параметра а=а_кр является бифуркационным значением а, при переходе через которое меняется качественная картина расположения траектории системы (11) в целом[теорема 1-4.3 С.70]. При таком значении параметра а второе уравнение системы (11)имеет знакоположительное периодическое решение, графиком которого служит кривая, проходящая через особые точки типа «седло» и не являющаяся предельным циклом; такое решение называют псевдопериодическим. При а>a_кр второе уравнение  не имеет периодических решений, соответствующих предельным циклам второго рода, оно будет знакопеременным. При будем иметь знакоположительное ограниченное решение уравнения

которое эквивалентно второму уравнению системы (11). Решение будет периодическим, соответствующим предельному циклу второго рода. Способ численного отыскания периодического решения уравнения (12) состоит в том, что вычисляются на достаточно большом промежутке времени траектория системы (11) с начальной точкой, достаточно близко отстоящей от предельного цикла второго рода. Заметим, что в силу периодического качественного портрета системы (11) каждая из точек (2nπ,0), где n – целое число, являясь устойчивой особой точкой системы фазовой плоскости (х,у) имеет область притяжения, которая может быть получена параллельным сдвигом области П[рис.20 С.73] вдоль оси Ох на соответствующее расстояние 2nπ. Все остальные точки плоскости (х,у), кроме этих областей притяжения и их границ, принадлежат области предельного цикла второго рода.

    Таким образом задача оценки области притяжения нулевого решения системы (11), а также  задача разграничения возможных  картин расположения интегральных кривых системы, согласно теоремы 1-4.3 С.70 сводится либо к нахождению, либо к оценке сепаратрис этой системы. Е.А.Барбашин и В.А.Табуева в своей книге предлагают способы отыскания периодических решений, дают обоснование метода последовательных приближений для отыскания сепаратрис системы (11) с любой желаемой точностью. Ими найдены верхние и нижние оценки для значения параметра а_кр уравнения (12), поскольку знание этих оценок определяет границы области изменения параметра а, соответствующей существованию той или иной картины расположения интегральных кривых уравнения (12), и тем самым позволяет найти условия существования или отсутствия периодического решения. В теоремах 1-8.3(а) и 1-8.3(б) [С.107-109] показано нахождение верхней оценки а_кр, в теоремах 1-8.4(а) и 1-8.4(б) [С.110-111]  рассмотрены нижние оценки для а_кр. Оценки для а_кр могут быть получены также на основании теорем 1-8.5(а) и 1-8.5(в) [С.112-114]. Показано нахождение приближенного значения а_кр уравнения (12) [теоремы 1-8.6(а) и 1-8.6(б) С.115-119].

    Если  в уравнении (10) коэффициент а заменить на R(x, ) – характеристика сил сопротивления при движении точки, то получим уравнение

    которое также описывает движение материальной точки по некоторой замкнутой  кривой под действием силы f(x). Уравнение (13) эквивалентно системе ДУ

    В свою очередь, систему (14) можно представить в виде одного уравнения

    где является непрерывной и непрерывно дифференцируемой функцией своих аргументов, функция есть непрерывная периодическая функция периода 2π. Кроме того, предполагаются также, что при любом значении х выполнены условия

         (16)

    При отыскании периодических решений  количество положений равновесия может  определяться конечным четным числом. Когда функция знакооопределенна, например <0 при всех х, система (14) не имеет особых точек, но имеет предельный цикл второго рода. Аналогичный результат получим для . В случае знакопеременной функции f(x) уравнение (14) может иметь знакопеременное периодическое решение, которому соответствуют монотонные движения из неустойчивых особых точек к устойчивым. Тип решения зависит от того, из каких сепаратрис будет составлена траектория движения точки. Причем неустойчивые особые точки седлообразного типа чередуются с устойчивыми особыми точками. В ходе исследования поведения сеператрис, Е.А.Барбашиным и В.А.Табуевой были сформулированы критерии отсутствия и существования предельного цикла[§5 С.159-161]. В §7[С.161-167] авторы показали применение метода последовательных приближений для нахождения и оценки сепаратрис системы(14). В §8 [С.167-175] даётся корректировка критериев(получение достаточных условий), определяющих необходимые и достаточные условия отсутствия и существования предельных циклов второго рода системы (14), пользование которыми не требовало бы интегрирование уравнения (15).

    В третьей главе книги рассматриваются фазовые системы с разрывными характеристиками (релейный маятник). Исследуется уравнение, описывающее движение точки по замкнутой кривой при наличии дополнительной подталкивающей силы и сил сухого трения. Определяются условия единственности предельных циклов. Рассматривается фазовый портрет колебаний маятника Фроуда – Жуковского. Исследуются также фазовые системы с переменной структурой (маятник с релейным управлением). ДУ таких маятниковых систем являются неоднородными.

    В четвертой главе рассматриваются  простейшие динамические системы, порядок  которых выше двух (система связанных  маятников, двойной маятник). В качестве основного метода при исследовании колебаний связанных и двойных маятников используется метод проектирования на двумерные координатные плоскости, т.е. движение каждого маятника исследуется самостоятельно с учетом влияния движения других маятников. Также проводятся исследования уравнений третьего порядка, показывается применение полученных результатов на случай многомерных систем.

    4.Результаты  Ю.Н.Бакаева об  устойчивости маятниковых  систем.

   Задачу устойчивости маятниковых систем можно решить, если удается построить в пространстве R функцию Ляпунова, периодическую по координатам φ₁, … , φ_m. Эта функция будет однозначной и в пространстве R(φ₁, … , φ_m). Однако в большинстве случаев такие периодические функции Ляпунова построить оказывается трудно. Непериодическая функция Ляпунова переходит в цилиндрическом пространстве в многозначную функцию, устойчивость которой в настоящее время остается неизученной. Ю.Н.Бакаев предложил другой способ применения функции Ляпунова. В основном пространстве R функция Ляпунова строится только в полосе (i=1, … ,m), на остальную часть пространства функция от φ₁, … , φ_m, x₁, … ,x_n переменных продолжается как периодическая функция переменных .Построенная таким образом функция может оказаться разрывной. Однако применение этой функции с учетом простейших соображений теории точечных отображений дает требуемый результат. Ю.Н.Бакаевым указано также, что требование неограниченного возрастания функции по угловым координатам при исследовании устойчивости в целом может быть снято. Е.А.Барбашин и В.А.Табуева предлагают решать задачу устойчивости в цилиндрических фазовых пространствах простым сдвигом области притяжения точки φ_i=0, x_j=0, в результате которого получаются области притяжения и всех других эквивалентных положений равновесия. Таким образом, вопрос о построении области притяжения может быть решен в рамках пространства R.