Розв’язування нерівностей з модулями

Луцьке міське управління освіти

Міське учнівське товариство “Ерудит”

Наукова філія “Інтелект”

                                                                                                     Секція математики

Розв’язування

нерівностей з модулями

                   Робота учениці 5-Б класу

    НВК”Гімназія № 14”

   м. Луцька

       М’якуш Мар’яни

  Євгенівни

Науковий керівник

  вчитель математики

Тітова Світлана

Петрівна

Луцьк - 2006

План

1.    Вступ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3

2.      Означення модуля. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4                      

3.      Найпростіші лінійні нерівності, що містять модуль. . . . . . . . . . . . . . . . 6

4.      Розв’язання нерівностей, що містять модуль під знаком модуля. . . . . .9

5.      Нерівності, що містять суму модулів. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

6.      Нерівності, що містять різницю модулів. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .14

7.      Квадратні нерівності. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

8.      Висновки. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .22 

      9.  Література. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2

1. Вступ

    Поняття “модуль числа” вперше вводиться у шкільному курсі математики у шостому класі. Але уваги до розв’язання завдань даної тематики приділяється занадто мало. Підручники містять лише окремі задачі на модуль числа.

  Засвоєння поняття нерівностей з модулями потрібне не лише для оволодіння алгоритмами арифметичних дій з додатними та від’ємними числами. Воно сприяє формуванню в учнів різних видів мислення при використанні алгебраїчного змісту модуля, геометричної інтерпретації модуля, при пошуку раціональних способів розв’язування. Саме для перевірки наявності відповідних типів мислення абітурієнтів до завдань вступних іспитів у вищих навчальних закладах, як правило, включають задачі на нерівності з модулями.

    Оволодіння навичками розв’язання задач на нерівності з модулями є умовою не тільки успішного складання вступного іспиту з математики, але необхідно і для подальшого вивчення курсу вищої математики.

    Для досконалого вміння розв’язування завдань на нерівності з модулями потрібно розпочинати їх вивчення від найпростіших завдань на поняття про модуль числа до завдань рівня вступних іспитів до вищих навчальних закладів та олімпіад з математики.

    Нерівності з модулями потрібно вивчати у системі до вузівської підготовки, школах (класах) з поглибленим теоретичним та практичним вивченням математики, ліцеях та гімназіях природничо-математичного профілю та самостійно для підготовки до вступних іспитів. Саме тому я вирішила присвятити свою наукову роботу цій темі. 

3

2. Означення модуля

    Модулем невід’ємного числа називається саме це число, а модулем від’ємного числа називається протилежне йому додатне число.

    Наприклад, модулем числа 5 є 5, модулем числа 0 є 0, модулем числа -4 є 4. Все це записують так:

                                    5 = 5, 0 = 0, -4 = 4.

    Отже, з означення модуля виходить, що

    Це означення дає вказівку, що треба робити у кожному конкретному випадку для підрахунку модуля числа. А саме:

1.      не міняти знак числа, якщо це число додатне;

2.      змінити знак числа на протилежний, якщо це число від’ємне;

3.      якщо під знаком модуля стоїть “0”, то отримаємо 0.

   Приклад:

    Виконати дії:

13+2-5--2-1

    Розв’язання:

13+2-5--2-1 = 13+25-2-1 = 20.

    Очевидно модуль числа має такі найпростіші властивості:

а) модуль числа є число невід’ємне, тобто при будь-якому а

                                              а 0;

б) модуль числа не менший від цього числа, тобто при будь-якому а

                                              а а;

в) модуль протилежного числа до даного дорівнює модулю даного числа, тобто при будь-якому а

                                               -а=а.

     Деякі завдання можна розв’язувати легше. Тобто, якщо це зручно, то під знаком модуля можна змінити знак виразу на протилежний. Але слід пам’ятати, що змінити знак виразу на протилежний означає змінити знак всіх доданків цього виразу.

   Приклад:

    Записати без знака модуля:

-а²-b²                           

    Розв’язання:

-а²-b² = -а²-b² = -(-а²-b²) = а²+b² = а²+b²= а²+ b².

    Існує кілька теорем про модуль числа.

    Теорема 1.

4

    Модуль алгебраїчної суми кількох дійсних чисел не більший від суми модулів доданків, тобто

а1 + а2 + . . . + аnа1+а2+ . . . +аn.

    Якщо доданки невід’ємні або недодатні, то модуль суми дорівнює сумі модулів доданків; якщо доданки мають різні знаки, то модуль суми менший від суми модулів доданків.

    Наприклад,

-3 + (-5) + (-7)=-15= 15, -3+-5+-7= 3 + 5 + 7 = 15.

    Доведення.

    Доведемо цю теорему для n = 2. Нехай а1+а2  0, тоді оскільки

а1 а1 іа2  а2, то

а1 + а2 = а1 + а2  а1 +а2

    Нехай а1 + а2 < 0, тоді, оскільки а1 -а1 і а2 -а2, то

а1 + а2= -(а1 + а2) = -а1 – а2  а1 +а2.

    Наведене поняття легко поширюється на будь-яку кількість доданків.

    Теорема 2.

    Модуль різниці двох дійсних чисел не менший від різниці модулів цих чисел, тобто

а - b а - b.

    Доведення.

    Застосовуючи теорему 1, дістанемо

а = (а - b) + bа - b+b,

звідки

а - b а- b.

    Якщо а – b і b невід’ємні або недодатні, то а - b=a - b; якщо а – b і b мають різні знаки, то а - b >a- b.

    Наприклад,

8 - 3 = 8 - 3,

-5 - (-2)  = -5--2,

-7  -  10>-7 - 10,

15 - (-4) > 15 - - 4.

    Теорема 3.

    Модуль суми двох дійсних чисел не менший від різниці модулів цих чисел, тобто

а + b а-b.

    Доведення.

    Застосовуючи теорему 2, дістанемо:

а + b = а – (- b)  а -- b = а - b .

    Якщо а + b і b мають різні знаки або принаймні одне з цих чисел

              5

дорівнює нулеві, причому аb ,то а + b = а - b; в усіх інших випадках а + b>а - b .

    Наприклад,

3 +(-2)= 1,

3- -2 = 1.

    Теорема 4.

    Модуль різниці двох дійсних чисел не більший від суми модулів цих чисел, тобто

а – bа +b.

    Доведення.

    На підставі теореми 1 маємо:

а - b = а +(- b)а+- b = а +b.

    Якщо а і b мають різні знаки або принаймні одне з них дорівнює нулеві, то а - b =а +b; якщо а і b мають однакові знаки, то а - b<а+b .

Наприклад,

-5 -6= 11,

-5+6= 11.

    З теорем 1 –  4 виходить, що

а- bа + bа+b,

а– bа – b а +b.

    Теорема 5.

     Модуль добутку кількох дійсних чисел дорівнює добутку модулів цих чисел.

    Наприклад,

-56 (-3)= 90,

-56-3= 90.

    Теорема 6.

    Модуль частки двох дійсних чисел дорівнює частці модулів діленого і дільника.

    Наприклад,

20:(-5) = 4,

20:-5=4.

    Доведення теорем 5 і 6 безпосередньо випливає з означень дій множення і ділення.

3. Найпростіші лінійні нерівності, що містять модуль

Якщо розв’язком рівняння називають значення змінної, що перетворює рівняння на правильну числову рівність, то розв’язком нерівності

6

називають значення змінної, що перетворює нерівність у правильну числову нерівність. Так нерівності 5>0, 55 правильні, а нерівності 5>5, 05 – неправильні.

    Якщо на координатній прямій додатний напрям вибрано зліва направо, то про числа координатної прямої можна сказати: чим правіше – тим більше. Тоді на координатній прямій розв’язками нерівності х>1 будуть усі числа, що лежать справа від точки 1. Щоб показати, що х = 1 не є розв’язком нерівності, обводять цю точку кружечком, а всі точки, розміщені справа від 1, заштриховують.

    Спочатку розглянемо нерівності виду х>а і х<а. Якщо а > 0, то з нерівності

х> а

виходить, що

х>а або х<-а,

тобто нерівність х> а еквівалентна сукупності двох нерівностей х>а і х<-а. Графічно це означає, що на числовій осі точки х знаходяться поза відрізком

[-a, a].

   Наприклад,

х>5,

х>5 або х<-5.

    Якщо а = 0, то з нерівності х>а виходить, що х – довільне число, крім    х = 0.

    Якщо а < 0, то нерівністьх>а справджується при будь-яких значеннях х.

    Так само, якщо а>0, то з нерівності

х<а

виходить, що

-а<х<а,

тобто нерівність х<а еквівалентна системі двох нерівностей                                -а<х<а і графічно точки х на числовій осі належать проміжку між точками –а і а.

    Наприклад,

х<4,

-4<х<4.

    Якщо а0, то нерівність х<а суперечлива, вона не справджується при жодних значеннях х.

    Розглянемо тепер нерівність

kx+b>a.

    Якщо k=0, то при b>a нерівність kx+b>a справджується при будь-яких значеннях х, а при b а вона не має розв’язків.

    Якщо k≠0, то при а<0 нерівність kx+b>a справджується при будь-яких значеннях х; при а=0 нерівністьkx+b>а також справджується при будь-яких

7

значеннях х, крім х=-, і, нарешті, при а>0 нерівність kx+b>a еквівалентна сукупності двох нерівностей:

звідки

якщо k>0, і

якщо k<0.

    Наприклад,

5х + l>3,

х>0,4 або х<-0,8.

    Переходимо до розгляду нерівності

kx+b<a.

    Якщо k = 0, то при b а нерівність kx+b<a суперечлива, а при b<a вона справджується при будь-яких значеннях х.

   Наприклад,

0х - 5< 7,

оскільки

b а,

b = -5, а = 7, k = 0,

то нерівність

0х - 5< 7

перетворюється у нерівність

-5< 7   х (-∞;∞). 

    Якщо k≠0, то при а0 нерівність kx+b<a не має розв’язків, а при а>0 вона еквівалентна системі двох нерівностей

-а < kx+b < a,

звідки

-а- b< kx < a- b

і

< х < ,

8

якщо k>0, і

< х < ,

якщо k<0.

   Приклад:

    Розв’язати нерівність:

    21-4х-10 < 0.

   Розв’язання:

Маємо:

1 - 4х < 5  або

4х - 1< 5,