Розв’язування нерівностей з модулями

    Розв’язання:

    Згідно умові п’ятого співвідношення c = a - b, тобто 2 = -1 - 1=2.

    Оскільки ця умова виконується, то х  R.

    Нерівність доведено.

7. Квадратні нерівності

    Переходимо до розгляду квадратних нерівностей з модулями. Звичайно, розв’язування таких нерівностей зводиться до розв’язування квадратних нерівностей або систем нерівностей. 

   Приклад 1:

   Розв’язати нерівність:

    3х²+х- 4 > 0.

    Розв’язання:

   Розглядаючи цю нерівність, як нерівність відносно х, дістаємо:

    Перша з цих нерівностей не має розв’язків; з другої виходить, що х>1 або x<-1.

    Відповідь: х  (-∞; -1) ∪ (1; ∞). 

    Приклад 2:

   Розв’язати нерівність:

    2х²- 5х+ 2 < 0.

    Розв’язання:

16

    З даної нерівності дістаємо:

0,5< х<2,

звідки

0,5< х <2 або -2< х <-0,5.

    Відповідь: : х  (-2; -0,5) ∪ (0,5; 2).    

    Приклад 3:

   Розв’язати нерівність:

    х²-х- 2 < 0.

    Розв’язання:

    Маємо:

-1< х<2.

    Але х0, тому

0 х<2,

звідки

-2< х <2.

  Відповідь: х  (-2; 2).       

  Приклад 4:

   Розв’язати нерівність:

    3х²+5х+1 < 0.

    Розв’язання:

    Ця нерівність не має розв’язків, оскільки при будь-яких значеннях х ліва частина нерівності набуває додатних значень.

    Відповідь: х  Ø.

    Приклад 5:

   Розв’язати нерівність:

    4х² - 4х+1 > 0.

    Розв’язання:

    Квадратна функція 4х - 4х+1 відносно аргументу хмає дискримінант, що дорівнює нулеві. Тому ця функція при будь-яких значеннях х, крімх= 0,5, набуває додатних значень.

    Отже, розв’язком даної нерівності є довільне число х, крім х= 0,5.

    Відповідь:  х  (-∞; -0,5) ∪ (-0,5; 0,5) ∪ (0,5; ∞).

   Приклад 6:

   Розв’язати нерівність:

  2х² + 3х - 3>2.

    Розв’язання:

    Ця нерівність еквівалентна сукупності двох нерівностей:

17

або

2х² + 3х – 5 >0 і  2х² + 3х – 1 < 0.

    Розв’язуючи ці нерівності, знаходимо:

x<-2,5; x>1 i < x <

   Приклад 7:

   Розв’язати нерівність:

   х² + 5х - 10<4.

    Розв’язання:

   Ця нерівність еквівалентна системі двох нерівностей:

або

Розв’язуємо цю систему                                        

звідки

-7<x<-6 i 1<x<2.

   Приклад 8:

   Розв’язати нерівність:

    >3.

    Розв’язання:

    З даної нерівності виходить, що

>3 або <-3.

    Але при всіх значеннях х х²+х+1>0. Тому, помножаючи обидві частини кожної з цих нерівностей на х²+х+1, дістанемо:

х² - 3х – 1 > 3x² + 3x + 3 або x² - 3x – 1 < -3x² - 3x - 3,

звідки

х² + 3х + 2 < 0 або 2х² + 1<0.

    Друга з цих нерівностей не має розв’язків. З першої нерівності знаходимо:

18

-2 < x < -1.

    Відповідь: х(-2;-1).

   Приклад 9:

  Розв’язати нерівність:

    >0.

    Розв’язання:

    Ця нерівність еквівалентна сукупності двох систем нерівностей:

і

    Розв’язуємо першу систему. Дістаємо:

    звідки знаходимо такі розв’язки:

-1< x <3 i x > 4.

    Розв’язуємо другу систему. Маємо:

звідки

-4 < x <-3.

    Дана нерівність має такі розв’язки:

-4 < x < -3, -1 <x < 3 i x > 4.

    Відповідь: х(-4;-3) ∪ (-1; 3) ∪ (4;+∞).

    Приклад 10:

  При яких значеннях параметра k нерівність

     справджується при будь-яких значеннях х?

    Розв’язання:

    З даної нерівності виходить, що

-3<<3,

оскільки при всіх значеннях х х+х+1>0, то

-3(х+х +1) < x-kx +1<3(x+x+1).

    Дістаємо систему нерівностей:

19

  або

    За умовою, ця система нерівностей має справджуватися при всіх значеннях х. Це можливо, коли дискримінанти лівих частин нерівностей від’ємні. На підставі цього утворюємо нову систему нерівностей:

звідки

або

-5 < k < 1.

    Відповідь: х(-5; 1).

    Приклад 11:

    Розв’язати нерівність:

    x+x - 6< x+x - 5- 1.

    Розв’язання:

    Тричлен x+x – 6 має корені х = -3 і х = 2. Тому при х<-3 або при х>2  х+х – 6 > 0, а при -3 <х<2  х+х - 6<0. Далі при х>5  х–5>0, а при х<5  х - 5<0.

   Розглянемо 4 випадки.

    А) Знайдемо всі розв’язки нерівності, які задовольняють умову х<-3.

    При таких значеннях х х+х - 6>0 і х-5<0. дана нерівність матиме вигляд:

х+х-6<х- (х-5)-1,

звідки

2х<10 і х<5.

    Шукані розв’язки повинні задовольняти як знайдену нерівність х<5, так і нерівність х<-3, прийняту за умовою, тому вони є розв’язками системи нерівностей:

звідки х<-3.

    Б) Знайдемо всі розв’язки нерівності, які задовольняють умову -3 х <2.

    При таких значеннях х  х+х - 6<0 і х -5<0. Дана нерівність матиме вигляд:   

-х-х+6<х-(х-5)-1,

або

20

х-1>0,

звідки

х<-1 або х>1.

    Розв’язуючи систему нерівностей

знаходимо шукані розв’язки:

-3 х<-1 і 1<x<2.

    В) Знайдемо всі розв’язки нерівності, які задовольняють умову 2х<5.

    При таких значеннях х  х+х-6>0 і х-5<0. Дана нерівність матиме вигляд:

х+х-6<х- (х - 5) – 1,

звідки

2х<10 і х<5.

    Розв’язуємо систему нерівностей:

    Дістаємо

2 х < 5.

    Г) Знайдемо всі розв’язки нерівності, які задовольняють умову х5.

    При таких значеннях х  х+х-6>0 і х-5>0. Дана нерівність матиме вигляд:

х+х - 6 < х+х – 5 - 1,

звідки

0х<0.

    Ця нерівність не має розв’язків.

    Отже, дана нерівність має такі розв’язки:

х<-3, -3 х< -1, 1< х <2 і 2 х <5,

що коротше можна записати так:

х <-1 і 1<х<5.

    Відповідь: х(-∞;-1) ∪ (1; 5). 

21

8. Висновки

    В своїй праці я узагальнила і систематизувала знання про нерівності з модулями. Зокрема, розглянула найпростіші нерівності з модулями, нерівності, що містять модуль під знаком модуля, суму і різницю модулів, квадратні нерівності. Основну увагу приділила теорії до теми наукової роботи, а також прикладам, які відображають основний зміст моєї праці. Я розглянула різні способи розв’язання нерівностей:

    1) використовуючи алгебраїчний зміст модуля;

    2) спираючись на геометричний зміст модуля;

    3) використовуючи властивості модуля числа.

    Розв’язання нерівностей з модулями має велике освітнє значення, а саме:

    1) полегшує вивчення цієї теми під час уроків математики;

    2) сприяє формуванню в учнів абстрактного та алгоритмічного видів мислення, логічного мислення розгалуження, наочно-образного мислення, пошукової еврістичної діяльності;   

   3) допомагає успішному складанню екзаменів та іспитів з математики;

У подальшому я планую теж працювати над цією темою, використовуючи більші знання та глибшу інформацію про нерівності з модулями.

22

9. Література

1. Апостолова Г. В. Хитромудрий модуль. – К.: Поліграфсервіс, 2001. 

2.  Шваєцький М. Г. Абсолютні величини в шкільному курсі математики. – К.: Радянська школа, 1967.  

3. Репета В. К. Рівняння, нерівності та системи рівнянь, що містять знак абсолютної величини. – К.: Математична газета, 2006.

4. Прошак С. Навколо відстані між двома точками координатної прямої. – К.: газета “Математика”, 2006.

5. Коваленко В. Г., Кривошеєв В. Я., Старосєльцева О. В. Алгебра для 9-го

класу. – К.: Освіта, 1996.

23