Розв’язування нерівностей з модулями

звідки

-5 < 4х - 1< 5,

-4 < 4х < 6

-1< х < 1,5.

    Відповідь: х  (-1; 1,5).

4. Розв’язання нерівностей , що містять модуль під знаком модуля

    Способи розв’язання нерівностей, які містять модуль під знаком модуля аналогічні способам розв’язання рівнянь, що містять модуль під знаком модуля. А саме: можна розпочати з знаку виразу під зовнішнім модулем (можливо він визначений внаслідок невід’ємності внутрішнього модуля або виразу, з яким порівнюється зовнішній модуль); можна скористатись алгебраїчним змістом модуля; можна спиратись на геометричний зміст модуля: можна використати властивості:

1. Якщо а= b, то b  0 i a =  b.

2. Якщо а b, то b  0 i -b a b.

3. Якщо а< b, то b  0 i –b< a< b.

4. Якщо а b, то b  0 i a (-∞;-b] [b; + ∞) або b<0.

5. Якщо а> b, то b  0 i a (-∞;-b) (b;+ ∞) або b<0.

    Можна просто піднести обидві частини нерівності до квадрату. У цьому випадку потрібно не забути обумовити невід’ємність того, що підноситься до квадрату.

    Для розв’язання деяких задач даної тематики інколи достатньо використати означення модуля числа та елементарних навичок розв’язування лінійних нерівностей з модулем.

    Не завжди потрібно йти шляхом формального розкриття модуля, згідно його означення. Перш, ніж починати розв’язування, треба уважно подивитись, може знак виразу під якимось з модулів визначається однозначно і тоді нерівність спрощується.

9

    Якщо “звільнятись” від знаків абсолютної величини, спираючись на алгебраїчний зміст модуля, то зручно “звільнитись” спочатку від внутрішніх модулів, а потім “відкрити” ті модулі, що залишились (бажаючи можуть робити навпаки).

    Зручно розв’язувати нерівності, використовуючи геометричний зміст модуля.

    Приклад:

   Розв’язати нерівність, використовуючи геометричний зміст модуля:

х -2-2 3.

    Розв’язання:

х -2-2 3

якщо

х – 2= t  0,

то

t - 2  3,

звідси

х -2 5



х  7

або

х  -3

    Відповідь: х (-∞;-3] ∪ [7;+ ∞).

    Деякі завдання можна розв’язувати, підносячи обидві частини нерівності до квадрату. Але потрібно пам’ятати, що підносячи рівність чи нерівність до квадрату, треба переконатись, що ліва і права частини співвідношення невід’ємні.

    Приклад:

   Розв’язати нерівність, підносячи обидві частини нерівності до квадрату:

х + 1- 6>х.

     Розв’язання:

х + 1- 6< х,

звідси

   

 х >2,5.

    Відповідь: х  (2,5; + ∞).

    Геометрична інтерпретація модуля “працює” не тільки при порівнянні модуля з відомим числом. Наприклад, останній приклад можна розв’язати наступним чином:

10

х + 1- 6< х  

        х >2,5.

Відповідь: х  (2,5; + ∞).

    Можна розв’язувати нерівності також, використовуючи властивості, які були наведені раніше. Наприклад, за допомогою властивості: якщо а< b, то b  0 і –b< a< b.

2х + 1-2< 1 

                      

х (-2;-1) ∪ [0; 1).                                     

   Відповідь: х (-2;-1) ∪ [0; 1).

    Який спосіб розв’язання вибирати – це справа того, хто розв’язує задачу, але потрібно “бачити” всі можливі способи, тоді можна знайти дійсно раціональний у даному конкретному випадку спосіб розв’язання.

5. Нерівності, що містять суму модулів

    Рівняння та нерівності вигляду

а11(х) + а22(х) + . . . + аnn (х) > g(x) або < g(x)

розв’язуються, як правило, методом інтервалів. Тобто знаходять точки, в яких 1(х), 2(х), . . . , n (х) змінюють знак. Ці точки поділяють область визначення на проміжки, на кожному з яких всі і(х), і  {1, . . ., n} зберігають знак. Потім, використовуючи означення абсолютної величини, на кожному з цих проміжків розкривають модулі, що стоять у лівій частині. Таким чином переходять до розв’язання рівносильної сукупності систем, що не містять знак модуля.

   Приклад:

    Знайти розв’язки нерівності:

    х - 1+2 - х>х.

    Розв’язання:

    Вирази під знаком модуля змінюють знак при переході через точки х = 1 та х = 2, відповідно. Знаки (х – 1) і (х – 2) зберігаються  на інтервалах х  1, 1 < х  2 та х > 2. Для їх визначення інтервалів можна взяти будь-яке число з даних проміжків:

(х – 1)х=0< 0, (2 – x)x=0 > 0; (x - 1)x=1,5 > 0, (2 - x)x=1,5 > 0; (x - 1)x=10 ­> 0,

11

(2 - x)x=10 <0.

    Маємо:

                                                                                        

    Відповідь: х  (-∞; 1) ∪ (3; + ∞).

    У деяких випадках послідовність точок на числовій осі співпадає з послідовністю доданків, нулями яких були відповідні значення х. Якщо порядок доданків не влаштовує, то його можна змінити. Більш того, якщо під знаком модуля невідоме стоїть на другому місці – можна поставити його на перше й, навіть, змінити знак виразу, що міститься під знаком модуля.

    Метод інтервалів стає в нагоді і тоді, коли під модулем стоїть нелінійний вираз.

    Непотрібно поспішати відразу розв’язувати нерівність. Інколи розв’язання стає легким і прозорим , якщо спочатку проаналізувати область визначення нерівності, або той факт, що сума модулів не може бути від’ємною.

    В випадках, коли співвідношення, що розглядається має вигляд х - а+х - b>c або <c розв’язок можна спростити, якщо використати геометричну інтерпретацію модуля. Розглянемо нерівність х - 1+ х + 2> 3.

    Маємо: х – 1 – відстань між точками Х (х) та А(1), х + 2 – відстань між точками Х(х) та В(-2). Тоді умова означає, що АХ + ВХ > 3. Потрібно на числовій осі розмістити Х(х), щоб нерівність виконувалась. Спочатку на числовій осі позначаємо точки А(1) та В(-2). Відстань між цими точками АВ = 3. Тобто маємо АХ +ВХ = АВ. Отже, х може бути будь-яким числом, крім х  [-2; 1].

    Відповідь: х  (-∞; -2) ∪ (1; ∞).

    Для використання геометричної інтерпретації модуля числа при розв’язанні нерівностей корисно зафіксувати такий висновок:

х - а+х - bа - b,

при всіх х  R.

    Дійсно, якщо х  [АВ], де А(а), В(b), то АХ + ХВ = а - b, x - a+x - b=a - b.

    Якщо ж х  [АВ], то АХ + ХВ > а - b, x - a+x - b>a - b.

    Тобто маємо:

x –a+x - b=a - b,

при х  [min{a; b}; max{a; b}];

x –a+x - b>a - b,

12

при х  [min{a; b}; max{a; b}].

    Приклад 1:

   Розв’язати нерівність:

    х - 1+2 - х>1.

    Розв’язання:

х - 1+2 - х>1  х  (-∞; 1) ∪ (2; ∞),

бо х - 1+х - 2>2 - 1=1   х  [1; 2].

    Відповідь: х  (-∞; 1) ∪ (2; ∞).

  Приклад 2:

   Розв’язати нерівність:

    х + 1+х - 3<5.

    Розв’язання:

    За геометричним змістом модуля розв’язком рівняння х + 1+х - 3=5 будуть точки, що віддалені від точок А(-1) та В(3) на відстань l, яка визначається з співвідношення 2l + 4 = 5  l = 0,5.

    Тоді розв’язком даної нерівності будуть точки, що віддалені від А та В на відстань меншу за 0,5, та точки проміжку [-1; 3] (бо останні відповідають умові АХ + ХВ = 4 < 5).

    Відповідь: х  (-1,5; 3,5).

    Нерівності, що містять суму лінійних виразів під знаками модулів, можна розв’язувати, спираючись на такі властивості модуля:

1) а 0;

2) а а;

3) -а=а, і тоді -c - d=c + d, a x - y=y - x;

4) a b=ab;

5) =, при b ≠ 0;

6) aⁿ=aⁿ, і тоді а²=а²=а²;

7) а+b= a + b, якщо а  0 і b  0;

8) a + b=a+b, якщо аb  0 ;

9) a + b=a-b, якщо ab0;

10) a + ba+b

і також на ті, що наведені у темі про розв’язування нерівностей, які містять знак модуля під знаком модуля.

    Потрібно звернути увагу на нерівності такого виду:

kx - a>nx - b або < nx - b

   Їх можна розв’язувати методом інтервалів, можна піднести до квадрату, а можна використати властивість:

a-b 0  a² - b²  0.

13

    Приклад:

   Розв’язати нерівність:

    2х - 3> 3х + 5.

    Розв’язання:

2х - 3 - 3х + 5>0.

    Якщо помножити ліву і праву частину отриманої нерівності на додатну величину (2х - 3+3х + 5), то дістанемо

(2х - 3)² - (3х + 5)² > 0 

((2х – 3) – (3х + 5))((2х – 3) + (3х + 5)) > 0 

 (-х – 8)(5х + 2) > 0  х  (-8; -0,4).

    Відповідь: х  (-8; -0,4). 

6. Нерівності, що містять різницю модулів

    Спираючись на геометричну інтерпретацію співвідношень цих рівностей:

1. х - а=х - b X= , ab;

2 .x - a=x - b+c i c = a - b x bпри b a або x b при b a;

3. x - a=x - b+c і 0 < c < a - b x = b – l при b > a або x = b + l при b < a;

4. x - a=x - b+c i c > a - b х  Ø

нескладно проаналізувати співвідношення нерівності:

x - a>x - b та

x - a>x - b + с або < x - b + с.

    Дійсно, співвідношення х - а=х - bозначає рівність відрізків АХ = ВХ, де Х(х), В(b), А(а). Тобто Х = , як середина відрізка АВ.

    Тоді x - a>x - b означає, АХ > ВХ і при b > a, і при b < a.

    Маємо:

x > при b > a

x - a>x - b                  або

x < при b < a.

    Приклад:

    Розв’язати нерівність:

   х - 3> 2 - х.

    Розв’язання:

  х - 3 – відстань між точками Х(х) та А(3).

   х –2­­ – відстань між точками Х(х) та В(2).  ­­

    Рівність АХ = ВХ означає, що Х = = 2,5. Це означає, що х < 2,5.  

14

    Відповідь: х < 2,5.

    Отже, можна зробити такий висновок:

1) x - ax - b+c i c >a - b х  Ø

2) x - a<x - b+c i c >a - b х  R

3) x - a>x - b+c i c = a - b х  Ø

4) x - ax - b+c i c = a - bx - a=x - b+c i c = a - b (x - b)(b – a) 0.

5) x - ax - b+c i c = a - b х  R.

    Доведемо ці співвідношення, виходячи з таких властивостей модуля:

1) а + b = а + b, якщо аb0;

2) а + bа + b.

    Дійсно, згідно умові першого співвідношення та другої  властивості маємо

x - a>x - b + b - ax – b + b - a=x - a,

чого бути не може. Тобто х  Ø, і перше співвідношення доведено.

    Доведемо друге співвідношення. За умовою c >a - b. Тоді, враховуючи другу властивість,

с +x - b>b - а +x - bb – a + x - b=x - a

для всіх х  R. Тобто друге співвідношення виконується.

    За умовою третього співвідношення та другою властивістю маємо, що

x - a>x - b+c =x - b+ b - аb – х + а - b=x - a,

чого не  може бути, х  Ø, і третє співвідношення доведено.

    Доведемо четверте співвідношення

x - a>x - b+c i c = a - b

x - ax - b+c i c = a - b         або

x - a=x - b+c i c = a - b.

    Згідно третьому співвідношенню, перша система сукупності не має розв’язків. А з другої маємо x - а=x - b+ b - а, що, відповідно першій властивості, виконується при всіх

хb приbа

(x – b)(b – а) 0                  

           або

хb приbа,

тобто четверте співвідношення доведено.

Приклад 1:

    Розв’язати нерівність:

    х – 1х – 2+2.

    Розв’язання:

    х – 1х – 2+2  х – 1х – 2+2 і х – 1>х – 2+2 –1(х – 2) + (2 – 1)= х – 1 х  Ø .

    Приклад 2:

15

    Розв’язати нерівність:

    х – 1<х – 2+2.

    Розв’язання:

   х – 1<х – 2+2  х – 1<х – 2+2 і х – 1+ 2 >х – 2+2 – 1(х – 2) + (2 – 1)= х – 1 х  R.

    І, нарешті, доведення п’ятого співвідношення. Його можна довести, спираючись на таку властивість модуля:

a - b a ba+b.

    Згідно умові п’ятого співвідношення і поданої властивості маємо

x - ax - b+c =x - b+ а - b

x – b – а +bx - b+а - b

x - ax - bа - b.

    Ця нерівність виконується. Отже, х  R. П’яте співвідношення доведено. 

    Приклад 3:

    Розв’язати нерівність:

    х + 1х – 1+2.