Синтез управления летательным аппаратом методом рекуррентных целевых неравенств

Федеральное государственное  бюджетное образовательное учреждение

высшего профессионального  образования

«Санкт-Петербургский  государственный политехнический  университет»

факультет технической  кибернетики

кафедра «Системный анализ и управление»

Отчет о научно-исследовательской  работе

«Синтез управления летательным аппаратом методом рекуррентных целевых неравенств»

выполнил: студент группы 4082/11   

Кузнецова Лидия Валерьевна    

проверил: заведующий кафедрой   

«Системный анализ и  управление»,  

д.т.н., проф. Козлов Владимир Николаевич 

Санкт-Петербург

2012

Оглавление:

Постановка задачи 3

Переход к дискретной модели 5

Исследование дискретной системы 6

Форма Жордана дискретной системы 6

Переходные процессы 6

Анализ устойчивости 9

Анализ управляемости дискретной системы 13

регулятор основного контура 14

Каноническая форма Фробениуса дискретной системы 14

Синтез регулятора основного контура 14

Синтез регулятора контура адаптации 17

Вывод 20

Список литературы 21

Приложение 1 22

Приложение 2 23

Приложение 3 24

Приложение 4 25

 

 

Постановка задачи

Для стабилизации заданной модели объекта управления (далее ОУ) требуется синтезировать регулятор основного контура (далее РОК) и регулятор контура адаптации (далее РКА), подстраивающий параметры замкнутой системы ОУ+РОК, для минимизации ошибки стабилизации (см. рис. 1).

 

Рис. 1. САУ с регуляторами основного контура и контура  адаптации.

 

Рассматриваем задачу стабилизации продольного движения летательного аппарата (далее ЛА) (см. рис. 2) по углу тангажа.

Рис. 2. Задача стабилизации продольного движения летательного аппарата.

 

Линеаризованные уравнения  динамики ЛА заданы системой:

(1)

где – угол тангажа, α – угол атаки, θ – угол наклона траектории, u – угол отклонения рулей высоты, – аэродинамические коэффициенты, – приведенные возмущения. Управляющим воздействием считаем величину u.

Вводя векторы  , запишем систему (1), как модель в виде пространства состояний:

(2)

где , , , – постоянные матрицы.

 

Регулятор основного контура  реализует оптимальное управление, т.е. управление, обеспечивающее оптимальное значение функционалу качества системы.

(3)

 

Регулятор контура адаптации  подстраивает параметры системы  ОУ+РОК методом рекуррентных целевых  неравенств, сформированных в пространстве параметров. Целевые условия имеют  вид:

(4)

 

Для конкретного решения  поставленной задачи положим: , , , , , ; ; .

 

 

Переход к дискретной модели

Для решения поставленной задачи перейдем к дискретной модели системы (2). Для осуществления этого перехода используются следующие преобразования:

,

(5)

где – время дискретизации.

 

Собственные числа матрицы А: 0, 0.6052, -0.3552. Одно из них равно нулю, следовательно, матрицу Bd вычисляем следующим образом:

.

 

Тогда получаем дискретную модель в виде пространства состояний:

,

(6)

где , , , .

 

Для расчетов используем программный пакет Matlab R2010a (Приложение 1).

 

Исследование дискретной системы

Форма Жордана дискретной системы

Используя невырожденную  замену переменных , представляем систему (6) в Жордановой форме:

		(7)

где - каноническая форма Жордана для матрицы А.

 

Аналитическое решение  системы (7) можно представить с помощью формулы Коши для дискретной модели:

(8)

Тогда переходная характеристика будет иметь вид:

(9)

Переходные  процессы

Реакция системы  на единично-ступенчатое воздействие (функцию Хевисайда)

Функция Хевисайда имеет  вид:

(10)

Рассмотрим воздействие  на систему с нулевыми начальными условиями:

(11)

Вследствие того, то мы использовали невырожденную замену переменных, из (11) следует, что  .

Тогда переходная характеристика (9) принимает вид:

(12)

Построим переходный процесс (12) аналитически, используя программный  пакет Matlab R2010a (Приложение 2).

Рис. 3. Реакция системы  на единично ступенчатое воздействие.

 

Реакция системы  на импульсное воздействие (функцию  Дирака)

Функция Дирака имеет  вид:

(13)

Рассмотрим воздействие  на систему с нулевыми начальными условиями (11). В силу невырожденности замены переменных имеем . Тогда переходная характеристика (9) принимает вид:

(14)

 

Построим импульсную переходную характеристику (14) аналитически, используя программный пакет Matlab R2010a (Приложение 2).

Рис. 4. Реакция системы  на импульсное воздействие.

 

Реакция системы  на ненулевые начальные условия

Рассмотрим воздействие  на систему с единичными начальными условиями:

(15)

В данном варианте возмущения системы положим  . Тогда переходная характеристика (9) принимает вид:

(16)

Построим переходный процесс (16) аналитически, используя  программный пакет Matlab R2010a (Приложение 2).

 

Рис. 5. Реакция системы  на ненулевые начальные условия.

Анализ  устойчивости

Корневой  критерий устойчивости

Для того чтобы дискретная система была экспоненциально устойчива, необходимо и достаточно, чтобы нормы собственных чисел матрицы Аd были меньше 1, т.е. | λ_j|<1, j=1, …, 3.

 

Рассмотрим дискретную систему (6): собственные числа матрицы Аd равны:

λ1=1 λ2=1.0624 λ3=0.9651

(17)

 

Норма одного из собственных чисел больше 1, следовательно, матрица Аd неустойчива, следовательно, система (6) неустойчива.

 

Алгебраические  критерии устойчивости

1. Критерий Ляпунова.

Для того чтобы система  была асимптотически устойчива (матрица Аd была устойчива), необходимо и достаточно, чтобы для произвольной симметричной положительно-определенной матрицы Q решение матричного уравнения Ляпунова:

(18)

существовало, было единственно  и удовлетворяло условию: матрица P – симметричная и положительно-определенная.

Возьмем матрицу  . Видно, что и Q – положительно-определенная матрица.

При попытке решить уравнение (18) программный пакет Matlab R2010a выдает ошибку, что свидетельствует о том, что решения уравнения Ляпунова либо не существует, либо оно не единственно, следовательно, система (6) неустойчива.

 

2. Критерий Шура-Кона.

Для того чтобы система  была асимптотически устойчива (матрица Аd была устойчива), необходимо и достаточно, чтобы знаки определителей Δ_k строго чередовались: при четном k и при нечетном k.

При этом Δ_k – определитель порядка 2k, формируемый из подматриц:

		, где	(19)
				(20)

где a_j – коэффициенты характеристического полинома.

 

Перейдем от модели в  виде пространства состояний (6) к ее передаточной функции:

(21)

Тогда характеристический полином системы (6) имеет вид:

(22)

Тогда: при k=1

Условие при нечетном k не выполняется, следовательно, система (6) неустойчива

Частотные критерии устойчивости

1. Критерий Михайлова.

Для того чтобы система была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы годограф Михайлова, начавшись на положительной части действительной оси, обогнул точку (0, 0∙j) π∙n раз против часовой стрелки, где n – степень системы.

 

Годограф Михайлова  задается следующим образом:

(23)

где – знаменатель передаточной функции (21) (характеристический полином (22) ).

Следовательно, годограф Михайлова имеет вид:

(24)

 

Для построения зависимости (24) используется программный пакет Matlab R2010a (Приложение 3).

 

Рис. 6. Годограф Михайлова  дискретной системы

 

Из рисунка 6 видно, что годограф Михайлова огибает начало координат раз (3 квадранта), что меньше необходимых для устойчивости 2π раз, следовательно, система неустойчива.

 

2. Критерий Найквиста.

Для того чтобы замкнутая единичной обратной связью дискретная система была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы годограф частотной характеристики разомкнутой системы обходил точку (-1, 0∙j) последовательно в положительном направлении πl раз, где l – число корней характеристического полинома разомкнутой системы, расположенных вне круга единичного радиуса . При этом ωє[0, π].

 

Так как один из корней характеристического полинома (17) равен 1 (с кратностью 1), график, полученный с помощью Matlab R2010a, необходимо дополнить дугой бесконечно большого радиуса, которая будет охватывать число квадрантов, равное кратности корня (т.е. 1) (см. рис. 7).

Рис. 7. АФЧХ дискретной системы

 

Как видно из рисунка  7, годограф частотной характеристики не огибает точку (-1, 0∙j) в положительном направлении на разу. Следовательно, по критерию Найквиста, замкнутая единичной обратной связью система не является устойчивой.