Синтез управления летательным аппаратом методом рекуррентных целевых неравенств

Анализ  управляемости дискретной системы

Система (6) / матричная пара (Аd, Вd) управляема, если существует вектор управлений при , который переводит систему (6) из состояния x₀ в некоторое конечное состояние x_k=0 за k шагов.

 

Критерий Калмана:

Для того чтобы система (6) / матричная пара (Аd, Вd) была управляема необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы управляемости был бы равен размерности системы.

Матрица управляемости  имеет вид:

(25)

Для системы (6) вычисляем  матрицу управляемости:

(26)

Ранг матрицы управляемости  равен 3, следовательно, система (6) управляема.

 

Для расчетов используем программный пакет Matlab R2010a (Приложение 1).

 

 

 

 

регулятор основного контура

Каноническая  форма Фробениуса дискретной системы

Используя невырожденную  замену переменных , представляем систему (6) в канонической форме:

		(27)

где матрицу M считаем как:

(28)

где Upr – матрица управляемости, T – матрица вида:

(29)

где a_j – коэффициенты характеристического полинома (22).

 

Для расчетов используем программный пакет Matlab R2010a (Приложение 1), получаем:

(30)

Тогда система (27) имеет  вид:

(31)

где , , ,

 

Система (31) – каноническая форма Фробениуса системы (6).

Синтез  регулятора основного контура

Оптимальные регуляторы строятся на основании косвенного показателя качества – функционала качества.

Рассматриваемая система (31) является линейной и стационарной. Следовательно, можем ввести функционал вида:

(32)

где

 

Для построения РОК введем функцию Гамильтона:

(33)

 

Используем принцип  максимума Понтрягина:

 – оптимальное управление  тогда и только тогда, когда  выполнены следующие равенства:

, ,

(34)

 

Откуда для рассматриваемой системы (31) оптимальное управление будет рассчитываться по формуле:

(35)

где Р – решение дискретного алгебраического матричного уравнения Риккати:

(36)

 

Для нахождения численного значение коэффициента регулятора Kdf матрицу R полагаем единичной, а матрицу Q будем рассчитывать следующим образом:

,

(37)

где , ,

где y_st – задаваемая статическая ошибка, а T_max – длительность переходного процесса. Зададим .

Для расчетов используем программный пакет Matlab R2010a (Приложение 1), получаем коэффициент оптимального управления:

(38)

Из уравнений рассматриваемой  модели (31) и выражения для расчета  оптимального управления (35) получаем:

(39)

 

Тогда замкнутый РОК ОУ имеет вид:

		(40)

где

 

Для проверки устойчивости рассчитываем собственные числа  матрицы  :

, , .

(41)

Нормы всех собственных чисел матрицы лежат в окружности единичного радиуса | _j|<1, j=1, 2, 3, следовательно, система (40) устойчива.

 

 

Синтез регулятора контура  адаптации

Перейдем от модели в  виде пространства состояний (40) к ее передаточной функции:

(42)

Тогда модель системы (40) можем представить в виде входо-выходной модели:

(43)

 

Так как на исходную систему (2) действуют возмущения, которые  не рассматривались ранее, укажем их сейчас и вследствие этого перепишем  модель (43):

		(43’)

где – приведенное возмущение, такое что при k=0, 1, … .

Тогда прогнозируемое значение будет иметь вид:

(44)

где – сенсор, – вектор подстраиваемых параметров.

 

Функция РКА состоит  в решении целевого неравенства типа (4):

		(45)
		(46)

Для построения РКА методом  рекуррентных целевых неравенств используют следующую рекуррентную процедуру:

(47)

 

Проитерируем неравенство(46) и подставим вместо результат (47):

(48)

Достаточным условием выполнения неравенства (48) будет условие:

(49)

Из неравенства (49) можно  вычислить параметр рекуррентного  преобразования γ:

(50)

Положим

Для конкретного решения  поставленной задачи положим: , , при .

 

Алгоритм  подстройки параметров

:

1. Задаются начальные условия:

2. Вычисляется прогнозируемое значение на формуле (44).
3. Проверяется целевое условие . Если оно выполнено, то алгоритм заканчивает свою работу, имея на выходе значение вектора подстраиваемых параметров .

Если оно не выполнено, то

• Вычисляем параметр рекуррентного преобразования γ по формуле (50).
• Пересчитывает вектор подстраиваемых параметров по формуле (47).
• Переформировываем сенсор .
• Переходим к пункту 2) данного алгоритма.

 

Данный алгоритм реализован в программном пакете Matlab R2010a (Приложение 4), получен следующий результат:

(51)

Тогда, с учетом РКА, имеем  модель вида (43’):

(52)

А передаточная функция  имеет вид:

(53)

Перейдем от передаточной функции к модели в виде пространства состояний:

(54)

где , , ,

Для проверки устойчивости рассчитываем собственные числа  матрицы  :

, , .

(55)

Нормы всех собственных чисел матрицы лежат в окружности единичного радиуса | _j|<1, j=1, 2, 3, следовательно, система (54) устойчива.

 

 

Вывод

В ходе данной работы рассмотрена  реальная задача управления летательным  аппаратом по углу тангажа.

Построена ее дискретная модель.

Исследована исходная дискретная модель, построены ее канонические формы (Жорданова и Фробениусова), синтезирован регулятор основного  контура, реализующий оптимальное  управление, и регулятор контура  адаптации, реализующийся методом  рекуррентных целевых неравенств, для  минимизации ошибки стабилизации.

 

Список литературы

1. В. Н. Козлов, В. Е. Куприянов, В. Н. Шашихин. Управление энергетическими системами Часть 1. Теория автоматического управления. – СПб: Издательство Политехнического университета, 2008. 255 с.
2. В. Н. Фомин, А. Л. Фрадков, В. Я. Якубович. Адаптивное управление динамическими объектами. – М.: Наука, 1981. 448 с.

 

Приложение 1

Переход к дискретной модели и синтез РОК.

Листинг программного продукта в среде Matlab R2010a:

 

function rok_diskret

A1=[0 1 0; 0 0.4 0.155; 0 1 -0.15];

B1=[0; 0.295; -0.35];

C1=[1 0 0];

D1=0;

 

T=0.1;

Sch=eig(A1);

Ad=expm(A1*T);

Cd=C1;

Dd=D1;

Bd=[T 0 0; 0 1/(Sch(2))*(exp(Sch(2)*T)-1) 0; 0 0 1/(Sch(3))*(exp(Sch(3)*T)-1)]*B1;

%eig (Ad);

 

n=3;

Upr(:,1)=Bd;

for i=2:(n)

    Upr(:,i)=Ad*Upr(:,i-1);

end  % Upr - матрица управляемости

Upr;

rank(Upr); % =3

 

TT=[3.0528 -3.0275 1; -3.0275 1 0; 1 0 0];

M=Upr*TT  ;

Adf=inv(M)*Ad*M  ; % проверка

Bdf=inv(M)*Bd   ;   % проверка

Cdf=Cd*M;

 

% РОК

Q1=[400 0 ; 0 3600];

H=[Cd; Cd*Adf];

Q=H'*Q1*H

R=1;

[P,l,Kdf]=dare(Adf,Bdf,Q) ;

% P-решение Риккати;

%l-собственные  числа AfZ

Kdf %-параметр оптимального регулятора

AdfZ=Adf-Bdf*Kdf

eig(AdfZ)

sysdz1=ss(AdfZ,Bdf,Cd,Dd,T)

sysdz2=tf(sysdz1)

 

Приложение 2

Переходные процессы дискретной системы.

Листинг программного продукта в среде Matlab R2010a:

 

function dPP_1

A1=[0 1 0; 0 0.4 0.155; 0 1 -0.15];

B1=[0; 0.295; -0.35];

C1=[1 0 0];

D1=0;

 

T=0.1;

Sch=eig(A1);

Ad=expm(A1*T);

Cd=C1;

Dd=D1;

Bd=[T 0 0; 0 1/(Sch(2))*(exp(Sch(2)*T)-1) 0; 0 0 1/(Sch(3))*(exp(Sch(3)*T)-1)]*B1;

 

% единично-ступенчатое

sysd=ss(Ad,Bd,Cd,Dd,0.1);

step(sysd)

grid on

 

% импульсная  перех. хар-ка

impulse(sysd)

grid on

 

% ненул. н.у.

initial(sysd,[1;1;1])

grid on

 

 

Приложение 3

Исследование устойчивости дискретной системы.

Листинг программного продукта в среде Matlab R2010a:

 

function ustojchovost

A1=[0 1 0; 0 0.4 0.155; 0 1 -0.15];

B1=[0; 0.295; -0.35];

C1=[1 0 0];

D1=0;

 

T=0.1;

Sch=eig(A1);

Ad=expm(A1*T);

Cd=C1;

Dd=D1;