Задача о «расшивке узких мест производства»

 

 

 

3. Транспортная задача линейного программирования

Однородный продукт, сосредоточенный  в трёх пунктах хранения с запасами A=(50;70;30) соответственно, необходимо распределить между четырьмя пунктами потребления, которым необходимо B=(30;11;45;36) единиц продукта соответственно. Стоимость перевозки единицы продукта из i-го пункта отправления в j-ый пункт назначения равна с_ij , а именно:

Необходимо составить  план перевозок X=(x_ij), при котором запросы всех пунктов потребления были бы удовлетворены за счет имеющихся продуктов в пунктах производства, из всех трех пунктов хранения был бы вывезен весь товар, и общие транспортные расходы  по доставке продуктов были минимальными.

Общее количество продукции  составляет: ∑a_i=50+70+30=150

Общая потребность в продукции составляет: ∑b_j=30+11+45+36=122

Таким образом имеем  дисбаланс между запасом и  потреблением. Для ликвидации дисбаланса введём фиктивного потребителя с  потреблением равным: b₅=∑a_i - ∑b_j=150-122=28.

Причем тарифы на перевозку  в этот пункт условимся считать равными нулю, помня, что переменные, добавляемые к левым частям неравенств для превращения их в уравнения, входят в функцию цели с нулевыми коэффициентами.

В качестве показателя эффективности  выступает общая стоимость перевозок:

L=3x₁₁+ 2x₁₂+ 6x₁₃+ 7x₁₄+ 7x₂₁+ 8x₂₂+ 3x₂₃+ 5x₂₄+ 4x₃₁+ 3x₃₂+ 4x₃₃+ 6x₃₄+0+0+0+0

В качестве критерия эффективности  выступает принцип минимального результата, так как поставленная задача подразумевает использование  наименьшего количества издержек (стоимость) для перевозки всего продукта ко всем потребителям.

Число базисных неизвестных  равно: k=n+m-1=5+3-1=7.

Первое базисное решение  легко построить по правилу ²северо-западного угла².

A\B	b1=30		b2=11		b3=45		b4=36		b5=28		pi
a1=50	30	3	11	2	9	6		7		0	p1=0
a2=70		7		8	36	3	34	5		0	p2=-3
a3=30		4		3		4	2	6	28	0	p3=-2
qj	q1=3		q2=2		q3=6		q4=8		q5=2

 

Введем симплексные  множители D_ij = μ(p₁,p₂,p₃,q₁,q₂,q₃,q₄,q₅), которые выступают в качестве показателя эффективности перевозок, состоящие из p и q называемые потенциалами.

В качестве критерия эффективности плана перевозки выступает неположительность всех значений D₁₁ для свободных клеток.

Один из потенциалов  выбираем произвольно, так как одно уравнение линейно зависит от остальных. Пусть p₁ = 0. Остальные потенциалы находим из условия, что для базисных клеток ∆_ij= p_i+q_j-C_ij=0. В данном случае получаем:

D₁₁ = 0,  p₁ + q₁ - c₁₁ = 0,  0+ q₁ -3 = 0,  q₁ = 3

D₁₂ = 0,  p₁ + q₂ - c₁₂ = 0,  0+ q₂ -2 = 0,  q₂ = 2

D₁₃ = 0,  p₁ + q₃ – c₁₃ = 0, 0 + q₃ -6 = 0,  q₃ = 6

D₂₃ = 0,  p₂ + q₃ – c₂₃ = 0, p₂ + 6 – 3 = 0,  p₂ = - 3

D₂₄ = 0,  p₂ + q₄ – c₂₄ = 0, -3 + q₄ – 5 = 0, q₄ = 8

D₃₄ = 0,  p₃ + q₄ – c₃₄ = 0, p₃ + 8 – 6 = 0, p₃ = - 2

D₃₅ = 0,  p₃ + q₅ – c₃₅ = 0, - 2 + q₅ – 0 = 0, q₅ = 2.

 

Произведем оценку (для  свободных клеток), где нет поставок  ∆_ij= p_i+q_j-C_ij:

D₂₁ =   p₂ + q₁ - c₂₁ = - 3 + 3 - 7 = - 7

D₃₁ =  p₃ + q₁ - c₃₁ = - 2 + 3 - 4 = - 3

D₂₂ =   p₂ + q₂ - c₂₂ = - 3 + 2 – 8 = - 9

D₃₂ =   p₃ + q₂ – c₃₂ = - 2 + 2 – 3 = - 3

D₃₃ =   p₃ + q₃ – c₃₃ = - 2 + 6 – 4 = 0

D₁₄ =   p₁ + q₄ – c₁₄ = 0 + 8 – 7 = 1

D₁₅ =   p₁ + q₅ – c₁₅ = 0 + 2 – 0 = 2

D₂₅ =   p₂ + q₅ – c₂₅ = - 3 + 2 – 0 = -1.

Так как решение не оптимально, т.е. существуют D_ij, которые больше 0, поменяем набор базисных переменных. Для этого выберем ячейку, в которой оценка максимальна:  max ( ) = 2 = D₁₅ .

Для найденной свободной  клетки (1;5) строим цикл пересчета - замкнутую ломаную линию, соседние звенья которой взаимно перпендикулярны, сами звенья параллельны строкам и столбцам таблицы, одна из вершин находится в данной свободной клетке, а все остальные - в базисных клетках. Это будет (1;5) – (1;3) – (2;3) – (2;4) – (3;4) – (3;5).

 

Находим максимальную поставку, которую можно передать по циклу: λmax=9.

Использование такого метода позволяет получить новое базисное решение, причём сумма в строках  и столбцах остаётся неизменной.

 

 

A\B	b1=30		b2=11		b3=45		b4=36		b5=28		pi
a1=50	30	3	11	2		6		7	9	0	p1=0
a2=70		7		8	45	3	25	5		0	p2=-1
a3=30		4		3		4	11	6	19	0	p3=0
qj	q1=3		q2=2		q3=4		q4=6		q5=0

 

 

Находим новые потенциалы, новые базисные оценки. Пусть p₁ = 0. Остальные потенциалы находим из условия, что для базисных клеток . В данном случае получаем:

D₁₁ = 0,  p₁ + q₁ - c₁₁ = 0,  0+ q₁ -3 = 0,  q₁ = 3

D₁₂ = 0,  p₁ + q₂ - c₁₂ = 0,  0+ q₂ -2 = 0,  q₂ = 2

D₁₅ = 0,  p₁ + q₅ – c₁₅ = 0, 0+q₅ - 0=0,  q₅ = 0

D₃₅ = 0,  p₃ + q₅ – c₃₅ = 0, p₃ + 0 – 0 = 0, p₃ = 0

D₃₄ = 0,  p₃ + q₄ – c₃₄ = 0, 0 + q₄ – 6 = 0, q₄ = 6

D₂₄ = 0,  p₂ + q₄ – c₂₄ = 0, p₂ + 6 – 5 = 0, p₂ = - 1.

D₃₃ = 0,  p₃ + q₃ – c₃₃ = 0, 0 + q₃ -4 = 0,  q₃ = 4

Произведем оценку (для  свободных клеток), где нет поставок  ∆_ij= p_i+q_j-C_ij:

D₂₁ =  p₂ + q₁ - c₂₁ = - 1 + 3 - 7 = - 5

D₃₁ = p₃ + q₁ - c₃₁ =  0 + 3 - 4 = - 1

D₂₂ =  p₂ + q₂ - c₂₂ = - 1 + 2 – 8 = - 7

D₃₂ =  p₃ + q₂ – c₃₂ = 0 + 2 – 3 = - 1

D₁₃ =  p₁ + q₃ – c₁₃ = 0 + 4 – 6 = - 2

D₃₃ =  p₃ + q₃ – c₃₃ = 0 + 4 – 4 = 0

D₁₄ =  p₁ + q₄ – c₁₄ = 0 + 6 – 7 = - 1

D₂₅ =  p₂ + q₅ – c₂₅ = - 1 + 0 – 0 = -1

Все оценки свободных  клеток D_ij ≤ 0, следовательно, мы получили оптимальное базисное допустимое решение:

L_min=3*30+ 2*11+ 3*45+ 5*25+ 6*11=438, т.е. минимальная стоимость перевозки всего груза из трех пунктов хранения в четыре пункта потребления составит 438 ед.

 

4. Анализ доходности  и риска финансовых операций

Финансовой называется операция, начальное и конечное состояния  которой имеют денежную оценку и цель проведения которой заключается в максимизации дохода - разности между конечной и начальной оценками.

При проведении какой-либо финансовой операции возникает неопределенность и поэтому её результат невозможно предсказать заранее. Из этого можно сделать вывод, что финансовые операции рискованны, т.е. при их проведении возможен как прибыль, так и убыток.

Чтобы оценить операцию с точки зрения её доходности и  риска, будем использовать   представление  дохода операции как случайной величины и оценка риска операции как среднего квадратического отклонения этого случайного дохода.

Даны четыре финансовые операции Q₁, Q₂, Q₃, Q₄. Найти средние ожидаемые доходы M(Q_i) и риски r_i операций. Нанести точки (M(Q_i), r_i) на плоскость, найти финансовые операции, оптимальные по Парето. С помощью взвешивающей формулы (j (Q_i)= 2×M(Q_i) – r_i) найти лучшую и худшую операции.

Q1	2	6	8	14
	1/4	1/4	1/3	1/6
Q2	0	1	2	8
	1/3	1/3	1/6	1/6
Q3	2	3	4	10
	1/3	1/3	1/6	1/6
Q4	0	4	6	10
	1/5	1/5	1/5	2/5

Найдем M(Q_i) для каждой операции, показывающая средний ожидаемый доход, и - риск проведения данной операции.

M(Q₁)=2*1/4+6*1/4+8*1/3+14*1/6=7

M(Q₂)=0*1/3+1*1/3+2*1/6+8*1/6=2

M(Q₃)=2*1/3+3*1/3+4*1/6+10*1/6=4

M(Q₄)=0*1/5+4*1/5+6*1/5+10*2/5=6

 

D(Q_i)=M(Q_i²)-M²(Q_i)

D(Q₁)=64 – 49=15

D(Q₂)=11 2/3 – 4 =7 2/3

D(Q₃)=23 2/3 – 16=7 2/3

D(Q₄)=50 2/5 – 36=14 2/5

 

r₁=3,9

r₂=2,8

r₃=2,8

r₄=3,8

 

Теперь нанесём точки (M(Q_i), r_i) на плоскость.

Получили 4 точки. Чем  правее точка, тем более доходная операция, чем точка выше - тем  более она рисковая. Нас же интересует точка с максимальным доходом, но в то же время с минимальным  риском. Значит, нужно выбирать точку  правее и ниже. Точка (M(Q)’, r’) доминирует точку (M(Q),r) если M(Q)’=>M(Q) и r’<=r. В нашем случае 3-я операция доминирует 2-ю. Но 1-я, 3-я и 4-я операции несравнимы.

Точка, не доминируемая никакой  другой называется оптимальной по Парето, а множество всех таких точек называется множеством оптимальности по Парето. Легко видеть, что если из рассмотренных операций надо выбирать лучшую, то ее обязательно надо выбрать из операций, оптимальных по Парето.

Для нахождения лучшей операции иногда применяют подходящую взвешивающую формулу, которая для пар (M(Q),r) дает одно число, по которому и определяют лучшую операцию. Например, пусть взвешивающая формула есть j (Q)= 2×M(Q) - r . Тогда получаем:

j (Q₁)=10,1 – max

j (Q₂)=1,2

j (Q₃)=5,2

j (Q₄)=8,2

Из расчётов видно, что 1-ая операция лучшая, а 2-ая худшая.

 

 

5. Распределение капитальных  вложений

Имеется производственное объединение, включающее в себя 4 предприятия. По плану в ближайшее время  должна проводится реконструкция этих 4-х предприятий. На реконструкцию  выделено 700 млн. руб. и суммы распределены между предприятиями кратно 100 млн. руб. После проведения реконструкции ожидается прирост прибыли от каждого предприятия в зависимости от вложенных в него капиталов. Эти данные известны и заданы таблицей:

 

xj	0	100	200	300	400	500	600	700
f1(x1)	0	42	58	71	80	89	95	100
f2(x2)	0	30	49	63	6	69	65	60
f3(x3)	0	22	37	49	59	68	76	82
f4(x4)	0	50	68	82	92	100	107	112